例 6 如图，$∠ AOC$ 与 $∠ BOC$ 互为补角，$∠ BOC$ 与 $∠ BOD$ 互为余角，且 $∠ BOC=4∠ BOD$。
（1）求 $∠ BOC$ 的度数；
（2）若 $OE$ 平分 $∠ AOC$，求 $∠ BOE$ 的度数。

解（1）$∠ BOC$ 与 $∠ BOD$ 互为余角，
故 $∠ BOC+∠ BOD=90°$。
因为 $∠ BOC=4∠ BOD$，所以 $∠ BOC=\frac{4}{5}×90°=72°$。
（2）$∠ AOC$ 与 $∠ BOC$ 互为补角，
故 $∠ AOC+∠ BOC=180°$。
所以 $∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-72°=108°$。
因为 $OE$ 平分 $∠ AOC$，
所以 $∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×108°=54°$，
所以 $∠ BOE=∠ COE+∠ BOC=54°+72°=126°$。

解（1）$∠ BOC$ 与 $∠ BOD$ 互为余角，故 $∠ BOC+∠ BOD=90°$。因为 $∠ BOC=4∠ BOD$，所以 $∠ BOC=\frac{4}{5}×90°=72°$。
（2）$∠ AOC$ 与 $∠ BOC$ 互为补角，故 $∠ AOC+∠ BOC=180°$。所以 $∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-72°=108°$。因为 $OE$ 平分 $∠ AOC$，所以 $∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×108°=54°$，所以 $∠ BOE=∠ COE+∠ BOC=54°+72°=126°$。

【分析】
（1）求解第一问首先依据余角的定义：互为余角的两个角和为90°，已知∠BOC与∠BOD互余，且∠BOC是∠BOD的4倍，可将∠BOD看作1份，∠BOC看作4份，两角之和共5份对应90°，按比例即可求出∠BOC的度数。
（2）求解第二问先依据补角的定义：互为补角的两个角和为180°，结合第一问求出的∠BOC的度数，先计算出∠AOC的度数；再根据角平分线的定义，得到∠COE为∠AOC的一半；最后观察图形可知∠BOE是∠COE与∠BOC的和，相加即可得到最终结果。
【解析】
（1）
∵∠BOC与∠BOD互为余角，
∴∠BOC+∠BOD=90°。
又
∵∠BOC=4∠BOD，
∴$∠ BOC=\frac{4}{4+1}×90°=72°$。
（2）
∵∠AOC与∠BOC互为补角，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-72°=108°。
∵OE平分∠AOC，
∴$∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×108°=54°$，
∴∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°。
【答案】
（1）$\boldsymbol{72°}$；（2）$\boldsymbol{126°}$
【知识点】
余角与补角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是基础的角度运算题，侧重考查对角度相关基础概念的理解与应用，解题的关键是准确梳理各角之间的数量关系，结合图形特征代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8