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11. 如果$5^x = m$，$5^y = n$，那么$5^{x-y}$等于（
A.$m+n$
B.$m-n$
C.$mn$
D.$\dfrac{m}{n}$
D
）A.$m+n$
B.$m-n$
C.$mn$
D.$\dfrac{m}{n}$
答案
11.D
解析
【分析】
解题时首先观察所求式子$5^{x-y}$的指数是$x$与$y$的差，可联想到同底数幂的除法法则，该法则可以逆用：当幂的指数为两个数的差时，对应的是同底数的两个幂相除。接下来将$5^{x-y}$转化为除法形式，再代入题目给出的$5^x=m$、$5^y=n$即可求出结果。
【解析】
根据同底数幂的除法运算法则的逆用可得：
$5^{x-y}=5^x ÷ 5^y$
已知$5^x=m$，$5^y=n$，将其代入上式得：
$5^{x-y}=m ÷ n = \dfrac{m}{n}$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 同底数幂的除法运算
2. 幂的运算法则逆用
【点评】
本题属于基础型题目，主要考查同底数幂除法法则的灵活应用，熟练掌握幂的各类运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察所求式子$5^{x-y}$的指数是$x$与$y$的差，可联想到同底数幂的除法法则，该法则可以逆用：当幂的指数为两个数的差时，对应的是同底数的两个幂相除。接下来将$5^{x-y}$转化为除法形式，再代入题目给出的$5^x=m$、$5^y=n$即可求出结果。
【解析】
根据同底数幂的除法运算法则的逆用可得：
$5^{x-y}=5^x ÷ 5^y$
已知$5^x=m$，$5^y=n$，将其代入上式得：
$5^{x-y}=m ÷ n = \dfrac{m}{n}$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 同底数幂的除法运算
2. 幂的运算法则逆用
【点评】
本题属于基础型题目，主要考查同底数幂除法法则的灵活应用，熟练掌握幂的各类运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
12. 下列运算正确的是 （
A.$(a+b)^2=a^2+b^2$
B.$a^3· a^2=a^5$
C.$a^6÷ a^3=a^2$
D.$2a+3b=5ab$
B
）A.$(a+b)^2=a^2+b^2$
B.$a^3· a^2=a^5$
C.$a^6÷ a^3=a^2$
D.$2a+3b=5ab$
答案
12.B
解析
【分析】
本题考查整式的各类基础运算法则，解题时需逐个对应每个选项的运算类型，回忆相关运算规则逐一判断对错，最终选出运算正确的选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A选项：根据完全平方公式，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，选项中遗漏了交叉项$2ab$，因此A运算错误。
B选项：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^3·a^2=a^{3+2}=a^5$，因此B运算正确。
C选项：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$a^6÷ a^3=a^{6-3}=a^3$，而非$a^2$，因此C运算错误。
D选项：$2a$和$3b$所含字母不同，不是同类项，不能合并，因此D运算错误。
综上，运算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、同底数幂的乘除、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查对基础运算法则的记忆与应用，解题时要注意区分不同运算的规则，避免混淆公式、漏项、随意合并非同类项等常见错误。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的各类基础运算法则，解题时需逐个对应每个选项的运算类型，回忆相关运算规则逐一判断对错，最终选出运算正确的选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A选项：根据完全平方公式，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，选项中遗漏了交叉项$2ab$，因此A运算错误。
B选项：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^3·a^2=a^{3+2}=a^5$，因此B运算正确。
C选项：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$a^6÷ a^3=a^{6-3}=a^3$，而非$a^2$，因此C运算错误。
D选项：$2a$和$3b$所含字母不同，不是同类项，不能合并，因此D运算错误。
