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1. 如图，$AE=\frac{1}{2}BE$，F是线段BC的中点，$BF=\frac{1}{5}AC=1.5$，求线段EF的长.
答案
1. 因为$BF=\frac{1}{5}AC=1.5$，所以$AC=7.5$。因为F是BC的中点，所以$BC=2BF=3$，所以$AB=AC-BC=7.5-3=4.5$。因为$AE=\frac{1}{2}BE$，所以$AE=\frac{1}{3}AB=1.5$，所以$BE=2AE=3$，所以$EF=BE+BF=3+1.5=4.5$。
解析
【分析】
解题时先从已知的带数值的条件切入，首先根据BF和AC的数量关系算出AC的总长度；再利用F是BC中点的性质，求出BC的长度，通过AC与BC的差得到AB的长度；接下来根据AE和BE的比例关系，明确AB被分为3份，AE占1份、BE占2份，由此算出BE的长度；最后结合线段的位置关系可知EF由BE和BF两段组成，求和即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵ $BF=\frac{1}{5}AC=1.5$，
∴ $AC=1.5×5=7.5$。
∵ F是线段BC的中点，
∴ $BC=2BF=2×1.5=3$，
∴ $AB=AC-BC=7.5-3=4.5$。
∵ $AE=\frac{1}{2}BE$，即$BE=2AE$，
∴ $AB=AE+BE=3AE$，
∴ $AE=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×4.5=1.5$，
∴ $BE=2AE=2×1.5=3$，
∴ $EF=BE+BF=3+1.5=4.5$。
【答案】
线段$EF$的长为$4.5$
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的性质、线段比例运算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是梳理清楚各线段的位置关系和数量关系，从已知条件出发逐步推导，注意区分线段比例的对应关系，避免将$AE=\frac{1}{2}BE$误判为$AE=\frac{1}{2}AB$即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
解题时先从已知的带数值的条件切入，首先根据BF和AC的数量关系算出AC的总长度；再利用F是BC中点的性质，求出BC的长度，通过AC与BC的差得到AB的长度；接下来根据AE和BE的比例关系，明确AB被分为3份，AE占1份、BE占2份，由此算出BE的长度；最后结合线段的位置关系可知EF由BE和BF两段组成，求和即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵ $BF=\frac{1}{5}AC=1.5$，
∴ $AC=1.5×5=7.5$。
∵ F是线段BC的中点，
∴ $BC=2BF=2×1.5=3$，
∴ $AB=AC-BC=7.5-3=4.5$。
∵ $AE=\frac{1}{2}BE$，即$BE=2AE$，
∴ $AB=AE+BE=3AE$，
∴ $AE=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×4.5=1.5$，
∴ $BE=2AE=2×1.5=3$，
∴ $EF=BE+BF=3+1.5=4.5$。
【答案】
线段$EF$的长为$4.5$
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的性质、线段比例运算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是梳理清楚各线段的位置关系和数量关系，从已知条件出发逐步推导，注意区分线段比例的对应关系，避免将$AE=\frac{1}{2}BE$误判为$AE=\frac{1}{2}AB$即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
如图，已知$∠ AOE$是平角，$∠ DOE=20°$，$OB$平分$∠ AOC$，且$∠ COD:∠ BOC=2:3$，求$∠ BOC$的度数。
解 设$∠ COD=2x°$，则$∠ BOC=3x°$，
因为$OB$平分$∠ AOC$，
所以$∠ AOB=∠ BOC=3x°$，
所以$2x+3x+3x+20=180$，
解得$x=20$。
所以$∠ BOC=3×20°=60°$。
解 设$∠ COD=2x°$，则$∠ BOC=3x°$，
因为$OB$平分$∠ AOC$，
所以$∠ AOB=∠ BOC=3x°$，
所以$2x+3x+3x+20=180$，
解得$x=20$。
所以$∠ BOC=3×20°=60°$。
答案
解：设∠COD=2x°，则∠BOC=3x°。
因为OB平分∠AOC，
所以∠AOB=∠BOC=3x°。
又因为∠AOE是平角，即∠AOE=180°，
所以∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE = 180°，
代入得 3x + 3x + 2x + 20 = 180，
解得x=20。
所以∠BOC=3×20°=60°。
因为OB平分∠AOC，
所以∠AOB=∠BOC=3x°。
又因为∠AOE是平角，即∠AOE=180°，
所以∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE = 180°，
代入得 3x + 3x + 2x + 20 = 180，
解得x=20。
所以∠BOC=3×20°=60°。
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：首先∠AOE是平角，可得所有组成角的和为180°；其次OB平分∠AOC，说明∠AOB=∠BOC；另外给出了∠COD与∠BOC的比例关系，适合用设参数的方法求解。我们可以根据比例设∠COD=2x°、∠BOC=3x°，再结合角平分线的性质表示出∠AOB，最后根据所有角的和为180°列方程，求出x的值即可得到∠BOC的度数。
