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一、选择题
1. 若$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{7}$，则$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=$（
A.2
B.4
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{2}$
1. 若$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{7}$，则$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=$（
A
）.A.2
B.4
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{2}$
答案
1.A
解析
【分析】
这道题考查二次根式的化简求值，解题思路如下：首先观察待求式的结构，我们可以利用二次根式的性质先化简，或者直接将a、b的值代入计算。因为a、b都是算术平方根，均为正数，所以可以直接用$\sqrt{x^2}=x(x≥0)$的性质，不用考虑符号问题，先计算$a^2$、$b^2$的值，再代入待求式的根号内计算，最后开方即可得到结果，这样计算更简便。
【解析】
方法一：先化简再代入
已知$a=\sqrt{2}＞0$，$b=\sqrt{7}＞0$，根据二次根式的性质$\sqrt{\frac{m}{n}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}(m≥0,n＞0)$、$\sqrt{x^2}=x(x≥0)$，可得：
$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{14}·\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{\sqrt{14}· a}{b}$
将$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{7}$代入上式：
$\dfrac{\sqrt{14}×\sqrt{2}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{14×2}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{7}}=\sqrt{\dfrac{28}{7}}=\sqrt{4}=2$
方法二：直接代入计算
先计算$a^2=(\sqrt{2})^2=2$，$b^2=(\sqrt{7})^2=7$，代入待求式：
$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{14×2}{7}}=\sqrt{4}=2$
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查二次根式的基本性质和化简计算能力，计算时优先先算平方部分再代入，能有效简化运算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次根式的化简求值，解题思路如下：首先观察待求式的结构，我们可以利用二次根式的性质先化简，或者直接将a、b的值代入计算。因为a、b都是算术平方根，均为正数，所以可以直接用$\sqrt{x^2}=x(x≥0)$的性质，不用考虑符号问题，先计算$a^2$、$b^2$的值，再代入待求式的根号内计算，最后开方即可得到结果，这样计算更简便。
【解析】
方法一：先化简再代入
已知$a=\sqrt{2}＞0$，$b=\sqrt{7}＞0$，根据二次根式的性质$\sqrt{\frac{m}{n}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}(m≥0,n＞0)$、$\sqrt{x^2}=x(x≥0)$，可得：
$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{14}·\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{\sqrt{14}· a}{b}$
将$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{7}$代入上式：
$\dfrac{\sqrt{14}×\sqrt{2}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{14×2}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{7}}=\sqrt{\dfrac{28}{7}}=\sqrt{4}=2$
方法二：直接代入计算
先计算$a^2=(\sqrt{2})^2=2$，$b^2=(\sqrt{7})^2=7$，代入待求式：
$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{14×2}{7}}=\sqrt{4}=2$
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查二次根式的基本性质和化简计算能力，计算时优先先算平方部分再代入，能有效简化运算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
