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1. 下列式子变形是因式分解的是 （
A.$x^2 -5x +6 = x(x-5)+6$
B.$x^2 -5x +6 = (x-2)(x-3)$
C.$(x-2)(x-3) = x^2 -5x +6$
D.$x^2 -5x +6 = (x+2)(x+3)$
B
）A.$x^2 -5x +6 = x(x-5)+6$
B.$x^2 -5x +6 = (x-2)(x-3)$
C.$(x-2)(x-3) = x^2 -5x +6$
D.$x^2 -5x +6 = (x+2)(x+3)$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断式子变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心判定标准：①变形对象是多项式；②变形结果是几个整式的乘积的形式；③变形前后等式两边恒等。我们按照这三个标准逐一排查每个选项即可得出正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这类变形叫做因式分解。
对各选项逐一分析：
A选项：等式右侧是$x(x-5)+6$，属于“整式乘积+常数”的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义，排除；
B选项：等式左侧是多项式$x^2 -5x +6$，右侧是两个整式$(x-2)$和$(x-3)$的乘积，且展开右侧可得$(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$，和左侧相等，符合因式分解的要求；
C选项：等式左侧是两个整式的乘积，右侧是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不属于因式分解，排除；
D选项：展开右侧$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$，和左侧$x^2-5x+6$不相等，变形错误，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是因式分解的基础概念考查题，解题关键是牢记因式分解的两个核心判断要点：一是结果必须为几个整式的积的形式，二是变形必须是恒等变形，同时注意不要混淆因式分解和整式乘法的互逆关系。
【难度系数】
0.8
要判断式子变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心判定标准：①变形对象是多项式；②变形结果是几个整式的乘积的形式；③变形前后等式两边恒等。我们按照这三个标准逐一排查每个选项即可得出正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这类变形叫做因式分解。
对各选项逐一分析：
A选项：等式右侧是$x(x-5)+6$，属于“整式乘积+常数”的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义，排除；
B选项：等式左侧是多项式$x^2 -5x +6$，右侧是两个整式$(x-2)$和$(x-3)$的乘积，且展开右侧可得$(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$，和左侧相等，符合因式分解的要求；
C选项：等式左侧是两个整式的乘积，右侧是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不属于因式分解，排除；
D选项：展开右侧$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$，和左侧$x^2-5x+6$不相等，变形错误，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是因式分解的基础概念考查题，解题关键是牢记因式分解的两个核心判断要点：一是结果必须为几个整式的积的形式，二是变形必须是恒等变形，同时注意不要混淆因式分解和整式乘法的互逆关系。
【难度系数】
0.8
2.分解因式$(x-1)^2 -2(x-1)+1$的结果是（
A.$(x-1)(x-2)$
B.$x^2$
C.$(x+1)^2$
D.$(x-2)^2$
D
）A.$(x-1)(x-2)$
B.$x^2$
C.$(x+1)^2$
D.$(x-2)^2$
答案
2.D
解析
【分析】
我们先观察原式的结构，发现式子符合完全平方差公式的特征：有两项平方项$(x-1)^2$和$1^2$，还有中间的乘积项$-2(x-1)×1$，所以可以把$(x-1)$看作一个整体，套用完全平方差公式进行因式分解，之后再化简结果对应选项即可。
【解析】
根据完全平方差公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，
将原式中的$(x-1)$看作公式里的$a$，常数$1$看作公式里的$b$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=( (x-1) - 1 )^2 \\&=(x-1-1)^2 \\&=(x-2)^2\end{aligned}$
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解-公式法；完全平方公式
【点评】
本题考查公式法分解因式，解题的核心是识别出式子的公式结构，将局部多项式作为整体套用公式，分解后注意合并同类项得到最简结果。
【难度系数】
0.8
我们先观察原式的结构，发现式子符合完全平方差公式的特征：有两项平方项$(x-1)^2$和$1^2$，还有中间的乘积项$-2(x-1)×1$，所以可以把$(x-1)$看作一个整体，套用完全平方差公式进行因式分解，之后再化简结果对应选项即可。
【解析】
