1 若关于x的方程$(m-4)x^{|m|-3}=0$是一元一次方程，则m的值是 ()

A.4
B.−4
C.4或−4
D.1

1. B

【分析】
要确定m的值，需结合一元一次方程的定义推导。一元一次方程需要同时满足两个核心条件：一是只含1个未知数，且未知数的最高次数为1；二是未知数的系数不能为0（否则方程就不含未知数，不是一元一次方程）。我们可以先根据次数要求求出m的可能取值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-4)x^{|m|-3}=0$是一元一次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的次数为1：$|m|-3=1$
移项得$|m|=4$，解得$m=4$或$m=-4$
2. 一次项系数不为0：$m-4≠0$
解得$m≠4$
结合两个条件，舍去$m=4$，因此$m=-4$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义、绝对值的性质
【点评】
本题是一元一次方程定义的基础应用题型，解题时最容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误选C选项，做题时要牢记一元一次方程的两个判定条件需同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.7

2 若方程$-5x^{3m-2}+2m=0$是关于$x$的一元一次方程，则这个方程的解为。

2. $x=\frac{2}{5}$

【分析】
要解决这道题，首先要牢记一元一次方程的核心判定条件：只含一个未知数，且未知数的最高次数为1，未知数系数不为0。本题中方程是关于x的一元一次方程，因此x的次数3m-2必须等于1，我们先通过这个等量关系求出参数m的值，再将m代入原方程，就能求出x的解。
【解析】
第一步：根据一元一次方程的定义列方程求m
因为方程$-5x^{3m-2}+2m=0$是关于x的一元一次方程，所以x的次数为1，可得：
$3m-2=1$
移项计算：$3m=1+2$，即$3m=3$，解得$m=1$。
第二步：将m=1代入原方程求解x
把$m=1$代入原方程，得：
$-5x + 2×1=0$
整理得：$-5x + 2=0$
移项得：$-5x=-2$
两边同时除以$-5$，得：$x=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}$
【答案】
$x=\frac{2}{5}$
【知识点】
一元一次方程的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础类题型，解题核心是先利用一元一次方程的定义求出未知参数的值，再代入原方程求解，只要掌握一元一次方程的判定规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

3 若$x=1$是关于$x$的方程$3x - m = x + 2n$的解，则代数式$m + 2n + 2026$的值为

3. 2 028

【分析】
首先根据方程的解的定义，方程的解能让方程左右两边的结果相等，因此第一步把x=1代入原方程，通过移项整理得出m+2n的整体值，再将这个整体值直接代入待求的代数式中计算，就能得到最终结果。
【解析】
∵x=1是关于x的方程$3x - m = x + 2n$的解
∴将x=1代入方程，可得：
$3×1 - m = 1 + 2n$
整理得：$3 - m = 1 + 2n$
移项计算得：$m + 2n = 3 - 1 = 2$
把$m + 2n = 2$整体代入$m + 2n + 2026$中，得：
$2 + 2026 = 2028$
【答案】
2028
【知识点】
方程的解的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的性质和整体代入求值的方法，解题时不需要分别求出m和n的具体值，直接求m+2n的整体值代入计算即可，整体代入思想是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.9

4 马小虎同学在对方程$\frac{2y - 1}{3} = \frac{y + a}{2} - 1$去分母时，方程右边的－1漏乘了6，因而求得方程的解为$y = 4$，请你帮助马小虎同学求出$a$的值，并正确地求出原方程的解。

4. 把$y=4$代入方程$2(2y-1)=3(y+a)-1$,得$14=12+3a-1$,解得$a=1$.所以正确去分母的结果为$2(2y-1)=3(y+1)-6$.去括号,得$4y-2=3y+3-6$,解得$y=-1$

【分析】
解题的核心逻辑是：马小虎去分母时虽然漏乘了常数项，但他求得的解y=4是他所写的错误方程的正确解，因此可以先将y=4代入错误方程求出a的值，再把a的值代入原方程，按照解一元一次方程的步骤正确求解即可。第一步先写出马小虎漏乘后得到的错误方程，第二步代入错解求a，第三步代入a解正确的原方程。
【解析】
1. 求a的值：
马小虎去分母时，方程右边的-1漏乘了6，因此他得到的错误方程为：
$2(2y - 1) = 3(y + a) - 1$
已知y=4是该错误方程的解，将y=4代入上式：
左边：$2×(2×4 - 1)=2×7=14$
右边：$3×(4 + a) - 1=12 + 3a - 1=11 + 3a$
可得方程：$14 = 11 + 3a$
移项计算得：$3a=3$，解得$a=1$。
2. 解原方程：
将$a=1$代入原方程，得：
$\frac{2y - 1}{3} = \frac{y + 1}{2} - 1$
正确去分母，两边同时乘6：
$2(2y - 1) = 3(y + 1) - 6$
去括号：$4y - 2 = 3y + 3 - 6$
移项、合并同类项：$4y - 3y = 3 - 6 + 2$
计算得：$y = -1$
【答案】
$a=1$，原方程的解为$y=-1$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，去分母法则
【点评】
本题的解题关键是利用“错解满足对应错误方程”的逻辑先求出参数a，再代入正确方程求解，既考察了一元一次方程的解法，也锻炼了学生对错误运算过程的逆向分析能力。
【难度系数】
0.7

5 已知关于$x$的方程$\frac{2x - a}{3} - \frac{x - a}{2} = x - 1$与方程$3(x - 2) = 4x - 5$有相同的解，求$a$的值。