【解析】
解：设∠COD=2x°，则∠BOC=3x°。
因为OB平分∠AOC，
所以∠AOB=∠BOC=3x°。
又因为∠AOE是平角，即∠AOE=180°，
所以∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE = 180°，
代入得 3x + 3x + 2x + 20 = 180，
解得x=20。
所以∠BOC=3×20°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题的关键是结合角的比例关系设未知数，再利用角平分线性质和平角的度数建立等量关系列方程求解，掌握方程思想在几何计算中的应用能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：首先∠AOE是平角，可得所有组成角的和为180°；其次OB平分∠AOC，说明∠AOB=∠BOC；另外给出了∠COD与∠BOC的比例关系，适合用设参数的方法求解。我们可以根据比例设∠COD=2x°、∠BOC=3x°，再结合角平分线的性质表示出∠AOB，最后根据所有角的和为180°列方程，求出x的值即可得到∠BOC的度数。
【解析】
解：设∠COD=2x°，则∠BOC=3x°。
因为OB平分∠AOC，
所以∠AOB=∠BOC=3x°。
又因为∠AOE是平角，即∠AOE=180°，
所以∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE = 180°，
代入得 3x + 3x + 2x + 20 = 180，
解得x=20。
所以∠BOC=3×20°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题的关键是结合角的比例关系设未知数，再利用角平分线性质和平角的度数建立等量关系列方程求解，掌握方程思想在几何计算中的应用能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
2. 如图，已知$∠ AOB = 2∠ BOC$，$OD$，$OE$分别为$∠ AOB$和$∠ BOC$的平分线. 若$∠ DOE=66°$，求$∠ AOB$的度数.
答案
因为OE，OD分别是$∠BOC$，$∠AOB$的平分线，所以$∠BOC=2∠BOE$，$∠AOB=2∠DOB$。因为$∠DOE=66°$，所以$∠AOB+∠BOC=2∠DOB+2∠BOE=2∠DOE=132°$。因为$∠AOB=2∠BOC$，所以$∠AOB=\frac{2}{3}×132°=88°$。
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的定义：角平分线会把一个角分成两个相等的小角，小角的大小是原角的一半。首先观察图形可知∠DOE由∠BOE和∠BOD两部分组成，结合OE、OD分别是∠BOC、∠AOB的平分线，可将∠BOE、∠BOD分别用∠BOC、∠AOB表示，进而推导出∠DOE和∠AOB+∠BOC的数量关系，求出两角之和；再结合题目给出的∠AOB=2∠BOC的倍数关系，代入计算即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵OE，OD分别是∠BOC，∠AOB的平分线，
∴∠BOC=2∠BOE，∠AOB=2∠DOB，
∵∠DOE=66°，
∴∠AOB+∠BOC=2∠DOB+2∠BOE=2(∠DOB+∠BOE)=2∠DOE=2×66°=132°，
又
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOB=$\frac{2}{3}$×(∠AOB+∠BOC)=$\frac{2}{3}$×132°=88°。
【答案】
88°
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题侧重考查角的和差倍分运算，解题的核心是通过角平分线的性质建立未知角和已知∠DOE的数量关系，整体代入即可得到结果，熟练掌握角平分线的定义就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆角平分线的定义：角平分线会把一个角分成两个相等的小角，小角的大小是原角的一半。首先观察图形可知∠DOE由∠BOE和∠BOD两部分组成，结合OE、OD分别是∠BOC、∠AOB的平分线，可将∠BOE、∠BOD分别用∠BOC、∠AOB表示，进而推导出∠DOE和∠AOB+∠BOC的数量关系，求出两角之和；再结合题目给出的∠AOB=2∠BOC的倍数关系，代入计算即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵OE，OD分别是∠BOC，∠AOB的平分线，
∴∠BOC=2∠BOE，∠AOB=2∠DOB，
∵∠DOE=66°，
∴∠AOB+∠BOC=2∠DOB+2∠BOE=2(∠DOB+∠BOE)=2∠DOE=2×66°=132°，
又
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOB=$\frac{2}{3}$×(∠AOB+∠BOC)=$\frac{2}{3}$×132°=88°。
【答案】
88°
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题侧重考查角的和差倍分运算，解题的核心是通过角平分线的性质建立未知角和已知∠DOE的数量关系，整体代入即可得到结果，熟练掌握角平分线的定义就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
如图，$∠ AOB = n°$，平面内有一射线OM（不与OA，OB重合），且$∠ AOM = 2∠ BOM$，若ON平分$∠ BOM$，求$∠ AON$的度数.（用含n的代数式表示）
解 分两种情况讨论：
①当OM在$∠ AOB$的内部时，如图①所示.