根据完全平方差公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，
将原式中的$(x-1)$看作公式里的$a$，常数$1$看作公式里的$b$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=( (x-1) - 1 )^2 \\&=(x-1-1)^2 \\&=(x-2)^2\end{aligned}$
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解-公式法；完全平方公式
【点评】
本题考查公式法分解因式，解题的核心是识别出式子的公式结构，将局部多项式作为整体套用公式，分解后注意合并同类项得到最简结果。
【难度系数】
0.8
3. 下列各组代数式中，没有公因式的是（
A.$4a^2bc$ 与 $8abc^2$
B.$a^3b^2+1$ 与 $a^2b^3-1$
C.$b(a-2b)^2$ 与 $a(2b-a)^2$
D.$x+1$ 与 $x^2-1$
B
）A.$4a^2bc$ 与 $8abc^2$
B.$a^3b^2+1$ 与 $a^2b^3-1$
C.$b(a-2b)^2$ 与 $a(2b-a)^2$
D.$x+1$ 与 $x^2-1$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查公因式的判断，解题思路如下：首先回忆公因式的定义：几个代数式共同含有的相同因式叫做这几个代数式的公因式。我们只需逐个分析每个选项中的两个代数式，判断是否存在共同的因式，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$4a^2bc = 4abc · a$，$8abc^2 = 4abc · 2c$，二者公因式为$4abc$，不符合题意；
B选项：$a^3b^2+1$和$a^2b^3-1$没有共同的字母因式，也没有共同的多项式因式，不存在公因式，符合题意；
C选项：由偶次幂的性质可知$(2b-a)^2=(a-2b)^2$，因此两个代数式的公因式为$(a-2b)^2$，不符合题意；
D选项：根据平方差公式，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，二者公因式为$x+1$，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的定义,因式分解,偶次幂的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查公因式的判断方法，解题时要注意偶次幂下互为相反数的底数对应的幂相等，同时熟练掌握常用的因式分解方法，避免漏判公因式。
【难度系数】
0.8
本题考查公因式的判断，解题思路如下：首先回忆公因式的定义：几个代数式共同含有的相同因式叫做这几个代数式的公因式。我们只需逐个分析每个选项中的两个代数式，判断是否存在共同的因式，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$4a^2bc = 4abc · a$，$8abc^2 = 4abc · 2c$，二者公因式为$4abc$，不符合题意；
B选项：$a^3b^2+1$和$a^2b^3-1$没有共同的字母因式，也没有共同的多项式因式，不存在公因式，符合题意；
C选项：由偶次幂的性质可知$(2b-a)^2=(a-2b)^2$，因此两个代数式的公因式为$(a-2b)^2$，不符合题意；
D选项：根据平方差公式，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，二者公因式为$x+1$，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的定义,因式分解,偶次幂的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查公因式的判断方法，解题时要注意偶次幂下互为相反数的底数对应的幂相等，同时熟练掌握常用的因式分解方法，避免漏判公因式。
【难度系数】
0.8
4.分解因式$a^4b -6a^3b +9a^2b$的正确结果是（
A.$a^2b(a^2-6a+9)$
B.$a^2b(a+3)(a-3)$
C.$b(a^2-3)^2$
D.$a^2b(a-3)^2$
D
）A.$a^2b(a^2-6a+9)$
B.$a^2b(a+3)(a-3)$
C.$b(a^2-3)^2$
D.$a^2b(a-3)^2$
答案
4.D
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先提取多项式各项的公因式，第二步观察提取公因式后的剩余式子，判断是否可以套用乘法公式继续分解，第三步检查是否分解彻底，每个因式都不能再分解为止。本题先找出各项的公因式提取，再判断剩余因式符合完全平方公式的特征，继续分解后匹配选项即可。
【解析】
1. 提取公因式：观察多项式$a^4b -6a^3b +9a^2b$，三项都含有公因式$a^2b$，提取公因式后得：
$a^4b -6a^3b +9a^2b = a^2b(a^2 - 6a + 9)$
2. 套用完全平方公式继续分解：括号内的$a^2-6a+9$符合完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$的形式，其中$m=a$，$n=3$，因此：
$a^2-6a+9=(a-3)^2$
3. 整合最终结果：原式$=a^2b(a-3)^2$。
对比选项：A选项分解不彻底，B选项错用平方差公式，C选项提取公因式错误，只有D符合结果。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要注意按步骤操作，先提公因式再套公式，务必保证分解到每个因式无法再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先提取多项式各项的公因式，第二步观察提取公因式后的剩余式子，判断是否可以套用乘法公式继续分解，第三步检查是否分解彻底，每个因式都不能再分解为止。本题先找出各项的公因式提取，再判断剩余因式符合完全平方公式的特征，继续分解后匹配选项即可。