综上，运算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、同底数幂的乘除、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查对基础运算法则的记忆与应用，解题时要注意区分不同运算的规则，避免混淆公式、漏项、随意合并非同类项等常见错误。
【难度系数】
0.8
13.如图2,从边长为$(a+4)\mathrm{cm}$的正方形纸片中剪去一个边长为$(a+1)\mathrm{cm}$的正方形$(a＞0)$,剩余部分沿虚线剪开后又拼成一个长方形(不重叠无缝隙),则长方形的面积为 (
A.$(2a^2+5a)\mathrm{cm}^2$
B.$(3a+15)\mathrm{cm}^2$
C.$(6a+9)\mathrm{cm}^2$
D.$(6a+15)\mathrm{cm}^2$
D
)A.$(2a^2+5a)\mathrm{cm}^2$
B.$(3a+15)\mathrm{cm}^2$
C.$(6a+9)\mathrm{cm}^2$
D.$(6a+15)\mathrm{cm}^2$
答案
13.D
解析
【分析】
本题可利用剪拼前后图形面积不变的性质解题，无需计算拼接后长方形的长和宽，只需要用大正方形的面积减去剪去的小正方形的面积，就能得到拼接后长方形的面积。也可以先推导拼接后长方形的长和宽，再用长×宽计算面积，两种方法均符合整式运算的要求。
【解析】
因为图形剪拼前后面积不发生变化，所以长方形的面积等于原大正方形面积减去剪去的小正方形面积。
根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$：
大正方形面积：$(a+4)^2 = a^2 + 8a + 16$
小正方形面积：$(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$
剩余面积（即长方形面积）：
$\begin{aligned}&(a^2 + 8a + 16) - (a^2 + 2a + 1)\\=&a^2 +8a +16 -a^2 -2a -1\\=&6a +15\end{aligned}$
也可利用平方差公式简便计算：
$\begin{aligned}&(a+4)^2 - (a+1)^2\\=&[(a+4)+(a+1)][(a+4)-(a+1)]\\=&(2a+5)×3\\=&6a+15\end{aligned}$
单位为$\mathrm{cm}^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
面积守恒、整式乘法运算、平方差公式
【点评】
本题是数形结合的典型习题，既考查了图形剪拼的面积不变性质，又考查了整式运算的掌握情况，利用面积守恒可以简化计算过程，也能帮助学生直观理解平方差公式的几何意义。
【难度系数】
0.7
本题可利用剪拼前后图形面积不变的性质解题，无需计算拼接后长方形的长和宽，只需要用大正方形的面积减去剪去的小正方形的面积，就能得到拼接后长方形的面积。也可以先推导拼接后长方形的长和宽，再用长×宽计算面积，两种方法均符合整式运算的要求。
【解析】
因为图形剪拼前后面积不发生变化，所以长方形的面积等于原大正方形面积减去剪去的小正方形面积。
根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$：
大正方形面积：$(a+4)^2 = a^2 + 8a + 16$
小正方形面积：$(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$
剩余面积（即长方形面积）：
$\begin{aligned}&(a^2 + 8a + 16) - (a^2 + 2a + 1)\\=&a^2 +8a +16 -a^2 -2a -1\\=&6a +15\end{aligned}$
也可利用平方差公式简便计算：
$\begin{aligned}&(a+4)^2 - (a+1)^2\\=&[(a+4)+(a+1)][(a+4)-(a+1)]\\=&(2a+5)×3\\=&6a+15\end{aligned}$
单位为$\mathrm{cm}^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
面积守恒、整式乘法运算、平方差公式
【点评】
本题是数形结合的典型习题，既考查了图形剪拼的面积不变性质，又考查了整式运算的掌握情况，利用面积守恒可以简化计算过程，也能帮助学生直观理解平方差公式的几何意义。
【难度系数】
0.7
14.已知$m+n=2$，$mn=-2$，则$(1-m)(1-n)=$
$-3$
.答案
14.$-3$
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，先利用多项式乘多项式的法则将(1-m)(1-n)展开，整理后会发现式子中包含已知条件给出的m+n和mn，再将已知的m+n、mn的值整体代入计算即可，无需单独求出m、n的具体值，能简化运算过程。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的运算法则展开代数式：
