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1 若$x^{m-1}+m=0$是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是（
A.$x=2$
B.$x=-2$
C.$x=-1$
D.$x=1$
B
）A.$x=2$
B.$x=-2$
C.$x=-1$
D.$x=1$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元一次方程的核心特征：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1。我们可以分两步解题：第一步根据一元一次方程的定义求出参数m的值；第二步把m的值代入原方程，解出x的数值，再对应选项选出答案即可。
【解析】
∵ $x^{m-1}+m=0$ 是关于x的一元一次方程
∴ 未知数x的次数为1，即 $m-1=1$
解得 $m=2$
将 $m=2$ 代入原方程，可得：
$x + 2 = 0$
移项得 $x=-2$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元一次方程定义的应用，解题关键是先根据定义求出参数m的值，再代入解方程即可，掌握一元一次方程的定义就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确一元一次方程的核心特征：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1。我们可以分两步解题：第一步根据一元一次方程的定义求出参数m的值；第二步把m的值代入原方程，解出x的数值，再对应选项选出答案即可。
【解析】
∵ $x^{m-1}+m=0$ 是关于x的一元一次方程
∴ 未知数x的次数为1，即 $m-1=1$
解得 $m=2$
将 $m=2$ 代入原方程，可得：
$x + 2 = 0$
移项得 $x=-2$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元一次方程定义的应用，解题关键是先根据定义求出参数m的值，再代入解方程即可，掌握一元一次方程的定义就能快速解答。
【难度系数】
0.8
2 [2026 崇川段测]下列对等式的变形正确的是 （
A.由 $2a + 1 = 5a$，得 $2a - 5a = 1$
B.由 $a - 3 = b - 3$，得 $a = b$
C.由 $3x + 7 = 12x - 6$，得 $3x - 12x = 7 - 6$
D.由 $-\dfrac{1}{4}x = 12$，得 $x = -3$
B
）A.由 $2a + 1 = 5a$，得 $2a - 5a = 1$
B.由 $a - 3 = b - 3$，得 $a = b$
C.由 $3x + 7 = 12x - 6$，得 $3x - 12x = 7 - 6$
D.由 $-\dfrac{1}{4}x = 12$，得 $x = -3$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查等式的变形正误判断，解题核心是熟练掌握等式的基本性质和移项规则：①移项时，从等号一侧移到另一侧的项要改变符号；②等式两边同时加/减同一个整式、乘同一个数、除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时逐个核验每个选项的变形是否符合上述规则即可。
【解析】
我们根据等式的基本性质逐一判断选项：
选项A：由$2a + 1 = 5a$，将$5a$移到等号左边变为$-5a$，$+1$移到等号右边变为$-1$，可得$2a - 5a = -1$，而非$2a - 5a =1$，变形错误。
选项B：由$a - 3 = b - 3$，等式两边同时加3，左边得$a-3+3=a$，右边得$b-3+3=b$，即$a = b$，变形正确。
选项C：由$3x + 7 = 12x - 6$，将$12x$移到左边变为$-12x$，$+7$移到右边变为$-7$，可得$3x - 12x = -6 -7$，而非$3x -12x=7-6$，变形错误。
选项D：由$-\dfrac{1}{4}x = 12$，等式两边同时乘$-4$，可得$x=12×(-4)=-48$，而非$x=-3$，变形错误。
综上，只有B选项的变形正确。
【答案】
B
【知识点】
1.等式的基本性质 2.移项法则 3.系数化为1
【点评】
本题是等式变形的基础考查题，重点检验对等式基本性质的应用熟练度，易错点是移项时忘记变号、系数化为1时乘除运算错误或符号出错，掌握基础规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题考查等式的变形正误判断，解题核心是熟练掌握等式的基本性质和移项规则：①移项时，从等号一侧移到另一侧的项要改变符号；②等式两边同时加/减同一个整式、乘同一个数、除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时逐个核验每个选项的变形是否符合上述规则即可。
【解析】
我们根据等式的基本性质逐一判断选项：
选项A：由$2a + 1 = 5a$，将$5a$移到等号左边变为$-5a$，$+1$移到等号右边变为$-1$，可得$2a - 5a = -1$，而非$2a - 5a =1$，变形错误。
选项B：由$a - 3 = b - 3$，等式两边同时加3，左边得$a-3+3=a$，右边得$b-3+3=b$，即$a = b$，变形正确。