【解析】
1. 提取公因式：观察多项式$a^4b -6a^3b +9a^2b$，三项都含有公因式$a^2b$，提取公因式后得：
$a^4b -6a^3b +9a^2b = a^2b(a^2 - 6a + 9)$
2. 套用完全平方公式继续分解：括号内的$a^2-6a+9$符合完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$的形式，其中$m=a$，$n=3$，因此：
$a^2-6a+9=(a-3)^2$
3. 整合最终结果：原式$=a^2b(a-3)^2$。
对比选项：A选项分解不彻底，B选项错用平方差公式，C选项提取公因式错误，只有D符合结果。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要注意按步骤操作，先提公因式再套公式，务必保证分解到每个因式无法再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
5.若多项式$-15abc+15ab^2-75a^2bc$的一个因式是$-15ab$,则另一个因式是（
A.$c-b+5ac$
B.$c+b-5ac$
C.$c-b+15ac$
D.$c+b-15ac$
A
）A.$c-b+5ac$
B.$c+b-5ac$
C.$c-b+15ac$
D.$c+b-15ac$
答案
5.A
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式的应用，已知多项式的一个公因式，求另一个因式，只需用原多项式除以已知的公因式即可。解题时要分别计算多项式每一项除以公因式的结果，重点关注符号的变化，避免符号错误。
【解析】
要求另一个因式，可将原多项式除以已知因式$-15ab$，计算过程如下：
$\begin{aligned}&(-15abc + 15ab^2 - 75a^2bc) ÷ (-15ab)\\=&(-15abc)÷(-15ab) + 15ab^2÷(-15ab) + (-75a^2bc)÷(-15ab)\\=&c - b + 5ac\end{aligned}$
因此另一个因式为$c - b + 5ac$。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式，整式除法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是掌握提公因式的本质是多项式除以公因式，运算时需注意负号的处理，逐项计算可降低出错概率。
【难度系数】
0.8
本题考查提公因式法分解因式的应用，已知多项式的一个公因式，求另一个因式，只需用原多项式除以已知的公因式即可。解题时要分别计算多项式每一项除以公因式的结果，重点关注符号的变化，避免符号错误。
【解析】
要求另一个因式，可将原多项式除以已知因式$-15ab$，计算过程如下：
$\begin{aligned}&(-15abc + 15ab^2 - 75a^2bc) ÷ (-15ab)\\=&(-15abc)÷(-15ab) + 15ab^2÷(-15ab) + (-75a^2bc)÷(-15ab)\\=&c - b + 5ac\end{aligned}$
因此另一个因式为$c - b + 5ac$。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式，整式除法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是掌握提公因式的本质是多项式除以公因式，运算时需注意负号的处理，逐项计算可降低出错概率。
【难度系数】
0.8
6.分解因式：$a^3 - 4a^2b + 4ab^2 = \_\_\_\_\_\_.$
答案
6.$a(a-2b)^2$
解析
【分析】
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的思路即可：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，若有优先提取公因式；第二步判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，选择对应公式继续分解；第三步检查分解结果，确保每个因式都不能再分解。本题中多项式各项均含有公因式$a$，先提取$a$后，剩余的三项式刚好符合完全平方差公式的特征，可进一步用公式分解。
【解析】
第一步：提取公因式$a$
原式$=a(a^2 - 4ab + 4b^2)$
第二步：利用完全平方差公式分解括号内的三项式
根据完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，此处$m=a$，$n=2b$，可得：
$a^2 - 4ab + 4b^2=a^2-2· a· 2b+(2b)^2=(a-2b)^2$
第三步：整理结果并确认已分解彻底
因此原式$=a(a-2b)^2$
【答案】
$a(a-2b)^2$
【知识点】
提取公因式法，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，需牢记因式分解的操作顺序，避免出现漏提公因式、公式符号记错的问题，最终分解结果要保证每个因式都无法再分解。
【难度系数】
0.8
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的思路即可：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，若有优先提取公因式；第二步判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，选择对应公式继续分解；第三步检查分解结果，确保每个因式都不能再分解。本题中多项式各项均含有公因式$a$，先提取$a$后，剩余的三项式刚好符合完全平方差公式的特征，可进一步用公式分解。