$\begin{aligned}(1-m)(1-n)&=1×1 -1× n - m×1 + m× n\\&=1 - n - m + mn\\&=1 - (m + n) + mn\end{aligned}$
已知$m+n=2$，$mn=-2$，将其代入上式计算：
$\begin{aligned}原式&=1 - 2 + (-2)\\&=1-2-2\\&=-3\end{aligned}$
【答案】
$-3$
【知识点】
多项式乘法、代数式求值、整体代入
【点评】
本题是整式运算的常规题型，重点考查多项式乘法的运算规则和整体代入的求值思路，解题时注意展开多项式时不要出现符号错误，利用整体代入的方法可避免求解单个未知数，大幅简化计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求代数式的结构，先利用多项式乘多项式的法则将(1-m)(1-n)展开，整理后会发现式子中包含已知条件给出的m+n和mn，再将已知的m+n、mn的值整体代入计算即可，无需单独求出m、n的具体值，能简化运算过程。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的运算法则展开代数式：
$\begin{aligned}(1-m)(1-n)&=1×1 -1× n - m×1 + m× n\\&=1 - n - m + mn\\&=1 - (m + n) + mn\end{aligned}$
已知$m+n=2$，$mn=-2$，将其代入上式计算：
$\begin{aligned}原式&=1 - 2 + (-2)\\&=1-2-2\\&=-3\end{aligned}$
【答案】
$-3$
【知识点】
多项式乘法、代数式求值、整体代入
【点评】
本题是整式运算的常规题型，重点考查多项式乘法的运算规则和整体代入的求值思路，解题时注意展开多项式时不要出现符号错误，利用整体代入的方法可避免求解单个未知数，大幅简化计算。
【难度系数】
0.8
15.若一个正方形的边长增加了 3 cm，面积相应增加了 39 cm²，则原来这个正方形的边长为
5
cm.答案
15.5
解析
【分析】
拿到这道题我们可以用方程思想求解，首先设原来正方形的边长为未知数，再根据正方形面积公式分别写出边长增加前后的面积，接着根据“面积相应增加了39cm²”的等量关系列出方程，最后解方程并结合边长为正数的实际意义检验结果即可。
【解析】
解：设原来这个正方形的边长为$ x $ cm。
根据正方形面积公式和题意可得方程：
$ (x+3)^2 - x^2 = 39 $
展开完全平方得：
$ x^2 + 6x + 9 - x^2 = 39 $
合并同类项化简得：
$ 6x + 9 = 39 $
移项计算：
$ 6x = 39 - 9 $
$ 6x = 30 $
解得：$ x = 5 $
经检验，$ x=5 $符合边长为正数的实际意义。
【答案】
5
【知识点】
正方形面积计算、一元一次方程应用、完全平方公式
【点评】
本题是结合几何图形的基础应用题，解题关键是找准面积变化的等量关系建立方程，计算难度低，能很好地考查方程思想和数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.8
拿到这道题我们可以用方程思想求解，首先设原来正方形的边长为未知数，再根据正方形面积公式分别写出边长增加前后的面积，接着根据“面积相应增加了39cm²”的等量关系列出方程，最后解方程并结合边长为正数的实际意义检验结果即可。
【解析】
解：设原来这个正方形的边长为$ x $ cm。
根据正方形面积公式和题意可得方程：
$ (x+3)^2 - x^2 = 39 $
展开完全平方得：
$ x^2 + 6x + 9 - x^2 = 39 $
合并同类项化简得：
$ 6x + 9 = 39 $
移项计算：
$ 6x = 39 - 9 $
$ 6x = 30 $
解得：$ x = 5 $
经检验，$ x=5 $符合边长为正数的实际意义。
【答案】
5
【知识点】
正方形面积计算、一元一次方程应用、完全平方公式
【点评】
本题是结合几何图形的基础应用题，解题关键是找准面积变化的等量关系建立方程，计算难度低，能很好地考查方程思想和数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.8
16. 观察下列算式：
①$1×3 - 2^2 = 3 - 4 = -1$；②$2×4 - 3^2 = 8 - 9 = -1$；③$3×5 - 4^2 = 15 - 16 = -1$；
④
(1)请你按以上规律写出第④个算式；
(2)把这个规律用含字母n的式子表示出来；
(3)你认为(2)中写出的式子一定成立吗？
并说明理由。
①$1×3 - 2^2 = 3 - 4 = -1$；②$2×4 - 3^2 = 8 - 9 = -1$；③$3×5 - 4^2 = 15 - 16 = -1$；
④
$4×6-5^2=24-25=-1$
……(1)请你按以上规律写出第④个算式；
(2)把这个规律用含字母n的式子表示出来；
(3)你认为(2)中写出的式子一定成立吗？
并说明理由。
答案
16.(1)$4×6-5^2=24-25=-1$
(2)$n(n+2)-(n+1)^2=-1.$
(3)一定成立,理由略.