选项C：由$3x + 7 = 12x - 6$，将$12x$移到左边变为$-12x$，$+7$移到右边变为$-7$，可得$3x - 12x = -6 -7$，而非$3x -12x=7-6$，变形错误。
选项D：由$-\dfrac{1}{4}x = 12$，等式两边同时乘$-4$，可得$x=12×(-4)=-48$，而非$x=-3$，变形错误。
综上，只有B选项的变形正确。
【答案】
B
【知识点】
1.等式的基本性质 2.移项法则 3.系数化为1
【点评】
本题是等式变形的基础考查题，重点检验对等式基本性质的应用熟练度，易错点是移项时忘记变号、系数化为1时乘除运算错误或符号出错，掌握基础规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
3 若方程$-6x=-3$与关于$x$的方程$7x-2k=4$的解互为倒数，则$k$的值为（
A.$5$
B.$-5$
C.$-\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{4}$
A
）A.$5$
B.$-5$
C.$-\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{4}$
答案
3. A
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先求解方程$-6x=-3$，得到它的解；第二步根据两个方程的解互为倒数的条件，计算出方程$7x-2k=4$的解；第三步将第二个方程的解代入该方程，得到关于$k$的一元一次方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
1. 求解方程$-6x=-3$：
两边同时除以$-6$，得$x=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$。
2. 因为两个方程的解互为倒数，$\frac{1}{2}$的倒数为$2$，所以方程$7x-2k=4$的解是$x=2$。
3. 将$x=2$代入$7x-2k=4$中：
$7×2 - 2k = 4$
计算得$14-2k=4$
移项得$-2k=4-14$
合并同类项得$-2k=-10$
两边同时除以$-2$，得$k=5$。
【答案】
A
【知识点】
解一元一次方程，倒数的定义，方程的解的定义
【点评】
本题属于基础常考题，将倒数的性质、方程解的定义和解一元一次方程的知识点结合考查，解题关键是先求出已知方程的解，再利用倒数关系得到另一方程的解代入计算即可。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步先求解方程$-6x=-3$，得到它的解；第二步根据两个方程的解互为倒数的条件，计算出方程$7x-2k=4$的解；第三步将第二个方程的解代入该方程，得到关于$k$的一元一次方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
1. 求解方程$-6x=-3$：
两边同时除以$-6$，得$x=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$。
2. 因为两个方程的解互为倒数，$\frac{1}{2}$的倒数为$2$，所以方程$7x-2k=4$的解是$x=2$。
3. 将$x=2$代入$7x-2k=4$中：
$7×2 - 2k = 4$
计算得$14-2k=4$
移项得$-2k=4-14$
合并同类项得$-2k=-10$
两边同时除以$-2$，得$k=5$。
【答案】
A
【知识点】
解一元一次方程，倒数的定义，方程的解的定义
【点评】
本题属于基础常考题，将倒数的性质、方程解的定义和解一元一次方程的知识点结合考查，解题关键是先求出已知方程的解，再利用倒数关系得到另一方程的解代入计算即可。
【难度系数】
0.8
4 小南在解关于$x$的一元一次方程$\frac{x}{4}+m=\frac{1}{3}$时，由于粗心，在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为$3x+m=4$，并解得$x=2$，则原方程正确的解为 （
A.$x=-\frac{20}{3}$
B.$x=2$
C.$x=\frac{28}{3}$
D.$x=\frac{5}{4}$
C
）A.$x=-\frac{20}{3}$
B.$x=2$
C.$x=\frac{28}{3}$
D.$x=\frac{5}{4}$
答案
4. C
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，小南解的错误方程$3x+m=4$的解$x=2$是满足该错误方程的，因此可以先将$x=2$代入错误方程求出参数$m$的值；第二步，把求出的$m$代入原一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤求出正确的解即可。
【解析】
1. 求参数$m$的值：
因为$x=2$是错误方程$3x+m=4$的解，将$x=2$代入该方程得：
$3× 2 + m = 4$
计算得$6 + m =4$，移项解得$m=4-6=-2$。
2. 解原正确方程：
将$m=-2$代入原方程$\frac{x}{4}+m=\frac{1}{3}$，得：
$\frac{x}{4} - 2 = \frac{1}{3}$