【解析】
第一步：提取公因式$a$
原式$=a(a^2 - 4ab + 4b^2)$
第二步：利用完全平方差公式分解括号内的三项式
根据完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，此处$m=a$，$n=2b$，可得：
$a^2 - 4ab + 4b^2=a^2-2· a· 2b+(2b)^2=(a-2b)^2$
第三步：整理结果并确认已分解彻底
因此原式$=a(a-2b)^2$
【答案】
$a(a-2b)^2$
【知识点】
提取公因式法，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，需牢记因式分解的操作顺序，避免出现漏提公因式、公式符号记错的问题，最终分解结果要保证每个因式都无法再分解。
【难度系数】
0.8
7.若二次三项式$x^2 - kx + 9$是一个完全平方式，则k的值是
±6
。答案
7.±6
解析
【分析】
解题思路：首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式满足“首平方，尾平方，两倍首尾在中央，符号可正也可负”，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。我们先确定给定二次三项式的“首项”和“尾项”，再对应中间项的系数建立等式求解k，注意要考虑两种符号的情况，避免漏解。
步骤1：识别二次三项式的平方项：$x^2$是首项对应的平方，9是尾项对应的平方，可推出首项$a=x$，尾项$b=3$；
步骤2：根据完全平方式的两种形式，写出中间项的可能取值，再和原式的一次项系数对比，列方程求k。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知二次三项式$x^2 -kx +9$是完全平方式，其中首平方项为$x^2$，尾平方项为$9=3^2$，因此该完全平方式可写为$(x\pm3)^2$。
将$(x\pm3)^2$展开得：$x^2\pm6x +9$
将展开式与原式$x^2 -kx +9$对比，一次项系数对应相等，可得：
$-k=\pm6$
解得：$k=\mp6$，即$k=\pm6$
【答案】
±6
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的概念
【点评】
本题考查完全平方式的结构特征，解题的关键是牢记完全平方式有和的平方、差的平方两种形式，中间项的符号有两种可能，不要遗漏负号情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式满足“首平方，尾平方，两倍首尾在中央，符号可正也可负”，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。我们先确定给定二次三项式的“首项”和“尾项”，再对应中间项的系数建立等式求解k，注意要考虑两种符号的情况，避免漏解。
步骤1：识别二次三项式的平方项：$x^2$是首项对应的平方，9是尾项对应的平方，可推出首项$a=x$，尾项$b=3$；
步骤2：根据完全平方式的两种形式，写出中间项的可能取值，再和原式的一次项系数对比，列方程求k。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知二次三项式$x^2 -kx +9$是完全平方式，其中首平方项为$x^2$，尾平方项为$9=3^2$，因此该完全平方式可写为$(x\pm3)^2$。
将$(x\pm3)^2$展开得：$x^2\pm6x +9$
将展开式与原式$x^2 -kx +9$对比，一次项系数对应相等，可得：
$-k=\pm6$
解得：$k=\mp6$，即$k=\pm6$
【答案】
±6
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的概念
【点评】
本题考查完全平方式的结构特征，解题的关键是牢记完全平方式有和的平方、差的平方两种形式，中间项的符号有两种可能，不要遗漏负号情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
8.将多项式$-3x^2y^3z+9x^3y^3z-6x^4yz^2$分解因式，首先提取的公因式是
$-3x^2yz$
。答案
8.$-3x^2yz$
解析
【分析】
要确定多项式提取的公因式，需按三步思考：第一步看系数，找各项系数绝对值的最大公约数，若多项式首项符号为负，要把负号一起提出来；第二步看字母，找所有项都共同含有的字母；第三步看相同字母的次数，取各相同字母的最低次幂，最后把系数和字母部分组合就是公因式。
【解析】
1. 确定系数部分：多项式三项的系数分别为-3、9、-6，系数绝对值的最大公约数是3，又因为首项系数为负，所以公因式的系数为-3；
2. 确定字母部分：观察三项都含有的字母是x、y、z，其中x的最低次数是2，y的最低次数是1，z的最低次数是1，因此字母部分为$x^2yz$；
3. 合并系数与字母部分，得到公因式为$-3x^2yz$。
【答案】
$-3x^2yz$
【知识点】
提公因式法，公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，核心考查公因式的确定规则，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂、首项为负带负号”的判定原则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要确定多项式提取的公因式，需按三步思考：第一步看系数，找各项系数绝对值的最大公约数，若多项式首项符号为负，要把负号一起提出来；第二步看字母，找所有项都共同含有的字母；第三步看相同字母的次数，取各相同字母的最低次幂，最后把系数和字母部分组合就是公因式。