2. 已知$1＜x＜2$，化简$\sqrt{(x-1)^2} + |x-2|$的结果为（
A.$-1$
B.$1$
C.$2x-3$
D.$3-2x$
B
）.A.$-1$
B.$1$
C.$2x-3$
D.$3-2x$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，先将原式中的二次根式转化为绝对值形式，此时原式变为两个绝对值相加的形式。接下来结合题目给出的$1＜x＜2$的取值范围，分别判断两个绝对值内部的表达式的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
第一步：根据二次根式的性质化简二次根式
由$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$，因此原式可转化为：
$\sqrt{(x-1)^2} + |x-2|=|x-1|+|x-2|$
第二步：判断绝对值内表达式的正负
已知$1＜x＜2$，可得：
$x-1＞0$，$x-2＜0$
第三步：根据绝对值的性质去绝对值并计算
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，因此：
$|x-1|=x-1$，$|x-2|=-(x-2)=2-x$
代入原式计算：
$(x-1)+(2-x)=x-1+2-x=1$
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式与绝对值化简的基础综合题，解题核心是结合未知数的取值范围判断绝对值内式子的正负，再按规则去绝对值计算，是代数化简类的常见题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，先将原式中的二次根式转化为绝对值形式，此时原式变为两个绝对值相加的形式。接下来结合题目给出的$1＜x＜2$的取值范围，分别判断两个绝对值内部的表达式的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
第一步：根据二次根式的性质化简二次根式
由$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$，因此原式可转化为：
$\sqrt{(x-1)^2} + |x-2|=|x-1|+|x-2|$
第二步：判断绝对值内表达式的正负
已知$1＜x＜2$，可得：
$x-1＞0$，$x-2＜0$
第三步：根据绝对值的性质去绝对值并计算
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，因此：
$|x-1|=x-1$，$|x-2|=-(x-2)=2-x$
代入原式计算：
$(x-1)+(2-x)=x-1+2-x=1$
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式与绝对值化简的基础综合题，解题核心是结合未知数的取值范围判断绝对值内式子的正负，再按规则去绝对值计算，是代数化简类的常见题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图1，在直线$ l $上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为（
A.6
B.5
C.$\sqrt{6}$
D.36
A
）。A.6
B.5
C.$\sqrt{6}$
D.36
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，斜放正方形的边与两个正放正方形相邻边构成两个直角三角形，可按以下思路推导：1. 先利用同角的余角相等得到两个直角三角形的一组对应锐角相等，结合斜边均为斜放正方形的边，用AAS证明两个直角三角形全等；2. 全等后两个正放正方形的边长对应为同一个直角三角形的两条直角边，再结合勾股定理，可知两条直角边的平方和等于斜边平方，而正方形面积等于边长平方，因此两个正放正方形的面积和就等于斜放正方形的面积。
【解析】
设左侧正放正方形的边长为$a$，右侧正放正方形的边长为$b$，斜放正方形的边长为$c$。
1. 证明直角三角形全等：
斜放正方形的内角为$90°$，因此其下方两个直角三角形中，满足$∠1+∠2=90°$，$∠2+∠3=90°$，可得$∠1=∠3$；两个直角三角形的斜边均为斜放正方形的边，斜边相等，且两个三角形均为直角三角形，根据AAS（角角边）可判定两个直角三角形全等。
2. 结合勾股定理求面积和：
由全等可知，两个直角三角形的直角边分别为$a$、$b$，根据勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$。
已知斜放正方形的面积为$c^2=6$，两个正放正方形的面积分别为$a^2$、$b^2$，因此二者面积和为$a^2+b^2=c^2=6$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定；正方形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题型，将正方形性质、全等三角形判定与勾股定理结合考查，解题核心是通过全等三角形完成边长的转化，再利用勾股定理直接得到面积和的关系，无需单独计算两个正方形的边长，能很好地考查学生的图形观察能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，斜放正方形的边与两个正放正方形相邻边构成两个直角三角形，可按以下思路推导：1. 先利用同角的余角相等得到两个直角三角形的一组对应锐角相等，结合斜边均为斜放正方形的边，用AAS证明两个直角三角形全等；2. 全等后两个正放正方形的边长对应为同一个直角三角形的两条直角边，再结合勾股定理，可知两条直角边的平方和等于斜边平方，而正方形面积等于边长平方，因此两个正放正方形的面积和就等于斜放正方形的面积。
