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1. 若一个角比它的余角大$30°$，则这个角等于（
A.$30°$
B.$60°$
C.$105°$
D.$120°$
B
）A.$30°$
B.$60°$
C.$105°$
D.$120°$
答案
1. B 解析 设这个角为x，则$x-(90°-x)=30°$，解得$x=60°$.
解析
【分析】
首先明确余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。本题可采用方程思想求解，先设这个角的度数为x，那么它的余角度数为(90°-x)，再根据“这个角比它的余角大30°”的等量关系列方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
设这个角的度数为x，则它的余角为(90°-x)。
根据题意列方程：
$x-(90°-x)=30°$
去括号得：$x-90°+x=30°$
合并同类项得：$2x=120°$
系数化为1得：$x=60°$
【答案】
B
【知识点】
余角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，将几何概念和代数方程结合考察，解题的核心是准确掌握余角的定义，正确梳理题干中的等量关系。
【难度系数】
0.85
首先明确余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。本题可采用方程思想求解，先设这个角的度数为x，那么它的余角度数为(90°-x)，再根据“这个角比它的余角大30°”的等量关系列方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
设这个角的度数为x，则它的余角为(90°-x)。
根据题意列方程：
$x-(90°-x)=30°$
去括号得：$x-90°+x=30°$
合并同类项得：$2x=120°$
系数化为1得：$x=60°$
【答案】
B
【知识点】
余角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，将几何概念和代数方程结合考察，解题的核心是准确掌握余角的定义，正确梳理题干中的等量关系。
【难度系数】
0.85
2. 一副三角尺摆放如图所示，则∠1余角的度数为（
A.$45°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$75°$
D
）A.$45°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$75°$
答案
2. D 解析 由题意知$∠ ACD = 30°$，$∠ BCD = 45°$，得$∠ 1 = ∠ BCD - ∠ ACD = 45°- 30°=15°$，所以$∠ 1$的余角为$90°-∠ 1=90°-15°=75°$.
解析
【分析】
解题时首先回忆一副三角尺的固定角度：其中一个三角尺的角度为30°、60°、90°，另一个等腰直角三角尺的角度为45°、45°、90°。观察图形可知∠1是45°角和30°角的差，先计算出∠1的度数，再根据余角的定义（两个角的和为90°时互为余角），用90°减去∠1的度数即可得到所求结果。
【解析】
由三角尺的角度特征可得：∠BCD=45°，∠ACD=30°，
因此∠1 = ∠BCD - ∠ACD = 45° - 30° = 15°，
根据余角的定义，∠1的余角度数为90° - ∠1 = 90° - 15° = 75°。
【答案】
D
【知识点】
三角尺的角度特征，角的和差计算，余角的定义
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是熟悉三角尺的固定角度，准确识别图中角的和差关系，结合余角的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一副三角尺的固定角度：其中一个三角尺的角度为30°、60°、90°，另一个等腰直角三角尺的角度为45°、45°、90°。观察图形可知∠1是45°角和30°角的差，先计算出∠1的度数，再根据余角的定义（两个角的和为90°时互为余角），用90°减去∠1的度数即可得到所求结果。
【解析】
由三角尺的角度特征可得：∠BCD=45°，∠ACD=30°，
因此∠1 = ∠BCD - ∠ACD = 45° - 30° = 15°，
根据余角的定义，∠1的余角度数为90° - ∠1 = 90° - 15° = 75°。
【答案】
D
【知识点】
三角尺的角度特征，角的和差计算，余角的定义
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是熟悉三角尺的固定角度，准确识别图中角的和差关系，结合余角的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 已知一个角的度数是 $62°23'$，则它的余角的度数是
$27°37'$
。答案
3. $27°37'$ 解析 $90°-62°23'=27°37'$.