移项得$\frac{x}{4} = \frac{1}{3} + 2$，计算右边得$\frac{x}{4} = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3}$
两边同时乘4，解得$x = \frac{7}{3} × 4 = \frac{28}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题的解题突破口是明确错误方程的解满足错误方程，先求出未知参数$m$的值，再代入原方程求解即可，需要注意去分母时不要漏乘常数项，避免出现和题目相同的错误。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步，小南解的错误方程$3x+m=4$的解$x=2$是满足该错误方程的，因此可以先将$x=2$代入错误方程求出参数$m$的值；第二步，把求出的$m$代入原一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤求出正确的解即可。
【解析】
1. 求参数$m$的值：
因为$x=2$是错误方程$3x+m=4$的解，将$x=2$代入该方程得：
$3× 2 + m = 4$
计算得$6 + m =4$，移项解得$m=4-6=-2$。
2. 解原正确方程：
将$m=-2$代入原方程$\frac{x}{4}+m=\frac{1}{3}$，得：
$\frac{x}{4} - 2 = \frac{1}{3}$
移项得$\frac{x}{4} = \frac{1}{3} + 2$，计算右边得$\frac{x}{4} = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3}$
两边同时乘4，解得$x = \frac{7}{3} × 4 = \frac{28}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题的解题突破口是明确错误方程的解满足错误方程，先求出未知参数$m$的值，再代入原方程求解即可，需要注意去分母时不要漏乘常数项，避免出现和题目相同的错误。
【难度系数】
0.7
5 [2026南通段测]当$x$取不同值时对应的多项式$4mx+3n$的值如下表所示：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $4mx+3n$ | $14$ | $10$ |
$6$ | $2$ | $-2$ | $-6$ |
则关于$x$的方程$4mx+3n+2=0$的解是（
A.$x=14$
B.$x=10$
C.$x=2$
D.$x=6$
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $4mx+3n$ | $14$ | $10$ |
$6$ | $2$ | $-2$ | $-6$ |则关于$x$的方程$4mx+3n+2=0$的解是（
C
）A.$x=14$
B.$x=10$
C.$x=2$
D.$x=6$
答案
5. C
解析
【分析】
要解关于x的方程$4mx+3n+2=0$，我们可以先对这个方程变形得到$4mx+3n=-2$，此时问题转化为找x取何值时多项式$4mx+3n$的值为-2，直接对照表格就能快速找到对应x的值；也可以先利用表格中x=0的特殊值求出n的值，再代入其他x的取值求出m的值，最后把m、n代入方程求解，两种方法都符合现阶段知识要求。
【解析】
方法一：转化方程结合表格求解
将方程$4mx+3n+2=0$移项，得$4mx+3n=-2$。
观察表格可知，当$x=2$时，$4mx+3n$的取值恰好为$-2$，因此方程$4mx+3n=-2$的解为$x=2$，即原方程的解为$x=2$。
方法二：先求参数再解方程
当$x=0$时，代入$4mx+3n=6$，得$3n=6$，解得$n=2$。
当$x=1$时，代入$4mx+3n=2$，得$4m + 3×2=2$，即$4m+6=2$，解得$m=-1$。
把$m=-1$，$n=2$代入方程$4mx+3n+2=0$，得：
$\begin{aligned}4×(-1)x + 3×2 +2&=0\\-4x +8&=0\\-4x&=-8\\x&=2\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
代数式求值；一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题解法灵活，既可以通过转化方程结合表格信息直接得到答案，也可以先求解参数再解方程，主要考查表格信息提取能力和一元一次方程的相关知识，解题时优先选择更简便的方法可以提高做题效率。
【难度系数】
0.8
要解关于x的方程$4mx+3n+2=0$，我们可以先对这个方程变形得到$4mx+3n=-2$，此时问题转化为找x取何值时多项式$4mx+3n$的值为-2，直接对照表格就能快速找到对应x的值；也可以先利用表格中x=0的特殊值求出n的值，再代入其他x的取值求出m的值，最后把m、n代入方程求解，两种方法都符合现阶段知识要求。
【解析】
方法一：转化方程结合表格求解
将方程$4mx+3n+2=0$移项，得$4mx+3n=-2$。
观察表格可知，当$x=2$时，$4mx+3n$的取值恰好为$-2$，因此方程$4mx+3n=-2$的解为$x=2$，即原方程的解为$x=2$。
方法二：先求参数再解方程
当$x=0$时，代入$4mx+3n=6$，得$3n=6$，解得$n=2$。
当$x=1$时，代入$4mx+3n=2$，得$4m + 3×2=2$，即$4m+6=2$，解得$m=-1$。