【解析】
1. 确定系数部分：多项式三项的系数分别为-3、9、-6，系数绝对值的最大公约数是3，又因为首项系数为负，所以公因式的系数为-3；
2. 确定字母部分：观察三项都含有的字母是x、y、z，其中x的最低次数是2，y的最低次数是1，z的最低次数是1，因此字母部分为$x^2yz$；
3. 合并系数与字母部分，得到公因式为$-3x^2yz$。
【答案】
$-3x^2yz$
【知识点】
提公因式法，公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，核心考查公因式的确定规则，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂、首项为负带负号”的判定原则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9.分解因式：$mn^2 + 6mn + 9m =$
$m(n+3)^2$
.答案
9.$m(n+3)^2$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题各项均含有公因式m，先提取公因式；再观察提取公因式后剩余的三项式，符合完全平方公式的结构特征，可套用完全平方公式继续分解；最后确认分解结果不能再继续分解即可。
【解析】
解：$mn^2 + 6mn + 9m$
首先提取公因式$m$，可得：
$= m(n^2 + 6n + 9)$
观察括号内的三项式，$n^2 +6n +9 = n^2 + 2× n×3 + 3^2$，符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$（其中$a=n$，$b=3$），因此：
$= m(n+3)^2$
【答案】
$m(n+3)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要注意因式分解的先后顺序，先提取公因式再套用公式，最终要保证分解结果的每一个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.85
因式分解遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题各项均含有公因式m，先提取公因式；再观察提取公因式后剩余的三项式，符合完全平方公式的结构特征，可套用完全平方公式继续分解；最后确认分解结果不能再继续分解即可。
【解析】
解：$mn^2 + 6mn + 9m$
首先提取公因式$m$，可得：
$= m(n^2 + 6n + 9)$
观察括号内的三项式，$n^2 +6n +9 = n^2 + 2× n×3 + 3^2$，符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$（其中$a=n$，$b=3$），因此：
$= m(n+3)^2$
【答案】
$m(n+3)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要注意因式分解的先后顺序，先提取公因式再套用公式，最终要保证分解结果的每一个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.85
10.分解因式：
(1)$5xy - 15xy^2 + 45x^2y^2$；
(2)$4(m + n)^2 - 9(m - n)^2$。
(1)$5xy - 15xy^2 + 45x^2y^2$；
(2)$4(m + n)^2 - 9(m - n)^2$。
答案
10.(1)$5xy(1-3y+9xy)$
(2)$(5m-n)(5n-m)$
(2)$(5m-n)(5n-m)$
解析
【分析】
(1) 本题是提公因式法分解因式的基础题型，解题思路为先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找所有项都含有的相同字母的最低次幂，两者相乘得到公因式，最后把公因式提取出来，用原多项式的每一项除以公因式，得到括号内的因式即可。
(2) 本题是用平方差公式分解因式的题型，解题思路为先观察多项式结构，发现是两个平方项作差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，将两个平方项的底数分别对应公式里的$a$和$b$，代入公式后再去括号合并同类项，直到结果不能再分解为止。
【解析】
(1) 第一步找公因式：系数5、-15、45的最大公约数是5，相同字母$x$的最低次幂是$x^1$，相同字母$y$的最低次幂是$y^1$，因此公因式为$5xy$。
提取公因式可得：
$5xy - 15xy^2 + 45x^2y^2 = 5xy(1 - 3y + 9xy)$
(2) 先将原式改写为平方差的标准形式：
$4(m + n)^2 - 9(m - n)^2 = [2(m + n)]^2 - [3(m - n)]^2$
代入平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$（其中$a=2(m+n)$，$b=3(m-n)$）得：
$\begin{aligned}原式&=[2(m+n)+3(m-n)][2(m+n)-3(m-n)]\\&=(2m+2n+3m-3n)(2m+2n-3m+3n)\\&=(5m - n)(5n - m)\end{aligned}$
【答案】
(1)$5xy(1-3y+9xy)$
(2)$(5m-n)(5n-m)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，重点考察因式分解的两种核心基本方法，解题时需注意：提公因式要覆盖所有项的公共部分，避免漏写常数项；套用平方差公式时要准确识别结构，整体代入后要合并同类项，保证最终结果不能再分解。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是提公因式法分解因式的基础题型，解题思路为先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找所有项都含有的相同字母的最低次幂，两者相乘得到公因式，最后把公因式提取出来，用原多项式的每一项除以公因式，得到括号内的因式即可。