解析
【分析】
解题首先要明确余角的定义：如果两个角的度数之和为90°，那么这两个角互为余角。因此求已知角的余角，只需用90°减去已知角的度数即可。计算时要注意度、分、秒是60进制，1°=60'，当被减数的“分”不够减时，需要从“度”的位置借1°转化为60'再进行计算。
【解析】
根据余角的定义，该角的余角度数为：
$90° - 62°23'$
先将$90°$转化为$89°60'$（依据$1°=60'$），再分别计算度和分：
$89°60' - 62°23' = (89°-62°)+(60'-23') = 27°37'$
【答案】
$27°37'$
【知识点】
余角的定义，度分秒的运算
【点评】
本题是基础概念运算题，核心是掌握余角的定义，重点注意度分秒运算的60进制借位规则，避免因进制混淆出现计算错误。
【难度系数】
0.85
解题首先要明确余角的定义：如果两个角的度数之和为90°，那么这两个角互为余角。因此求已知角的余角，只需用90°减去已知角的度数即可。计算时要注意度、分、秒是60进制，1°=60'，当被减数的“分”不够减时，需要从“度”的位置借1°转化为60'再进行计算。
【解析】
根据余角的定义，该角的余角度数为：
$90° - 62°23'$
先将$90°$转化为$89°60'$（依据$1°=60'$），再分别计算度和分：
$89°60' - 62°23' = (89°-62°)+(60'-23') = 27°37'$
【答案】
$27°37'$
【知识点】
余角的定义，度分秒的运算
【点评】
本题是基础概念运算题，核心是掌握余角的定义，重点注意度分秒运算的60进制借位规则，避免因进制混淆出现计算错误。
【难度系数】
0.85
4. 如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东$62°$的方向上，观测到小岛B在它南偏东$38°$的方向上，则$∠ AOB$的余角的度数是
$10°$
.答案
4. $10°$ 解析 因为OA是表示北偏东$62°$方向的一条射线，OB是表示南偏东$38°$方向的一条射线，所以$∠ AOB = 180°-62°-38°=80°$，所以$∠ AOB$的余角的度数是$90°-80°=10°$.
解析
【分析】
解题时先明确方向坐标的特征：正北方向与正南方向在同一条直线上，二者构成的平角度数为180°。第一步先计算∠AOB的度数，用平角180°依次减去A偏离正北的62°、B偏离正南的38°即可得到；第二步结合余角的定义（若两个角的和为90°，则这两个角互余），用90°减去∠AOB的度数，就能得到所求的余角度数。
【解析】
因为OA是北偏东62°方向的射线，OB是南偏东38°方向的射线，正北与正南方向共线，对应平角为180°，因此：
$∠ AOB = 180° - 62° - 38° = 80°$
根据余角的定义，$∠ AOB$的余角度数为：
$90° - 80° = 10°$
【答案】
$10°$
【知识点】
方向角、角的和差计算、余角的定义
【点评】
本题结合方位观测的实际场景考查角的运算与基础概念，解题时要注意理清方位角之间的平角关系，同时需看清题干要求的是$∠ AOB$的余角，不要误将$∠ AOB$的度数直接作为结果。
【难度系数】
0.8
解题时先明确方向坐标的特征：正北方向与正南方向在同一条直线上，二者构成的平角度数为180°。第一步先计算∠AOB的度数，用平角180°依次减去A偏离正北的62°、B偏离正南的38°即可得到；第二步结合余角的定义（若两个角的和为90°，则这两个角互余），用90°减去∠AOB的度数，就能得到所求的余角度数。
【解析】
因为OA是北偏东62°方向的射线，OB是南偏东38°方向的射线，正北与正南方向共线，对应平角为180°，因此：
$∠ AOB = 180° - 62° - 38° = 80°$
根据余角的定义，$∠ AOB$的余角度数为：
$90° - 80° = 10°$
【答案】
$10°$
【知识点】
方向角、角的和差计算、余角的定义
【点评】
本题结合方位观测的实际场景考查角的运算与基础概念，解题时要注意理清方位角之间的平角关系，同时需看清题干要求的是$∠ AOB$的余角，不要误将$∠ AOB$的度数直接作为结果。