把$m=-1$，$n=2$代入方程$4mx+3n+2=0$，得：
$\begin{aligned}4×(-1)x + 3×2 +2&=0\\-4x +8&=0\\-4x&=-8\\x&=2\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
代数式求值；一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题解法灵活，既可以通过转化方程结合表格信息直接得到答案，也可以先求解参数再解方程，主要考查表格信息提取能力和一元一次方程的相关知识，解题时优先选择更简便的方法可以提高做题效率。
【难度系数】
0.8
6 若$x=2$是关于$x$的方程$\frac{x}{2} - a = x + 2$的解，则$a^2 -1$的值是
8
。答案
6. 8
解析
【分析】
解题时首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=2是给定方程的解，第一步先将x=2代入原方程，得到一个关于参数a的一元一次方程，解这个方程求出a的取值，第二步再将a的值代入代数式$a^2 -1$计算即可得到最终结果。
【解析】
∵$x=2$是方程$\frac{x}{2} - a = x + 2$的解
∴将$x=2$代入方程，等式成立，即：
$\frac{2}{2} - a = 2 + 2$
化简得：$1 - a = 4$
移项解得：$a = 1 - 4 = -3$
将$a=-3$代入$a^2 -1$得：
$a^2 -1 = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
【答案】
8
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对方程解的定义的理解与应用，解题的关键是先利用方程的解求出未知参数的值，再代入目标代数式计算，计算时注意符号问题即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=2是给定方程的解，第一步先将x=2代入原方程，得到一个关于参数a的一元一次方程，解这个方程求出a的取值，第二步再将a的值代入代数式$a^2 -1$计算即可得到最终结果。
【解析】
∵$x=2$是方程$\frac{x}{2} - a = x + 2$的解
∴将$x=2$代入方程，等式成立，即：
$\frac{2}{2} - a = 2 + 2$
化简得：$1 - a = 4$
移项解得：$a = 1 - 4 = -3$
将$a=-3$代入$a^2 -1$得：
$a^2 -1 = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
【答案】
8
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对方程解的定义的理解与应用，解题的关键是先利用方程的解求出未知参数的值，再代入目标代数式计算，计算时注意符号问题即可。
【难度系数】
0.8
7 若关于$x$的方程$x+3b=1$与方程$5x=5+4x$的解互为相反数，则$b$的值为
2
。答案
7. 2
解析
【分析】
解题时应先求解不含参数的一元一次方程$5x=5+4x$得到它的解，再根据“两个方程的解互为相反数”的条件，求出方程$x+3b=1$的解，最后将该解代入含参数$b$的方程，解关于$b$的一元一次方程即可得到$b$的值。
【解析】
第一步：解方程$5x=5+4x$
移项得：$5x-4x=5$
合并同类项得：$x=5$
第二步：根据两个方程的解互为相反数，可得方程$x+3b=1$的解为$x=-5$
第三步：将$x=-5$代入$x+3b=1$，得：
$-5+3b=1$
移项得：$3b=1+5$
计算得：$3b=6$
系数化为1得：$b=2$
【答案】
2
【知识点】
一元一次方程的解；相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程解的定义和相反数的性质建立参数的等量关系，解题的关键是先求出已知方程的解，再代入含参方程求解参数。
【难度系数】
0.8
解题时应先求解不含参数的一元一次方程$5x=5+4x$得到它的解，再根据“两个方程的解互为相反数”的条件，求出方程$x+3b=1$的解，最后将该解代入含参数$b$的方程，解关于$b$的一元一次方程即可得到$b$的值。
【解析】
第一步：解方程$5x=5+4x$
移项得：$5x-4x=5$
合并同类项得：$x=5$
第二步：根据两个方程的解互为相反数，可得方程$x+3b=1$的解为$x=-5$
第三步：将$x=-5$代入$x+3b=1$，得：
$-5+3b=1$
移项得：$3b=1+5$
计算得：$3b=6$
系数化为1得：$b=2$
【答案】
2
【知识点】
一元一次方程的解；相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程解的定义和相反数的性质建立参数的等量关系，解题的关键是先求出已知方程的解，再代入含参方程求解参数。
【难度系数】
0.8
8 已知关于$x$的方程$2ax=(a+1)x+3$的解是正整数，则正整数$a$的值为
2或4
.答案
8. 2或4 【解析】整理方程,得$(a-1)x=3$.因为方程有解,所以$a-1≠0$,即$a≠1$.所以$x=\dfrac{3}{a-1}$.因为$a$为正整数,所以$a-1$为正整数.由题意,得$a-1=1$或$a-1=3$.所以$a=2$或$a=4$.所以正整数$a$的值为2或4.
