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8. 如图6，半圆和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，半圆和正方形的面积分别为π和2，求图中阴影部分的面积.
答案
8. 2. 提示：求得半圆的半径为$\sqrt{2}$，$S_{\mathrm{阴影}}=\sqrt{2} × 2\sqrt{2} - 2 = 2$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影面积=矩形面积-中间正方形的面积，已知正方形面积为2，因此只需先求出矩形的面积即可。首先根据半圆的面积公式求出半圆的半径，半圆的直径就是矩形的长；再根据正方形的面积求出正方形的边长，该边长就是矩形的宽；最后计算矩形面积减去正方形面积即可得到阴影面积。
【解析】
解：设半圆的半径为r，
由半圆面积公式$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}π r^2$，已知半圆面积为$π$，代入得：
$\frac{1}{2}π r^2=π$
化简得$r^2=2$，解得$r=\sqrt{2}$（半径为正数，舍去负根）
因此半圆的直径为$2r=2\sqrt{2}$，即矩形的长为$2\sqrt{2}$。
设正方形的边长为a，已知正方形面积为2，由正方形面积公式$S_{\mathrm{正方形}}=a^2$，得：
$a^2=2$，解得$a=\sqrt{2}$（边长为正数，舍去负根），即矩形的宽为$\sqrt{2}$。
矩形的面积为：$S_{\mathrm{矩形}}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}=2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$
阴影部分面积为：$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{矩形}}-S_{\mathrm{正方形}}=4-2=2$
【答案】
2
【知识点】
半圆面积计算，正方形面积计算，二次根式运算
【点评】
本题属于基础的组合图形面积计算题，解题核心是找到不同图形边长的对应关系，结合对应的面积公式逐步推导即可，计算时需注意二次根式的运算规则。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影面积=矩形面积-中间正方形的面积，已知正方形面积为2，因此只需先求出矩形的面积即可。首先根据半圆的面积公式求出半圆的半径，半圆的直径就是矩形的长；再根据正方形的面积求出正方形的边长，该边长就是矩形的宽；最后计算矩形面积减去正方形面积即可得到阴影面积。
【解析】
解：设半圆的半径为r，
由半圆面积公式$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}π r^2$，已知半圆面积为$π$，代入得：
$\frac{1}{2}π r^2=π$
化简得$r^2=2$，解得$r=\sqrt{2}$（半径为正数，舍去负根）
因此半圆的直径为$2r=2\sqrt{2}$，即矩形的长为$2\sqrt{2}$。
设正方形的边长为a，已知正方形面积为2，由正方形面积公式$S_{\mathrm{正方形}}=a^2$，得：
$a^2=2$，解得$a=\sqrt{2}$（边长为正数，舍去负根），即矩形的宽为$\sqrt{2}$。
矩形的面积为：$S_{\mathrm{矩形}}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}=2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$
阴影部分面积为：$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{矩形}}-S_{\mathrm{正方形}}=4-2=2$
【答案】
2
【知识点】
半圆面积计算，正方形面积计算，二次根式运算
【点评】
本题属于基础的组合图形面积计算题，解题核心是找到不同图形边长的对应关系，结合对应的面积公式逐步推导即可，计算时需注意二次根式的运算规则。
【难度系数】
0.7
9. 阅读下列内容，并解决问题.
【问题呈现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果 $ m $ 表示大于1的整数，$ a=2m $，$ b=m^2-1 $，$ c=m^2+1 $，那么 $ a $，$ b $，$ c $ 为勾股数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.一般地，若三角形三边长 $ a $，$ b $，$ c $ 都是正整数，且满足 $ a^2+b^2=c^2 $，那么 $ a $，$ b $，$ c $ 称为一组勾股数.
关于勾股数的研究，我国周朝时期数学家商高在约公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数“3，4，5”是世界上最早发现的一组勾股数.毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，问题呈现中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》.
【问题解决】
（1）根据柏拉图的研究，当 $ m＝6 $ 时，请直接写出一组勾股数：
（2）若 $ m $ 表示大于1的整数，试证明“$ m^2-1 $，$ 2m $，$ m^2+1 $”是一组勾股数.
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数.
【问题呈现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果 $ m $ 表示大于1的整数，$ a=2m $，$ b=m^2-1 $，$ c=m^2+1 $，那么 $ a $，$ b $，$ c $ 为勾股数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.一般地，若三角形三边长 $ a $，$ b $，$ c $ 都是正整数，且满足 $ a^2+b^2=c^2 $，那么 $ a $，$ b $，$ c $ 称为一组勾股数.
关于勾股数的研究，我国周朝时期数学家商高在约公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数“3，4，5”是世界上最早发现的一组勾股数.毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，问题呈现中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》.
【问题解决】
（1）根据柏拉图的研究，当 $ m＝6 $ 时，请直接写出一组勾股数：
12，35，37
.（2）若 $ m $ 表示大于1的整数，试证明“$ m^2-1 $，$ 2m $，$ m^2+1 $”是一组勾股数.
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数.