【难度系数】
0.8
5. 若$∠α=13°35'$，则$∠α$的补角等于（
A.$76°25'$
B.$77°25'$
C.$167°25'$
D.$166°25'$
D
）A.$76°25'$
B.$77°25'$
C.$167°25'$
D.$166°25'$
答案
5. D 解析 若$∠α=13°35'$，则$∠α$的补角为$180°-13°35'=179°60'-13°35'=166°25'$.
解析
【分析】
解题时首先明确补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角，因此求∠α的补角，只需用180°减去∠α的度数即可。要注意度、分是60进制，即1°=60'，做减法时如果分的数值不够减，需要从度的位置借1°转化为60'再计算。
【解析】
根据补角的定义，∠α的补角为$180°-∠α$。
将$∠α=13°35'$代入计算：
先把$180°$转化为$179°60'$（借1°换算为60'），再分别计算度和分的差值：
度相减：$179°-13°=166°$
分相减：$60'-35'=25'$
因此$∠α$的补角为$166°25'$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
补角的定义，度分秒的运算
【点评】
本题是基础角度运算题，重点考查补角的概念和度分秒的单位换算规则，只要掌握60进制的借位换算方法，就能避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角，因此求∠α的补角，只需用180°减去∠α的度数即可。要注意度、分是60进制，即1°=60'，做减法时如果分的数值不够减，需要从度的位置借1°转化为60'再计算。
【解析】
根据补角的定义，∠α的补角为$180°-∠α$。
将$∠α=13°35'$代入计算：
先把$180°$转化为$179°60'$（借1°换算为60'），再分别计算度和分的差值：
度相减：$179°-13°=166°$
分相减：$60'-35'=25'$
因此$∠α$的补角为$166°25'$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
补角的定义，度分秒的运算
【点评】
本题是基础角度运算题，重点考查补角的概念和度分秒的单位换算规则，只要掌握60进制的借位换算方法，就能避免计算失误。
【难度系数】
0.8
6. 如图，利用工具测量角，有如下4个结论：①$∠ AOC=90°$；②$∠ AOB=∠ BOC$；③$∠ AOB$与$∠ BOC$互为余角；④$∠ AOB$与$∠ AOD$互为补角.上述结论中，所有正确结论的序号是（
A.①②③
B.①②
C.③④
D.①③④
D
）A.①②③
B.①②
C.③④
D.①③④
答案
6. D 解析 ①$∠ AOC=90°$，故①正确；②由$∠ AOB=50°$，$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=90°-50°=40°$，得$∠ AOB≠∠ BOC$，故②不正确；③由$∠ AOB+∠ BOC=90°$，得$∠ AOB$与$∠ BOC$互为余角，故③正确；④由$∠ AOB=50°$，$∠ AOD = 130°$，得$∠ AOB + ∠ AOD = 180°$，则$∠ AOB$与$∠ AOD$互为补角，故④正确. 所以所有正确结论的序号是①③④.