解析
【分析】
遇到含参数的一元一次方程求参数值的问题，首先按一元一次方程的解法步骤，移项、合并同类项，用含参数a的式子表示出方程的解x；再结合题目给出的“解是正整数、a是正整数”的条件，可知x的表达式的分母是分子3的正因数，由此列出关于a的等式，同时注意一元一次方程一次项系数不为0的隐含条件，即可求出a的取值。
【解析】
首先对原方程进行整理：
移项得：$2ax - (a+1)x = 3$
合并同类项得：$(a-1)x = 3$
因为方程有解，所以一次项系数不为0，即$a - 1 ≠ 0$，也就是$a ≠ 1$
将x的系数化为1得：$x = \dfrac{3}{a-1}$
已知方程的解x是正整数，且a是正整数，所以$a-1$是3的正因数
3的正因数为1和3，因此分两种情况：
① 当$a-1 = 1$时，解得$a = 2$，此时$x = 3$，符合题意；
② 当$a-1 = 3$时，解得$a = 4$，此时$x = 1$，符合题意。
综上，正整数a的值为2或4。
【答案】
2或4
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 方程解的定义
3. 含参方程整数解分析
【点评】
本题是典型的含参一元一次方程整数解问题，解题核心是先用参数表示出方程的解，再结合正整数的限制条件筛选参数的可能取值，解题时要注意不要遗漏一次项系数不为0的隐含前提，侧重对基础运算和逻辑分析能力的考察。
【难度系数】
0.7
遇到含参数的一元一次方程求参数值的问题，首先按一元一次方程的解法步骤，移项、合并同类项，用含参数a的式子表示出方程的解x；再结合题目给出的“解是正整数、a是正整数”的条件，可知x的表达式的分母是分子3的正因数，由此列出关于a的等式，同时注意一元一次方程一次项系数不为0的隐含条件，即可求出a的取值。
【解析】
首先对原方程进行整理：
移项得：$2ax - (a+1)x = 3$
合并同类项得：$(a-1)x = 3$
因为方程有解，所以一次项系数不为0，即$a - 1 ≠ 0$，也就是$a ≠ 1$
将x的系数化为1得：$x = \dfrac{3}{a-1}$
已知方程的解x是正整数，且a是正整数，所以$a-1$是3的正因数
3的正因数为1和3，因此分两种情况：
① 当$a-1 = 1$时，解得$a = 2$，此时$x = 3$，符合题意；
② 当$a-1 = 3$时，解得$a = 4$，此时$x = 1$，符合题意。
综上，正整数a的值为2或4。
【答案】
2或4
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 方程解的定义
3. 含参方程整数解分析
【点评】
本题是典型的含参一元一次方程整数解问题，解题核心是先用参数表示出方程的解，再结合正整数的限制条件筛选参数的可能取值，解题时要注意不要遗漏一次项系数不为0的隐含前提，侧重对基础运算和逻辑分析能力的考察。
【难度系数】
0.7
9 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托。”大意如下：现有一竿和一绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，那么就比竿短5尺。绳索和竿各为几尺？设竿长为x尺，可列方程为
$\dfrac{1}{2}(x+5)=x-5$
。答案
9. $\dfrac{1}{2}(x+5)=x-5$
解析
【分析】
解题时先结合题设的未知数表示出绳索的长度，再找到对折后绳索长度和竿长的等量关系即可列出方程。第一步，已知竿长为x尺，根据“绳索比竿长5尺”，可用含x的代数式表示出绳索长度；第二步，绳索对半折后长度为原长的一半，再结合“对折后量竿比竿短5尺”的条件，即对折后绳索长度=竿长-5，代入对应代数式就能得到所求方程。
【解析】
设竿长为x尺，
1. 根据“绳索比竿长5尺”，可得绳索的长度为$(x+5)$尺；
2. 将绳索对半折后，长度变为原长的$\dfrac{1}{2}$，即对折后绳索长为$\dfrac{1}{2}(x+5)$尺；
3. 由“对折后量竿比竿短5尺”，可知对折后绳索的长度=竿长-5，代入对应代数式得方程：$\dfrac{1}{2}(x+5)=x-5$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}(x+5)=x-5$
【知识点】
