3.“旅居云南，车旅兴滇”，露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入新活力.某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车，乙型房车的单价比甲型房车的单价贵10万元，用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等.
(1)甲型房车、乙型房车的单价分别是多少万元？
(2)若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆(两种型号的房车均需购买)，其中购买乙型房车的数量不少于8辆.为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少万元？

3.解:(1)设甲型房车的单价为 $x$ 万元,则乙型房车的单价为 $(x+10)$ 万元. 由题意,得 $\frac{240}{x}=\frac{360}{x+10}$,解得 $x=20$,经检验,$x=20$ 是原分式方程的解,$\therefore x+10=30$.
故甲型房车的单价为 20 万元,乙型房车的单价为 30 万元.
(2)设购买甲型房车 $a$ 辆,则购买乙型房车 $(20-a)$ 辆,$\therefore 20-a ≥ 8$,解得 $a ≤ 12$. 设总费用为 $w$ 万元,由题意可得 $w=20a+30(20-a)=-10a+600$,$\therefore w$ 随 $a$ 的增大而减小,$\therefore$ 当 $a=12$ 时,$w$ 最小,此时 $w=480$,$20-a=8$.
$\therefore$ 为使总费用最低,应购买甲型房车 12 辆,乙型房车 8 辆,最低总费用为 480 万元.

【分析】
(1) 第一问为分式方程的实际应用，解题核心是找准等量关系：240万元购买甲型房车的数量与360万元购买乙型房车的数量相等。我们设甲型房车单价为x万元，可得乙型单价为(x+10)万元，根据“数量=总价÷单价”分别表示两种房车的购买数量，列方程求解即可，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义。
(2) 第二问为一次函数求最值的实际应用，首先设购买甲型房车a辆，可得乙型房车数量为(20-a)辆，根据“乙型房车数量不少于8辆”列不等式求出a的取值范围；再根据“总费用=甲型总费用+乙型总费用”列出总费用w关于a的一次函数表达式，结合一次函数的增减性，在a的取值范围内找到使总费用最低的a值，进而求出最低费用和对应购买方案。
【解析】
(1) 设甲型房车的单价为 $x$ 万元，则乙型房车的单价为 $(x+10)$ 万元。
由题意得：$\frac{240}{x}=\frac{360}{x+10}$，
交叉相乘得 $240(x+10)=360x$，
解得 $x=20$，
经检验，$x=20$ 是原分式方程的解，且符合实际意义，
$\therefore x+10=20+10=30$。
(2) 设购买甲型房车 $a$ 辆，则购买乙型房车 $(20-a)$ 辆，
由题意得 $20-a ≥ 8$，解得 $a ≤ 12$，且a为正整数。
设总费用为 $w$ 万元，由题意得：
$w=20a+30(20-a)=-10a+600$，
$\because -10＜0$，$\therefore w$ 随 $a$ 的增大而减小，
$\therefore$ 当 $a=12$ 时，$w$ 取得最小值，最小值为 $-10×12+600=480$，
此时 $20-a=20-12=8$。
【答案】
(1) 甲型房车单价为20万元，乙型房车单价为30万元；
(2) 应购买甲型房车12辆，乙型房车8辆，最低总费用为480万元。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的最值应用
【点评】
本题结合热门的露营消费背景命题，贴合生活实际，主要考查方程、不等式与一次函数的综合应用，解题关键是准确提取题干中的等量关系和不等关系建立数学模型，注意分式方程必须检验，求函数最值时要结合自变量的实际取值范围分析。
【难度系数】
0.7

4. 如图,函数$y=3x+6$的图象与$x$轴、$y$轴分别相交于点$A,B$,函数$y=-x+2$的图象与$x$轴、$y$轴分别相交于点$D,C$,直线$AB,CD$相交于点$M$.
(1)求点$M$的坐标.
(2)求$△ BCM$的面积.
(3)点$N$在直线$CD$上,使得$S_{△ BMN}=4S_{△ AMC}$,求点$N$的坐标.

4.解:(1)由题意,得$\begin{cases} y=-x+2,\\ y=3x+6, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-1,\\ y=3, \end{cases}$$\therefore M(-1,3)$.
(2)$\because$ 函数 $y=3x+6$ 的图象与 $y$ 轴相交于点 $B$,函数 $y=-x+2$ 的图象与 $y$ 轴相交于点 $C$,$\therefore$ 把 $x=0$ 代入 $y=-x+2$ 得 $y=2$,把 $x=0$ 代入 $y=3x+6$ 得 $y=6$,$\therefore B(0,6),C(0,2)$. $\therefore BC=6-2=4$,$\therefore S_{△BCM}=\frac{1}{2}×4×1=2$.
(3)如图,连接 $AC$.