解析
【分析】
解题时首先要掌握量角器的读数方法，先通过量角器刻度读出各个角的度数，再结合余角、补角的定义，逐个判断4个结论是否正确：第一步先确定∠AOC的度数，判断结论①；第二步读出∠AOB的度数，计算出∠BOC的度数，判断结论②和③；第三步读出∠AOD的度数，结合∠AOB的度数判断结论④，最后汇总正确结论对应选项即可。
【解析】
观察量角器刻度可得：
1. 射线OA对应0°刻度，射线OC对应90°刻度，因此$∠ AOC=90°$，故结论①正确；
2. 射线OB对应50°刻度，因此$∠ AOB=50°$，则$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=90°-50°=40°$，可得$∠ AOB≠∠ BOC$，故结论②错误；
3. $∠ AOB+∠ BOC=50°+40°=90°$，根据余角定义，$∠ AOB$与$∠ BOC$互为余角，故结论③正确；
4. 射线OD对应130°刻度，因此$∠ AOD=130°$，$∠ AOB+∠ AOD=50°+130°=180°$，根据补角定义，$∠ AOB$与$∠ AOD$互为补角，故结论④正确。
综上，正确的结论是①③④。
【答案】D
【知识点】
量角器读数；余角的定义；补角的定义
【点评】
本题结合量角器的使用考查余角、补角的基础概念，解题关键是准确读取各角的度数，再根据余、补角的判定条件逐一验证即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要掌握量角器的读数方法，先通过量角器刻度读出各个角的度数，再结合余角、补角的定义，逐个判断4个结论是否正确：第一步先确定∠AOC的度数，判断结论①；第二步读出∠AOB的度数，计算出∠BOC的度数，判断结论②和③；第三步读出∠AOD的度数，结合∠AOB的度数判断结论④，最后汇总正确结论对应选项即可。
【解析】
观察量角器刻度可得：
1. 射线OA对应0°刻度，射线OC对应90°刻度，因此$∠ AOC=90°$，故结论①正确；
2. 射线OB对应50°刻度，因此$∠ AOB=50°$，则$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=90°-50°=40°$，可得$∠ AOB≠∠ BOC$，故结论②错误；
3. $∠ AOB+∠ BOC=50°+40°=90°$，根据余角定义，$∠ AOB$与$∠ BOC$互为余角，故结论③正确；
4. 射线OD对应130°刻度，因此$∠ AOD=130°$，$∠ AOB+∠ AOD=50°+130°=180°$，根据补角定义，$∠ AOB$与$∠ AOD$互为补角，故结论④正确。
综上，正确的结论是①③④。
【答案】D
【知识点】
量角器读数；余角的定义；补角的定义
【点评】
本题结合量角器的使用考查余角、补角的基础概念，解题关键是准确读取各角的度数，再根据余、补角的判定条件逐一验证即可。
【难度系数】
0.7
7. 如图，$∠ AOB=90°$，直线CD过点O，若$∠ 1=20°$，则$∠ 2$的度数是
$110°$
。答案
7. $110°$ 解析 因为$∠ AOB = 90°$，$∠ 1=20°$，所以$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ 1 = 90°-20°=70°$.
因为$∠ BOD+∠ 2=180°$，所以$∠ 2 = 180° - ∠ BOD = 180°-70°=110°$.
因为$∠ BOD+∠ 2=180°$，所以$∠ 2 = 180° - ∠ BOD = 180°-70°=110°$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，首先观察图形，已知∠AOB为90°的直角，∠1=20°，∠1和∠BOD的和等于∠AOB，因此可以先计算出∠BOD的度数；再根据直线CD过点O，可知∠2与∠BOD的和为平角180°，代入∠BOD的度数即可求出∠2的大小。
【解析】
解：已知∠AOB=90°，∠1=20°，
所以∠BOD = ∠AOB - ∠1 = 90° - 20° = 70°，
因为CD是过点O的直线，所以∠2 + ∠BOD = 180°，
因此∠2 = 180° - ∠BOD = 180° - 70° = 110°。
【答案】
110°
【知识点】
直角的性质、平角的性质、角的和差运算
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题的关键是结合图形理清已知角和所求角之间的数量关系，熟练运用特殊角的度数性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件出发，首先观察图形，已知∠AOB为90°的直角，∠1=20°，∠1和∠BOD的和等于∠AOB，因此可以先计算出∠BOD的度数；再根据直线CD过点O，可知∠2与∠BOD的和为平角180°，代入∠BOD的度数即可求出∠2的大小。
【解析】
解：已知∠AOB=90°，∠1=20°，
所以∠BOD = ∠AOB - ∠1 = 90° - 20° = 70°，
因为CD是过点O的直线，所以∠2 + ∠BOD = 180°，
因此∠2 = 180° - ∠BOD = 180° - 70° = 110°。
【答案】
110°
【知识点】
直角的性质、平角的性质、角的和差运算
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题的关键是结合图形理清已知角和所求角之间的数量关系，熟练运用特殊角的度数性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
8. 如图，小明想测量地面上两堵墙所形成的$∠ AOB$的度数. 但人又无法进入围墙内，只能在墙外. 请问该如何测量？
答案
8. 提示 延长线段AO至点C，可以测量$∠ BOC$的度数，利用$∠ AOB$与$∠ BOC$互补的关系，得到$∠ AOB = 180°-∠ BOC$，进而可以求出$∠ AOB$的度数.