【解析】
设左侧正放正方形的边长为$a$，右侧正放正方形的边长为$b$，斜放正方形的边长为$c$。
1. 证明直角三角形全等：
斜放正方形的内角为$90°$，因此其下方两个直角三角形中，满足$∠1+∠2=90°$，$∠2+∠3=90°$，可得$∠1=∠3$；两个直角三角形的斜边均为斜放正方形的边，斜边相等，且两个三角形均为直角三角形，根据AAS（角角边）可判定两个直角三角形全等。
2. 结合勾股定理求面积和：
由全等可知，两个直角三角形的直角边分别为$a$、$b$，根据勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$。
已知斜放正方形的面积为$c^2=6$，两个正放正方形的面积分别为$a^2$、$b^2$，因此二者面积和为$a^2+b^2=c^2=6$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定；正方形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题型，将正方形性质、全等三角形判定与勾股定理结合考查，解题核心是通过全等三角形完成边长的转化，再利用勾股定理直接得到面积和的关系，无需单独计算两个正方形的边长，能很好地考查学生的图形观察能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
4. 图2取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图2中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图3，则图3中大正方形的面积为（
A.24
B.36
C.40
D.44
D
）.A.24
B.36
C.40
D.44
答案
4.D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先设直角三角形的短直角边为$a$，长直角边为$b$，斜边为$c$。首先结合图2赵爽弦图的特点：大正方形的边长等于直角三角形的斜边，小正方形的边长等于两条直角边的差，先根据两个正方形的面积分别得到$c^2$和$(b-a)^2$的值，再利用完全平方公式求出$2ab$的值。最后观察图3，它的大正方形边长是两条直角边的和，面积就是$(a+b)^2$，展开后代入已求的数值就能算出结果。
【解析】
设直角三角形的短直角边长为$a$，长直角边长为$b$，斜边长为$c$。
1. 由图2可知：大正方形边长为斜边$c$，面积为24，根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2 = 24$；
小正方形的面积为4，小正方形边长为$b - a$，因此$(b - a)^2 = 4$。
2. 展开$(b - a)^2$得：$a^2 - 2ab + b^2 = 4$，将$a^2 + b^2=24$代入，得$24 - 2ab = 4$，解得$2ab = 20$。
3. 观察图3，大正方形的边长为$a + b$，因此它的面积为$(a + b)^2$，展开得：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 24 + 20 = 44$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
这道题结合古代数学文化，考查几何图形拼接中的数量关系，解题关键是理清不同拼接方式下正方形边长和直角三角形边长的对应关系，熟练运用勾股定理和完全平方公式的变形进行计算。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以先设直角三角形的短直角边为$a$，长直角边为$b$，斜边为$c$。首先结合图2赵爽弦图的特点：大正方形的边长等于直角三角形的斜边，小正方形的边长等于两条直角边的差，先根据两个正方形的面积分别得到$c^2$和$(b-a)^2$的值，再利用完全平方公式求出$2ab$的值。最后观察图3，它的大正方形边长是两条直角边的和，面积就是$(a+b)^2$，展开后代入已求的数值就能算出结果。
【解析】
设直角三角形的短直角边长为$a$，长直角边长为$b$，斜边长为$c$。
1. 由图2可知：大正方形边长为斜边$c$，面积为24，根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2 = 24$；
小正方形的面积为4，小正方形边长为$b - a$，因此$(b - a)^2 = 4$。
2. 展开$(b - a)^2$得：$a^2 - 2ab + b^2 = 4$，将$a^2 + b^2=24$代入，得$24 - 2ab = 4$，解得$2ab = 20$。
3. 观察图3，大正方形的边长为$a + b$，因此它的面积为$(a + b)^2$，展开得：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 24 + 20 = 44$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