答案
9. （1）当 $m=6$ 时，$2m=12$，$m^2-1=35$，$m^2+1=37$，即 12，35，37
（2）$(m^2-1)^2+(2m)^2=m^4-2m^2+1+4m^2=m^4+2m^2+1$，
$(m^2+1)^2=m^4+2m^2+1$，$\therefore (m^2-1)^2+(2m)^2=(m^2+1)^2$。$\because m$ 表示大于 1 的整数，
$\therefore m^2-1$，$2m$，$m^2+1$ 都是正整数，$\therefore m^2-1$，$2m$，$m^2+1$ 是一组勾股数
（3）5，12，13 这组数，是柏拉图给出的勾股数公式不能构造出的勾股数（答案不唯一）
（2）$(m^2-1)^2+(2m)^2=m^4-2m^2+1+4m^2=m^4+2m^2+1$，
$(m^2+1)^2=m^4+2m^2+1$，$\therefore (m^2-1)^2+(2m)^2=(m^2+1)^2$。$\because m$ 表示大于 1 的整数，
$\therefore m^2-1$，$2m$，$m^2+1$ 都是正整数，$\therefore m^2-1$，$2m$，$m^2+1$ 是一组勾股数
（3）5，12，13 这组数，是柏拉图给出的勾股数公式不能构造出的勾股数（答案不唯一）
解析
【分析】
（1）第一问直接将$m=6$代入柏拉图给出的三个表达式$a=2m$、$b=m^2-1$、$c=m^2+1$，计算出对应的正整数，即可得到对应的勾股数。
（2）要证明三个数是勾股数，首先明确勾股数需要满足两个条件：①三个数都是正整数；②较小两个数的平方和等于最大数的平方。首先判断$m＞1$时，$m^2+1$是三个数中最大的，再分别计算$(m^2-1)^2+(2m)^2$和$(m^2+1)^2$，验证两者相等，再结合m是大于1的整数说明三个数都是正整数即可。
（3）柏拉图的公式生成的勾股数中，最大数和次大数的差为2，只要找到一组不满足这个特征的勾股数即可，比如常见的5,12,13等。
【解析】
（1）当$m=6$时，分别计算三个表达式的值：
$2m=2×6=12$，
$m^2-1=6^2-1=36-1=35$，
$m^2+1=6^2+1=36+1=37$，
因此这组勾股数为12，35，37。
（2）首先计算较小两个数的平方和：
$(m^2-1)^2+(2m)^2=m^4-2m^2+1+4m^2=m^4+2m^2+1$，
再计算最大数的平方：
$(m^2+1)^2=m^4+2m^2+1$，
因此可得$(m^2-1)^2+(2m)^2=(m^2+1)^2$。
又因为$m$是大于1的整数，所以$m^2-1$、$2m$、$m^2+1$均为正整数，满足勾股数的定义，故这三个数是一组勾股数。
（3）勾股数5，12，13，不存在大于1的整数$m$使得$2m$、$m^2-1$、$m^2+1$对应这三个数，因此是柏拉图公式无法构造的勾股数（答案不唯一）。
【答案】
（1）12，35，37
（2）证明见上述解析
（3）5，12，13（答案不唯一）
【知识点】
勾股数的定义，完全平方公式，整式的运算
【点评】
本题以勾股数的研究历史为背景，既考查了勾股数的判定方法，又考查了整式的化简运算，同时引导学生了解数学史，开放性的反例设问能够检验学生对常见勾股数的积累和对公式特征的理解。
【难度系数】
0.7
（1）第一问直接将$m=6$代入柏拉图给出的三个表达式$a=2m$、$b=m^2-1$、$c=m^2+1$，计算出对应的正整数，即可得到对应的勾股数。
（2）要证明三个数是勾股数，首先明确勾股数需要满足两个条件：①三个数都是正整数；②较小两个数的平方和等于最大数的平方。首先判断$m＞1$时，$m^2+1$是三个数中最大的，再分别计算$(m^2-1)^2+(2m)^2$和$(m^2+1)^2$，验证两者相等，再结合m是大于1的整数说明三个数都是正整数即可。
（3）柏拉图的公式生成的勾股数中，最大数和次大数的差为2，只要找到一组不满足这个特征的勾股数即可，比如常见的5,12,13等。
【解析】
（1）当$m=6$时，分别计算三个表达式的值：
$2m=2×6=12$，
$m^2-1=6^2-1=36-1=35$，
$m^2+1=6^2+1=36+1=37$，
因此这组勾股数为12，35，37。
（2）首先计算较小两个数的平方和：
$(m^2-1)^2+(2m)^2=m^4-2m^2+1+4m^2=m^4+2m^2+1$，
再计算最大数的平方：
$(m^2+1)^2=m^4+2m^2+1$，
因此可得$(m^2-1)^2+(2m)^2=(m^2+1)^2$。
又因为$m$是大于1的整数，所以$m^2-1$、$2m$、$m^2+1$均为正整数，满足勾股数的定义，故这三个数是一组勾股数。
（3）勾股数5，12，13，不存在大于1的整数$m$使得$2m$、$m^2-1$、$m^2+1$对应这三个数，因此是柏拉图公式无法构造的勾股数（答案不唯一）。
【答案】
（1）12，35，37
（2）证明见上述解析
（3）5，12，13（答案不唯一）
【知识点】
勾股数的定义，完全平方公式，整式的运算
【点评】
本题以勾股数的研究历史为背景，既考查了勾股数的判定方法，又考查了整式的化简运算，同时引导学生了解数学史，开放性的反例设问能够检验学生对常见勾股数的积累和对公式特征的理解。
【难度系数】
0.7