解析
【分析】
要测量被围墙挡住无法直接测量的∠AOB，可利用转化思想，结合平角为180°、邻补角互补的知识，把未知角转化为墙外可测量的角来求解。具体思考路径：延长∠AOB的任意一条边，得到∠AOB的邻补角，测量出该邻补角的度数后，利用两个角互补和为180°的关系，就能算出∠AOB的度数。
【解析】
方法步骤如下：
1. 延长线段AO至点C，此时A、O、C三点共线，根据平角的定义可得∠AOC=180°；
2. 观察角度关系可知$∠ AOB + ∠ BOC = ∠ AOC$，即$∠ AOB$与$∠ BOC$互为邻补角，二者之和为180°；
3. 在墙外测量出$∠ BOC$的度数，代入计算得$∠ AOB=180°-∠ BOC$，即可得到$∠ AOB$的度数。
也可采用另一种方法：延长线段BO至点D，测量$∠ AOD$的度数，同理可得$∠ AOB=180°-∠ AOD$。
【答案】
延长线段AO至点C，测量$∠ BOC$的度数，利用$∠ AOB$与$∠ BOC$互补的关系，得到$∠ AOB = 180°-∠ BOC$，进而可以求出$∠ AOB$的度数（或延长BO至点D，测量$∠AOD$的度数，同理可得$∠AOB=180°-∠AOD$）。
【知识点】
平角的定义；邻补角互补
【点评】
本题是角度知识在实际场景中的应用，解题核心是通过转化思想将不可直接测量的角度转化为可测量的邻补角计算，贴近生活实际，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
要测量被围墙挡住无法直接测量的∠AOB，可利用转化思想，结合平角为180°、邻补角互补的知识，把未知角转化为墙外可测量的角来求解。具体思考路径：延长∠AOB的任意一条边，得到∠AOB的邻补角，测量出该邻补角的度数后，利用两个角互补和为180°的关系，就能算出∠AOB的度数。
【解析】
方法步骤如下：
1. 延长线段AO至点C，此时A、O、C三点共线，根据平角的定义可得∠AOC=180°；
2. 观察角度关系可知$∠ AOB + ∠ BOC = ∠ AOC$，即$∠ AOB$与$∠ BOC$互为邻补角，二者之和为180°；
3. 在墙外测量出$∠ BOC$的度数，代入计算得$∠ AOB=180°-∠ BOC$，即可得到$∠ AOB$的度数。
也可采用另一种方法：延长线段BO至点D，测量$∠ AOD$的度数，同理可得$∠ AOB=180°-∠ AOD$。
【答案】
延长线段AO至点C，测量$∠ BOC$的度数，利用$∠ AOB$与$∠ BOC$互补的关系，得到$∠ AOB = 180°-∠ BOC$，进而可以求出$∠ AOB$的度数（或延长BO至点D，测量$∠AOD$的度数，同理可得$∠AOB=180°-∠AOD$）。
【知识点】
平角的定义；邻补角互补
【点评】
本题是角度知识在实际场景中的应用，解题核心是通过转化思想将不可直接测量的角度转化为可测量的邻补角计算，贴近生活实际，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