$\because$ 函数 $y=3x+6$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $A$,函数 $y=-x+2$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $D$,$\therefore$ 把 $y=0$ 代入 $y=3x+6$ 得 $0=3x+6$,解得 $x=-2$,把 $y=0$ 代入 $y=-x+2$ 得 $0=-x+2$,解得 $x=2$,$\therefore A(-2,0),D(2,0)$. $\therefore S_{△AMC}=S_{△ABC}-S_{△BMC}=\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×4×1=2$,$\therefore S_{△BMN}=4S_{△AMC}=8$. 又 $\because S_{△BMN}=\frac{1}{2}BC·|x_N-x_M|$,$\therefore \frac{1}{2}×4|x_N-(-1)|=8$,$\therefore x_N=-5$ 或 $x_N=3$.
当 $x_N=-5$ 时,$y_N=-(-5)+2=7$,此时点 $N$ 的坐标为 $(-5,7)$. 当 $x_N=3$ 时,$y_N=-3+2=-1$,此时点 $N$ 的坐标为 $(3,-1)$. 综上可知,点 $N$ 的坐标为 $(-5,7)$ 或 $(3,-1)$.

【分析】
(1) 两条直线的交点坐标同时满足两个直线的解析式，因此只需联立两个一次函数的解析式得到二元一次方程组，求解方程组即可得到点M的坐标。
(2) 求△BCM的面积，首先求出B、C两点的坐标：B、C分别是两条直线与y轴的交点，代入x=0即可得到两点坐标，进而得到BC的长度；BC在y轴上，点M到BC的距离等于M点横坐标的绝对值，最后利用三角形面积公式计算即可。
(3) 首先求出点A的坐标，通过△ABC与△BCM的面积差求出△AMC的面积，进而得到△BMN的面积；由于点N在直线CD上，△BMN可以BC为底，点N与点M的横坐标差的绝对值为高列方程，解出N的横坐标后代入直线CD的解析式求出纵坐标，注意横坐标有两种情况，需分类讨论不要漏解。
【解析】
(1) 联立两直线的解析式，得：
$\begin{cases} y=-x+2\\ y=3x+6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=-1\\ y=3 \end{cases}$，因此点M的坐标为$(-1,3)$。
(2) 对于$y=3x+6$，令$x=0$，得$y=6$，故$B(0,6)$；对于$y=-x+2$，令$x=0$，得$y=2$，故$C(0,2)$。
则$BC=6-2=4$，点M到y轴（即BC所在直线）的距离为$|-1|=1$，因此：
$S_{△ BCM}=\frac{1}{2} × BC × 1=\frac{1}{2} × 4 × 1=2$。
(3) 如图，连接$AC$。

对于$y=3x+6$，令$y=0$，得$0=3x+6$，解得$x=-2$，故$A(-2,0)$；对于$y=-x+2$，令$y=0$，得$0=-x+2$，解得$x=2$，故$D(2,0)$。
$△ ABC$的面积为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × |x_A|=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$，因此$S_{△ AMC}=S_{△ ABC}-S_{△ BMC}=4-2=2$。
由题意得$S_{△ BMN}=4S_{△ AMC}=4 × 2=8$。
设点N的横坐标为$x_N$，由于N在直线CD上，$△ BMN$以BC为底时，高为$|x_N - x_M|=|x_N +1|$，因此：
$\frac{1}{2} × BC × |x_N +1|=8$，代入$BC=4$得$\frac{1}{2} × 4 × |x_N +1|=8$，解得$|x_N +1|=4$，即$x_N=3$或$x_N=-5$。
当$x_N=-5$时，$y_N=-(-5)+2=7$，即$N(-5,7)$；当$x_N=3$时，$y_N=-3+2=-1$，即$N(3,-1)$。
【答案】
(1) $M(-1,3)$
(2) $S_{△ BCM}=2$
(3) 点$N$的坐标为$(-5,7)$或$(3,-1)$，辅助线如下：

【知识点】
一次函数交点求解，一次函数与坐标轴交点，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的经典综合题型，既考查了一次函数的基础性质，又结合了图形面积计算与分类讨论思想，能够有效检验学生对一次函数知识的掌握程度和几何分析能力，解题时注意第三问不要漏解。
【难度系数】
0.7