(2) 本题是用平方差公式分解因式的题型，解题思路为先观察多项式结构，发现是两个平方项作差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，将两个平方项的底数分别对应公式里的$a$和$b$，代入公式后再去括号合并同类项，直到结果不能再分解为止。
【解析】
(1) 第一步找公因式：系数5、-15、45的最大公约数是5，相同字母$x$的最低次幂是$x^1$，相同字母$y$的最低次幂是$y^1$，因此公因式为$5xy$。
提取公因式可得：
$5xy - 15xy^2 + 45x^2y^2 = 5xy(1 - 3y + 9xy)$
(2) 先将原式改写为平方差的标准形式：
$4(m + n)^2 - 9(m - n)^2 = [2(m + n)]^2 - [3(m - n)]^2$
代入平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$（其中$a=2(m+n)$，$b=3(m-n)$）得：
$\begin{aligned}原式&=[2(m+n)+3(m-n)][2(m+n)-3(m-n)]\\&=(2m+2n+3m-3n)(2m+2n-3m+3n)\\&=(5m - n)(5n - m)\end{aligned}$
【答案】
(1)$5xy(1-3y+9xy)$
(2)$(5m-n)(5n-m)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，重点考察因式分解的两种核心基本方法，解题时需注意：提公因式要覆盖所有项的公共部分，避免漏写常数项；套用平方差公式时要准确识别结构，整体代入后要合并同类项，保证最终结果不能再分解。
【难度系数】
0.8
11.利用因式分解计算：
(1)$2026 + 2026^2 - 2027^2$；
(2)$2000^2 - 2000 × 4016 + 2008^2$。
(1)$2026 + 2026^2 - 2027^2$；
(2)$2000^2 - 2000 × 4016 + 2008^2$。
答案
11.(1)$-2\ 027$
(2)$64$
(2)$64$
解析
【分析】
(1) 观察第一问的式子，前两项都含有公因式2026，先提取公因式2026，得到2026×(1+2026)=2026×2027，此时式子转化为2026×2027 - 2027²，两项又含有公因式2027，再次提取公因式即可简便计算；也可先将后两项用平方差公式分解，再计算。
(2) 观察第二问的式子，4016可拆分为2×2008，此时式子符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2$的结构，直接套用公式计算即可大大简化运算。
【解析】
(1) 解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= 2026×(1 + 2026) - 2027^2\\&= 2026×2027 - 2027^2\\&= 2027×(2026 - 2027)\\&= 2027×(-1)\\&= -2027\end{aligned}$
(2) 解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= 2000^2 - 2000×2×2008 + 2008^2\\&= 2000^2 - 2×2000×2008 + 2008^2\\&= (2000 - 2008)^2\\&= (-8)^2\\&= 64\end{aligned}$
【答案】
(1) $-2027$；(2) $64$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解在有理数简便运算中的应用，解题时需先观察式子的结构特征，灵活选取合适的因式分解方法，可避免大数运算，降低出错率。
【难度系数】
0.7
(1) 观察第一问的式子，前两项都含有公因式2026，先提取公因式2026，得到2026×(1+2026)=2026×2027，此时式子转化为2026×2027 - 2027²，两项又含有公因式2027，再次提取公因式即可简便计算；也可先将后两项用平方差公式分解，再计算。
(2) 观察第二问的式子，4016可拆分为2×2008，此时式子符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2$的结构，直接套用公式计算即可大大简化运算。
【解析】
(1) 解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= 2026×(1 + 2026) - 2027^2\\&= 2026×2027 - 2027^2\\&= 2027×(2026 - 2027)\\&= 2027×(-1)\\&= -2027\end{aligned}$
(2) 解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= 2000^2 - 2000×2×2008 + 2008^2\\&= 2000^2 - 2×2000×2008 + 2008^2\\&= (2000 - 2008)^2\\&= (-8)^2\\&= 64\end{aligned}$
【答案】
(1) $-2027$；(2) $64$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解在有理数简便运算中的应用，解题时需先观察式子的结构特征，灵活选取合适的因式分解方法，可避免大数运算，降低出错率。
【难度系数】
0.7