因为$∠ AOM + ∠ BOM = ∠ AOB = n°$，$∠ AOM = 2∠ BOM$，
所以$3∠ BOM = ∠ AOB = n°$，
所以$∠ BOM = (\frac{n}{3})°$.
因为ON平分$∠ BOM$，
所以$∠ BON = \frac{1}{2}∠ BOM = \frac{1}{2} × (\frac{n}{3})° = (\frac{n}{6})°$，
所以$∠ AON = ∠ AOB - ∠ BON = n° - (\frac{n}{6})° = (\frac{5n}{6})°$.
②当OM在$∠ AOB$的外部时，如图②所示.
因为$∠ AOB = n°$，$∠ AOM = 2∠ BOM$，$∠ AOM = ∠ AOB + ∠ BOM$，
所以$∠ BOM = ∠ AOB = n°$.
因为ON平分$∠ BOM$，
所以$∠ BON = \frac{1}{2}∠ BOM = (\frac{n}{2})°$，
所以$∠ AON = ∠ AOB + ∠ BON$
$= n° + (\frac{n}{2})°$
$= (\frac{3n}{2})°$.
解 分两种情况讨论：
①当OM在$∠ AOB$的内部时，如图①所示.
因为$∠ AOM + ∠ BOM = ∠ AOB = n°$，$∠ AOM = 2∠ BOM$，
所以$3∠ BOM = ∠ AOB = n°$，
所以$∠ BOM = (\frac{n}{3})°$.
因为ON平分$∠ BOM$，
所以$∠ BON = \frac{1}{2}∠ BOM = \frac{1}{2} × (\frac{n}{3})° = (\frac{n}{6})°$，
所以$∠ AON = ∠ AOB - ∠ BON = n° - (\frac{n}{6})° = (\frac{5n}{6})°$.
②当OM在$∠ AOB$的外部时，如图②所示.
因为$∠ AOB = n°$，$∠ AOM = 2∠ BOM$，$∠ AOM = ∠ AOB + ∠ BOM$，
所以$∠ BOM = ∠ AOB = n°$.
因为ON平分$∠ BOM$，
所以$∠ BON = \frac{1}{2}∠ BOM = (\frac{n}{2})°$，
所以$∠ AON = ∠ AOB + ∠ BON$
$= n° + (\frac{n}{2})°$
$= (\frac{3n}{2})°$.
答案
解：分两种情况讨论：
① 当OM在∠AOB的内部时：
∵ ∠AOM + ∠BOM = ∠AOB = n°，∠AOM = 2∠BOM，
∴ 3∠BOM = n°，
∴ ∠BOM = $\frac{n}{3}$°。
∵ ON平分∠BOM，
∴ ∠BON = $\frac{1}{2}$∠BOM = $\frac{1}{2}×\frac{n}{3}$° = $\frac{n}{6}$°，
∴ ∠AON = ∠AOB - ∠BON = $n° - \frac{n}{6}° = \frac{5n}{6}°$。
② 当OM在∠AOB的外部，且OB在∠AOM之间时：
∵ ∠AOM = ∠AOB + ∠BOM，∠AOM = 2∠BOM，
∴ 2∠BOM = n° + ∠BOM，
∴ ∠BOM = n°。
∵ ON平分∠BOM，
∴ ∠BON = $\frac{1}{2}$∠BOM = $\frac{n}{2}$°，
∴ ∠AON = ∠AOB + ∠BON = $n° + \frac{n}{2}° = \frac{3n}{2}°$。
综上，∠AON的度数为$\frac{5n}{6}°$或$\frac{3n}{2}°$。
① 当OM在∠AOB的内部时：
∵ ∠AOM + ∠BOM = ∠AOB = n°，∠AOM = 2∠BOM，
∴ 3∠BOM = n°，
∴ ∠BOM = $\frac{n}{3}$°。
∵ ON平分∠BOM，
∴ ∠BON = $\frac{1}{2}$∠BOM = $\frac{1}{2}×\frac{n}{3}$° = $\frac{n}{6}$°，
∴ ∠AON = ∠AOB - ∠BON = $n° - \frac{n}{6}° = \frac{5n}{6}°$。
② 当OM在∠AOB的外部，且OB在∠AOM之间时：
∵ ∠AOM = ∠AOB + ∠BOM，∠AOM = 2∠BOM，