5. 解方程$3(x-2)=4x-5$,得$x=-1$.把$x=-1$代入方程$\frac{2x-a}{3}-\frac{x-a}{2}=x-1$,得$\frac{2×(-1)-a}{3}-\frac{-1-a}{2}=-1-1$,解得$a=-11$

【分析】
两个方程有相同的解，说明这个解同时满足两个方程。我们可以先求解不含参数$a$的方程$3(x-2)=4x-5$，得到$x$的具体值，再将$x$的值代入含有参数$a$的第一个方程，此时方程就转化为只含有未知数$a$的一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤求解即可得到$a$的值。
【解析】
1. 先解方程$3(x-2)=4x-5$：
去括号，得$3x-6=4x-5$
移项，得$3x-4x=-5+6$
合并同类项，得$-x=1$
系数化为1，得$x=-1$
2. 由于两个方程同解，将$x=-1$代入方程$\frac{2x - a}{3} - \frac{x - a}{2} = x - 1$，得：
$\frac{2×(-1)-a}{3}-\frac{-1-a}{2}=-1-1$
化简得$\frac{-2-a}{3}-\frac{-1-a}{2}=-2$
去分母（两边同乘6），得$2(-2-a)-3(-1-a)=-12$
去括号，得$-4-2a+3+3a=-12$
移项，得$-2a+3a=-12+4-3$
合并同类项，得$a=-11$
【答案】
$a=-11$
【知识点】
同解方程，解一元一次方程，一元一次方程的解
【点评】
本题是同解方程的典型基础题型，解题核心是先求解无参数的方程得到公共解，再将公共解代入含参数的方程，转化为关于参数的一元一次方程求解，熟练掌握一元一次方程的求解步骤是得分的关键。
【难度系数】
0.8

6 已知关于$ x $的方程$ 2(x+1)-m=-\dfrac{m-2}{2} $的解比方程$ 5(y-1)-1=4(y-1)+1 $的解大2，求$ m $的值.

6. 解方程$5(y-1)-1=4(y-1)+1$,得$y=3$.由题意,知$x=5$是方程$2(x+1)-m=-\frac{m-2}{2}$的解,所以$2×(5+1)-m=-\frac{m-2}{2}$,解得$m=22$

【分析】
解题思路可分为三步：①先求解仅含未知数y的一元一次方程，得到y的取值；②根据“x的方程的解比y的方程的解大2”的条件，计算出x的取值；③将x的取值代入含参数m的方程，解关于m的一元一次方程即可求出m的值。计算时严格遵循解一元一次方程的步骤，避免运算失误。
【解析】
1. 先解方程$5(y-1)-1=4(y-1)+1$：
去括号，得$5y-5-1=4y-4+1$，
整理，得$5y-6=4y-3$，
移项、合并同类项，得$y=3$。
2. 根据题意，关于x的方程的解比y的解大2，因此$x=y+2=3+2=5$。
3. 将$x=5$代入方程$2(x+1)-m=-\dfrac{m-2}{2}$：
代入得$2×(5+1)-m=-\dfrac{m-2}{2}$，即$12-m=-\dfrac{m-2}{2}$，
两边同乘2去分母，得$24-2m=-m+2$，
移项、合并同类项，得$-m=-22$，
系数化为1，得$m=22$。
【答案】
$m=22$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；含参方程求值
【点评】
本题是字母系数求解的基础题型，核心逻辑是先通过无参数方程得到确定解，再结合解的关系得到含参方程的解后代入求参数，熟练掌握一元一次方程的求解步骤是得分的关键。
【难度系数】
0.8

7 已知关于$x$的方程$\frac{1}{2}mx - \frac{5}{3} = \frac{1}{2}(x - \frac{4}{3})$的解为正整数，求整数$m$的值.

7. 原方程可化为$\frac{1}{2}mx-\frac{5}{3}=\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}$,所以$\frac{1}{2}(m-1)x=1$.所以$(m-1)x=2$.因为 x 为正整数且 m 为整数,所以$m-1=1$或2.当$m-1=1$,即$m=2$时,$x=2$;当$m-1=2$,即$m=3$时,$x=1$.所以当方程的解为正整数时,整数 m 的值为 2 或 3

【分析】
解题时首先将参数m当作已知数，按照一元一次方程的解法步骤求解，用含m的代数式表示出x；再结合“x是正整数、m是整数”的约束条件，可知m-1是2的正因数，据此列出m-1的可能取值，进而求出对应的m值，最后验证所得m是否满足条件即可。
【解析】
先对原方程去括号，得：
$\frac{1}{2}mx - \frac{5}{3} = \frac{1}{2}x - \frac{2}{3}$
移项，将含x的项移到等式左侧，常数项移到等式右侧，得：
$\frac{1}{2}mx - \frac{1}{2}x = \frac{5}{3} - \frac{2}{3}$
合并同类项，得：
$\frac{1}{2}(m-1)x = 1$
等式两边同时乘2，得：
$(m-1)x = 2$
因为方程的解x为正整数，且m为整数，所以$m-1$是2的正整数因数，2的正整数因数为1、2：
①当$m-1=1$时，$m=2$，此时$x=2÷1=2$，为正整数，符合条件；
②当$m-1=2$时，$m=3$，此时$x=2÷2=1$，为正整数，符合条件。
综上，符合条件的整数m的值为2或3。
【答案】
整数m的值为2或3
【知识点】
一元一次方程解法，含参方程求解，整数解分析
【点评】
本题重点考察含字母系数的一元一次方程的处理方法，解题关键是先将参数视为已知数求出方程的解，再结合解的限制条件筛选参数取值，注意正整数的约束可排除负因数的情况，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7