这道题结合古代数学文化，考查几何图形拼接中的数量关系，解题关键是理清不同拼接方式下正方形边长和直角三角形边长的对应关系，熟练运用勾股定理和完全平方公式的变形进行计算。
【难度系数】
0.7
5. 已知$n$是正整数，$\sqrt{189n}$是整数，则$n$的最小值为
21
.答案
5. 21
解析
【分析】
要使$\sqrt{189n}$是整数，首先要明确二次根式的相关性质：若$\sqrt{a}$为正整数，则被开方数$a$一定是完全平方数。解题时先将189分解质因数，分离出其中已经是完全平方数的因数，剩余质因数的指数均为1，要让整个被开方数成为完全平方数，只需让$n$补充剩余的质因数，使所有质因数的指数都变为偶数，此时得到的$n$就是最小值。
【解析】
先对189分解质因数：
$189=9×21=3^2×3×7=3^2×21$
因此$\sqrt{189n}=\sqrt{3^2×21n}=3\sqrt{21n}$
已知$\sqrt{189n}$是整数，则$\sqrt{21n}$必须为整数，即$21n$是完全平方数。
由于$21=3×7$，两个质因数的指数都为1，要使$21n$是完全平方数，$n$最小需要包含质因数3和7，即$n$的最小值为$3×7=21$。
【答案】
21
【知识点】
二次根式的化简；完全平方数的特征；质因数分解
【点评】
本题是二次根式相关的典型基础题型，解题核心是将被开方数拆分出完全平方因数，再结合完全平方数的性质推导未知参数的最小值，掌握该思路可快速解决同类求最小正整数的问题。
【难度系数】
0.8
要使$\sqrt{189n}$是整数，首先要明确二次根式的相关性质：若$\sqrt{a}$为正整数，则被开方数$a$一定是完全平方数。解题时先将189分解质因数，分离出其中已经是完全平方数的因数，剩余质因数的指数均为1，要让整个被开方数成为完全平方数，只需让$n$补充剩余的质因数，使所有质因数的指数都变为偶数，此时得到的$n$就是最小值。
【解析】
先对189分解质因数：
$189=9×21=3^2×3×7=3^2×21$
因此$\sqrt{189n}=\sqrt{3^2×21n}=3\sqrt{21n}$
已知$\sqrt{189n}$是整数，则$\sqrt{21n}$必须为整数，即$21n$是完全平方数。
由于$21=3×7$，两个质因数的指数都为1，要使$21n$是完全平方数，$n$最小需要包含质因数3和7，即$n$的最小值为$3×7=21$。
【答案】
21
【知识点】
二次根式的化简；完全平方数的特征；质因数分解
【点评】
本题是二次根式相关的典型基础题型，解题核心是将被开方数拆分出完全平方因数，再结合完全平方数的性质推导未知参数的最小值，掌握该思路可快速解决同类求最小正整数的问题。
【难度系数】
0.8
6. 如图4，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=2AC$，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交斜边AB于点D，以点B为圆心，BD长为半径画弧，交直角边BC于点E. 若$BC=6$，则CE的长度为
$9-3\sqrt{5}$
.答案
6. $9-3\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题思路：首先从已知条件BC=2AC、BC=6出发，先求出AC的长度；再利用直角三角形的勾股定理计算斜边AB的长度；接着根据“同圆半径相等”的性质，分别得到AD=AC、BE=BD，先求出BD的长度，进而得到BE的长度；最后用BC的长度减去BE的长度即可得到CE的长度。
【解析】
解：
∵BC=2AC，BC=6，
∴AC = $\frac{1}{2}$BC = 3。
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
AB = $\sqrt{AC^2 + BC^2}$ = $\sqrt{3^2 + 6^2}$ = $\sqrt{9 + 36}$ = $\sqrt{45}$ = $3\sqrt{5}$。
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧交AB于点D，
∴AD = AC = 3，
∴BD = AB - AD = $3\sqrt{5} - 3$。
∵以点B为圆心，BD长为半径画弧交BC于点E，
∴BE = BD = $3\sqrt{5} - 3$，
∴CE = BC - BE = 6 - ($3\sqrt{5} - 3$) = $9 - 3\sqrt{5}$。
【答案】
$9-3\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质；二次根式运算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是结合圆的半径相等的性质，理清各线段之间的数量关系，再结合勾股定理逐步计算即可，计算过程中注意二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先从已知条件BC=2AC、BC=6出发，先求出AC的长度；再利用直角三角形的勾股定理计算斜边AB的长度；接着根据“同圆半径相等”的性质，分别得到AD=AC、BE=BD，先求出BD的长度，进而得到BE的长度；最后用BC的长度减去BE的长度即可得到CE的长度。