∴ 2∠BOM = n° + ∠BOM，
∴ ∠BOM = n°。
∵ ON平分∠BOM，
∴ ∠BON = $\frac{1}{2}$∠BOM = $\frac{n}{2}$°，
∴ ∠AON = ∠AOB + ∠BON = $n° + \frac{n}{2}° = \frac{3n}{2}°$。
综上，∠AON的度数为$\frac{5n}{6}°$或$\frac{3n}{2}°$。
解析
【分析】
题目未明确射线OM的位置，因此需分两种情况讨论：①OM在∠AOB内部；②OM在∠AOB外部。每种情况先根据∠AOM与∠BOM的数量关系，结合∠AOB的度数求出∠BOM的大小，再利用角平分线的定义求出∠BON的度数，最后通过角的和差关系计算∠AON即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当OM在∠AOB的内部时：
∵ ∠AOM + ∠BOM = ∠AOB = n°，∠AOM = 2∠BOM，
∴ 3∠BOM = n°，
∴ ∠BOM = $\frac{n}{3}$°。
∵ ON平分∠BOM，
∴ ∠BON = $\frac{1}{2}$∠BOM = $\frac{1}{2}×\frac{n}{3}$° = $\frac{n}{6}$°，
∴ ∠AON = ∠AOB - ∠BON = $n° - \frac{n}{6}° = \frac{5n}{6}°$。
② 当OM在∠AOB的外部，且OB在∠AOM之间时：
∵ ∠AOM = ∠AOB + ∠BOM，∠AOM = 2∠BOM，
∴ 2∠BOM = n° + ∠BOM，
∴ ∠BOM = n°。
∵ ON平分∠BOM，
∴ ∠BON = $\frac{1}{2}$∠BOM = $\frac{n}{2}$°，
∴ ∠AON = ∠AOB + ∠BON = $n° + \frac{n}{2}° = \frac{3n}{2}°$。
【答案】
$\frac{5n}{6}°$或$\frac{3n}{2}°$
【知识点】
角的和差运算，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题核心考查角的相关计算，解题的关键是明确射线OM的位置存在两种可能，易错点是遗漏OM在∠AOB外部的情况导致漏解，解题时需结合题意全面分析几何图形的所有可能情形。
【难度系数】
0.6
题目未明确射线OM的位置，因此需分两种情况讨论：①OM在∠AOB内部；②OM在∠AOB外部。每种情况先根据∠AOM与∠BOM的数量关系，结合∠AOB的度数求出∠BOM的大小，再利用角平分线的定义求出∠BON的度数，最后通过角的和差关系计算∠AON即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当OM在∠AOB的内部时：
∵ ∠AOM + ∠BOM = ∠AOB = n°，∠AOM = 2∠BOM，
∴ 3∠BOM = n°，
∴ ∠BOM = $\frac{n}{3}$°。
∵ ON平分∠BOM，
∴ ∠BON = $\frac{1}{2}$∠BOM = $\frac{1}{2}×\frac{n}{3}$° = $\frac{n}{6}$°，
∴ ∠AON = ∠AOB - ∠BON = $n° - \frac{n}{6}° = \frac{5n}{6}°$。
② 当OM在∠AOB的外部，且OB在∠AOM之间时：
∵ ∠AOM = ∠AOB + ∠BOM，∠AOM = 2∠BOM，
∴ 2∠BOM = n° + ∠BOM，
∴ ∠BOM = n°。
∵ ON平分∠BOM，
∴ ∠BON = $\frac{1}{2}$∠BOM = $\frac{n}{2}$°，
∴ ∠AON = ∠AOB + ∠BON = $n° + \frac{n}{2}° = \frac{3n}{2}°$。
【答案】
$\frac{5n}{6}°$或$\frac{3n}{2}°$
【知识点】
角的和差运算，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题核心考查角的相关计算，解题的关键是明确射线OM的位置存在两种可能，易错点是遗漏OM在∠AOB外部的情况导致漏解，解题时需结合题意全面分析几何图形的所有可能情形。
【难度系数】
0.6
