5. 如图1，在正方形ABCD中，AB=2√3，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE=30°，点F是AE的中点。
(1)求AE的长。
(2)如图2，过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H，且GH=AE，求AG的长。

5.解:(1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$AB=2\sqrt{3}$,$\therefore AB=BC=CD=AD=2\sqrt{3}$,$∠ BAD=∠ B=∠ C=90°$,$\therefore △ABE$ 是直角三角形,$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 中,$∠ BAE=30°$,$\therefore AE=2BE$. 由勾股定理得 $AB=\sqrt{AE^2-BE^2}=\sqrt{(2BE)^2-BE^2}=\sqrt{3}BE$,$\therefore BE=\frac{\sqrt{3}}{3}AB=\frac{\sqrt{3}}{3}×2\sqrt{3}=2$,$\therefore AE=2BE=4$.
(2)如图,过点 $G$ 作 $GP ⊥ CD$ 于点 $P$,连接 $EG$.

$\because ∠ GPC=∠ GPH=90°$,$\therefore △GPH$ 是直角三角形,$∠ GPC=∠ B=∠ C=90°$,$\therefore$ 四边形 $GBCP$ 是矩形,$\therefore GP=BC=2\sqrt{3}$,$∠ PGB=∠ PGA=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△GPH$ 中,$GP=AB$,$GH=AE$,$\therefore \mathrm{Rt}△ABE ≌ \mathrm{Rt}△GPH$(HL),$\therefore ∠ PGH=∠ BAE$. $\because ∠ PGH+∠ AGF=∠ PGA=90°$,$\therefore ∠ BAE+∠ AGF=90°$. 在 $△AGF$ 中,$∠ AFG=180°-(∠ BAE+∠ AGF)=90°$,$\therefore GH ⊥ AE$. 又 $\because$ 点 $F$ 是 $AE$ 的中点,$\therefore GH$ 是线段 $AE$ 的垂直平分线,$\therefore EG=AG$. 在 $\mathrm{Rt}△BGE$ 中,由勾股定理得 $EG^2=BG^2+BE^2$,设 $AG=a$,则 $EG=a$,$BG=AB-AG=2\sqrt{3}-a$,由(1)可知 $BE=2$,$\therefore a^2=(2\sqrt{3}-a)^2+2^2$,解得 $a=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,$\therefore AG=a=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

【分析】
(1) 第一问中△ABE是直角三角形，已知∠BAE=30°和AB的长度，可利用30°直角三角形的性质得到AE与BE的数量关系，再结合勾股定理即可求出AE的长度。
(2) 第二问已知GH=AE，可通过作辅助线构造全等三角形：过点G作GP⊥CD于点P，结合正方形性质可得GP=AB，利用HL证明Rt△ABE与Rt△GPH全等，推出GH垂直于AE；结合F是AE中点可知GH是AE的垂直平分线，得到AG=EG，最后设AG为未知数，在Rt△BGE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是正方形，$AB=2\sqrt{3}$，
∴ $AB=BC=CD=AD=2\sqrt{3}$，$∠B=90°$，△ABE为直角三角形。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$∠BAE=30°$，
∴ $AE=2BE$。
由勾股定理得$AB^2 + BE^2 = AE^2$，代入$AB=2\sqrt{3}$、$AE=2BE$，得：
$(2\sqrt{3})^2 + BE^2 = (2BE)^2$，
解得$BE=2$，
∴ $AE=2BE=4$。
(2) 过点$G$作$GP ⊥ CD$于点$P$，连接$EG$。

∵ $∠GPC=∠B=∠C=90°$，
∴ 四边形$GBCP$是矩形，
∴ $GP=BC=AB=2\sqrt{3}$，$∠PGA=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ABE$和$\mathrm{Rt}△GPH$中：
$\begin{cases} AE=GH \\ AB=GP \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ABE ≌ \mathrm{Rt}△GPH$（HL），
∴ $∠PGH=∠BAE$。
∵ $∠PGH+∠AGF=∠PGA=90°$，
∴ $∠BAE+∠AGF=90°$，
∴ $∠AFG=180°-(∠BAE+∠AGF)=90°$，即$GH⊥AE$。
又
∵ 点$F$是$AE$的中点，
∴ $GH$是线段$AE$的垂直平分线，
∴ $EG=AG$。
设$AG=a$，则$EG=a$，$BG=AB-AG=2\sqrt{3}-a$，由(1)可知$BE=2$。
在$\mathrm{Rt}△BGE$中，由勾股定理得$EG^2=BG^2+BE^2$，代入得：
$a^2=(2\sqrt{3}-a)^2+2^2$
解得$a=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，即$AG=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) $AE=4$；
(2) $AG=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，第一问基础，考查直角三角形相关性质的直接应用；第二问的核心是通过构造辅助线证明三角形全等，进而得到垂直平分线的结论，结合方程思想求解，对学生的几何推理能力有一定的锻炼价值。
【难度系数】
0.6

我是家庭“数据分析师”
数据收集:选择一项你感兴趣的家庭生活数据(如全家近一周每日的步数、每日家庭用电量、一周午餐费用),设计表格,连续记录7天.