一元一次方程的应用；列代数式；找等量关系
【点评】
本题结合古代数学问题考查列方程的能力，解题核心是准确梳理两种测量方式下绳索和竿长的数量关系，正确用含未知数的代数式表示相关量即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先结合题设的未知数表示出绳索的长度，再找到对折后绳索长度和竿长的等量关系即可列出方程。第一步，已知竿长为x尺，根据“绳索比竿长5尺”，可用含x的代数式表示出绳索长度；第二步，绳索对半折后长度为原长的一半，再结合“对折后量竿比竿短5尺”的条件，即对折后绳索长度=竿长-5，代入对应代数式就能得到所求方程。
【解析】
设竿长为x尺，
1. 根据“绳索比竿长5尺”，可得绳索的长度为$(x+5)$尺；
2. 将绳索对半折后，长度变为原长的$\dfrac{1}{2}$，即对折后绳索长为$\dfrac{1}{2}(x+5)$尺；
3. 由“对折后量竿比竿短5尺”，可知对折后绳索的长度=竿长-5，代入对应代数式得方程：$\dfrac{1}{2}(x+5)=x-5$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}(x+5)=x-5$
【知识点】
一元一次方程的应用；列代数式；找等量关系
【点评】
本题结合古代数学问题考查列方程的能力，解题核心是准确梳理两种测量方式下绳索和竿长的数量关系，正确用含未知数的代数式表示相关量即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
10 一架飞机飞行于两座城市之间，顺风飞行需要5 h 30 min，逆风飞行需要6 h.已知风速为20 km/h，
则飞机在不受风影响时的飞行速度为
则飞机在不受风影响时的飞行速度为
460
km/h.答案
10. 460
解析
【分析】
解题时首先抓住两城市之间距离固定这一核心隐含条件，明确顺风、逆风飞行的路程相等。首先统一时间单位，再梳理速度关系：顺风飞行速度=无风时飞行速度+风速，逆风飞行速度=无风时飞行速度-风速，结合“路程=速度×时间”分别表示出顺风、逆风的飞行路程，列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设飞机在不受风影响时的飞行速度为$x$ km/h，先统一单位：$5\ \mathrm{h}\ 30\ \mathrm{min}=5.5\ \mathrm{h}$。
根据两城市距离不变，可列方程：
$5.5(x+20)=6(x-20)$
展开得：$5.5x + 110 = 6x - 120$
移项合并同类项得：$0.5x = 230$
系数化为1得：$x=460$
【答案】
460
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，路程速度关系
【点评】
本题是行程类的典型应用题，解题关键是抓住往返路程不变的隐含条件，熟练掌握顺风、逆风速度和无风速度、风速的数量关系，注意计算前先统一时间单位，正确列方程即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住两城市之间距离固定这一核心隐含条件，明确顺风、逆风飞行的路程相等。首先统一时间单位，再梳理速度关系：顺风飞行速度=无风时飞行速度+风速，逆风飞行速度=无风时飞行速度-风速，结合“路程=速度×时间”分别表示出顺风、逆风的飞行路程，列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设飞机在不受风影响时的飞行速度为$x$ km/h，先统一单位：$5\ \mathrm{h}\ 30\ \mathrm{min}=5.5\ \mathrm{h}$。
根据两城市距离不变，可列方程：
$5.5(x+20)=6(x-20)$
展开得：$5.5x + 110 = 6x - 120$
移项合并同类项得：$0.5x = 230$
系数化为1得：$x=460$
【答案】
460
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，路程速度关系
【点评】
本题是行程类的典型应用题，解题关键是抓住往返路程不变的隐含条件，熟练掌握顺风、逆风速度和无风速度、风速的数量关系，注意计算前先统一时间单位，正确列方程即可求解。
【难度系数】
0.7