【解析】
解：
∵BC=2AC，BC=6，
∴AC = $\frac{1}{2}$BC = 3。
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
AB = $\sqrt{AC^2 + BC^2}$ = $\sqrt{3^2 + 6^2}$ = $\sqrt{9 + 36}$ = $\sqrt{45}$ = $3\sqrt{5}$。
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧交AB于点D，
∴AD = AC = 3，
∴BD = AB - AD = $3\sqrt{5} - 3$。
∵以点B为圆心，BD长为半径画弧交BC于点E，
∴BE = BD = $3\sqrt{5} - 3$，
∴CE = BC - BE = 6 - ($3\sqrt{5} - 3$) = $9 - 3\sqrt{5}$。
【答案】
$9-3\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质；二次根式运算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是结合圆的半径相等的性质，理清各线段之间的数量关系，再结合勾股定理逐步计算即可，计算过程中注意二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.7
7. 如图5，已知∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线且AD=10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF的周长为
$5+5\sqrt{3}$
。答案
7. $5+5\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用线段垂直平分线的性质，得到DF=AF，将△DEF的周长转化为DE+EF+AF，也就是DE+AE，简化计算目标；2. 结合角平分线的定义求出∠DAE的度数，再根据直角三角形中30°角所对直角边为斜边一半的性质求出DE的长度；3. 最后用勾股定理求出AE的长度，两者相加即可得到△DEF的周长。
【解析】
1. 因为点F在AD的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可得：$AF=DF$。
因此$△ DEF$的周长$=DE+EF+DF=DE+EF+AF=DE+AE$。
2. 已知AD是$∠ BAC$的平分线，$∠ BAC=60°$，所以$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。
3. 因为$DE⊥ AC$，所以$△ ADE$是直角三角形，在$Rt△ ADE$中，$AD=10$，$∠ DAE=30°$，根据直角三角形30°角的性质可得：$DE=\frac{1}{2}AD=5$。
4. 根据勾股定理计算$AE$：
$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。
5. 因此$△ DEF$的周长$=DE+AE=5+5\sqrt{3}$。
【答案】
$5+5\sqrt{3}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题重点考查几何基础性质的综合运用，核心解题突破口是利用垂直平分线的性质完成周长的转化，将分散的未知边整合为可直接计算的线段，充分体现了几何计算中的转化思想，掌握基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先利用线段垂直平分线的性质，得到DF=AF，将△DEF的周长转化为DE+EF+AF，也就是DE+AE，简化计算目标；2. 结合角平分线的定义求出∠DAE的度数，再根据直角三角形中30°角所对直角边为斜边一半的性质求出DE的长度；3. 最后用勾股定理求出AE的长度，两者相加即可得到△DEF的周长。
【解析】
1. 因为点F在AD的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可得：$AF=DF$。
因此$△ DEF$的周长$=DE+EF+DF=DE+EF+AF=DE+AE$。
2. 已知AD是$∠ BAC$的平分线，$∠ BAC=60°$，所以$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。
3. 因为$DE⊥ AC$，所以$△ ADE$是直角三角形，在$Rt△ ADE$中，$AD=10$，$∠ DAE=30°$，根据直角三角形30°角的性质可得：$DE=\frac{1}{2}AD=5$。
4. 根据勾股定理计算$AE$：
$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。
5. 因此$△ DEF$的周长$=DE+AE=5+5\sqrt{3}$。
【答案】
$5+5\sqrt{3}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题重点考查几何基础性质的综合运用，核心解题突破口是利用垂直平分线的性质完成周长的转化，将分散的未知边整合为可直接计算的线段，充分体现了几何计算中的转化思想，掌握基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