数据分析:计算出这组数据的平均数、中位数和众数.哪个值最能反映这组数据的一般水平?为什么?这组数据中有特别大或特别小的“极端数据”吗?它对平均数有何影响?
根据你的分析,写一份简短的家庭数据报告.例如:我家近一周日均用电量为10千瓦时,但第3天高达15千瓦时(原因:使用了空调).

解：
数据收集
选择统计项目：我家近一周每日家庭用电量（单位：千瓦时）
| 统计项\天数 | 第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | 第5天 | 第6天 | 第7天 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 当日用电量 | 8 | 9 | 16 | 7 | 8 | 9 | 8 |
数据分析
1. 计算统计量：
将7天用电量从小到大排序：7，8，8，8，9，9，16
平均数：$\bar{x}=\frac{7+8+8+8+9+9+16}{7}\approx9.3$（千瓦时）
中位数：排序后第4个数据为8，因此中位数是8千瓦时
众数：数据8出现次数最多，共出现3次，因此众数是8千瓦时
2. 中位数最能反映这组数据的一般水平，因为中位数不受极端偏大/偏小数据的影响，代表了中等水平的日用电量，和多数日常用电的实际情况吻合。
3. 这组数据中第3天的16千瓦时是明显偏大的极端数据，它会拉高整组数据的平均数，使得平均数比多数日常的实际日用电量更高，无法准确代表普通日子的用电水平。
家庭数据报告
我家近一周日均用电量约为9.3千瓦时，其中第3天用电量高达16千瓦时，原因是当日全天开启空调制冷，其余6天的日用电量均在7~9千瓦时区间，多数普通日子的日用电量为8千瓦时。

【分析】
完成本题首先要选定一项方便记录的家庭生活数据（比如每日家庭用电量），连续7天如实记录对应数据；接下来回忆三个统计量的计算规则：平均数为所有数据之和除以数据的总个数，中位数是将数据从小到大排序后位于中间位置的数（数据个数为奇数时取最中间的数），众数是一组数据中出现次数最多的数，按照规则分别计算出三个统计量；再结合三个统计量的特征判断哪个更适合代表数据的一般水平，同时找出和其余数据差距较大的极端数据，分析其对平均数的影响；最后结合记录情况和计算结果整理成简短的家庭数据报告即可。
【解析】
数据收集
选择统计项目：我家近一周每日家庭用电量（单位：千瓦时），记录数据如下：
| 统计项\天数 | 第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | 第5天 | 第6天 | 第7天 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 当日用电量 | 8 | 9 | 16 | 7 | 8 | 9 | 8 |
数据分析
1. 计算统计量：
先将7天用电量从小到大排序：7，8，8，8，9，9，16
平均数：$\bar{x}=\frac{7+8+8+8+9+9+16}{7}=\frac{65}{7}\approx9.3$（千瓦时）
中位数：共7个数据，排序后第4个数据为8，因此中位数是8千瓦时
众数：数据8出现次数最多，共出现3次，因此众数是8千瓦时
2. 中位数最能反映这组数据的一般水平，因为中位数不受极端偏大/偏小数据的影响，代表了中等水平的日用电量，和多数日常用电的实际情况吻合。
3. 这组数据中第3天的16千瓦时是明显偏大的极端数据，它会拉高整组数据的平均数，使得平均数比多数日常的实际日用电量更高，无法准确代表普通日子的用电水平。
家庭数据报告
我家近一周日均用电量约为9.3千瓦时，其中第3天用电量高达16千瓦时，原因是当日全天开启空调制冷，其余6天的日用电量均在7~9千瓦时区间，多数普通日子的日用电量为8千瓦时。
【答案】
数据收集
选择统计项目：我家近一周每日家庭用电量（单位：千瓦时）
| 统计项\天数 | 第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | 第5天 | 第6天 | 第7天 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 当日用电量 | 8 | 9 | 16 | 7 | 8 | 9 | 8 |
数据分析
1. 计算统计量：
将7天用电量从小到大排序：7，8，8，8，9，9，16
平均数：$\bar{x}=\frac{7+8+8+8+9+9+16}{7}\approx9.3$（千瓦时）
中位数：排序后第4个数据为8，因此中位数是8千瓦时
众数：数据8出现次数最多，共出现3次，因此众数是8千瓦时
2. 中位数最能反映这组数据的一般水平，因为中位数不受极端偏大/偏小数据的影响，代表了中等水平的日用电量，和多数日常用电的实际情况吻合。
3. 这组数据中第3天的16千瓦时是明显偏大的极端数据，它会拉高整组数据的平均数，使得平均数比多数日常的实际日用电量更高，无法准确代表普通日子的用电水平。
家庭数据报告
我家近一周日均用电量约为9.3千瓦时，其中第3天用电量高达16千瓦时，原因是当日全天开启空调制冷，其余6天的日用电量均在7~9千瓦时区间，多数普通日子的日用电量为8千瓦时。
【知识点】
平均数计算，中位数与众数，统计量的应用
【点评】
本题紧密结合生活实际，既需要同学们动手收集真实的生活数据，也要求熟练掌握常见统计量的计算方法和各自的特征，能有效锻炼大家运用统计知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7