(2)$n(n+2)-(n+1)^2=-1.$
(3)一定成立,理由略.
解析
【分析】
观察已知的3个算式，可发现共性结构为：第k个算式中，第一个乘数为k，第二个乘数为k+2，减去的平方项底数为k+1，计算结果均为-1。(1)求第④个算式，即取k=4代入上述结构即可；(2)用正整数n代替序号k，就能写出通用的规律式子；(3)要验证规律是否成立，只需将规律式左边的整式按照运算法则展开化简，判断结果是否恒等于-1即可。
【解析】
(1) 按照规律，第④个算式的第一个数是4，第二个数为4+2=6，平方项底数为4+1=5，因此算式为：
$4×6 - 5^2 = 24 - 25 = -1$
(2) 设正整数n表示算式的序号，结合规律可得：
$n(n+2) - (n+1)^2 = -1$（n为正整数）
(3) 式子一定成立，理由：
对等式左边进行整式运算：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=n(n+2)-(n+1)^2\\&=n^2+2n-(n^2+2n+1)\\&=n^2+2n-n^2-2n-1\\&=-1\end{aligned}$
左边化简结果与右边相等，因此该式子对任意正整数n都成立。
【答案】
(1)$4×6-5^2=24-25=-1$
(2)$n(n+2)-(n+1)^2=-1$
(3)一定成立，理由略。
【知识点】
数字规律探究，整式混合运算，完全平方公式
【点评】
本题兼顾规律探究与代数运算能力的考查，解题的核心是准确找到算式中各位置的数与序号的对应关系，整式运算阶段需注意去括号时的符号变化，避免因运算失误出错。
【难度系数】
0.8
观察已知的3个算式，可发现共性结构为：第k个算式中，第一个乘数为k，第二个乘数为k+2，减去的平方项底数为k+1，计算结果均为-1。(1)求第④个算式，即取k=4代入上述结构即可；(2)用正整数n代替序号k，就能写出通用的规律式子；(3)要验证规律是否成立，只需将规律式左边的整式按照运算法则展开化简，判断结果是否恒等于-1即可。
【解析】
(1) 按照规律，第④个算式的第一个数是4，第二个数为4+2=6，平方项底数为4+1=5，因此算式为：
$4×6 - 5^2 = 24 - 25 = -1$
(2) 设正整数n表示算式的序号，结合规律可得：
$n(n+2) - (n+1)^2 = -1$（n为正整数）
(3) 式子一定成立，理由：
对等式左边进行整式运算：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=n(n+2)-(n+1)^2\\&=n^2+2n-(n^2+2n+1)\\&=n^2+2n-n^2-2n-1\\&=-1\end{aligned}$
左边化简结果与右边相等，因此该式子对任意正整数n都成立。
【答案】
(1)$4×6-5^2=24-25=-1$
(2)$n(n+2)-(n+1)^2=-1$
(3)一定成立，理由略。
【知识点】
数字规律探究，整式混合运算，完全平方公式
【点评】
本题兼顾规律探究与代数运算能力的考查，解题的核心是准确找到算式中各位置的数与序号的对应关系，整式运算阶段需注意去括号时的符号变化，避免因运算失误出错。
【难度系数】
0.8
17. 如图3所示为“杨辉三角”的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了$(a+b)^n$($n$为正整数)的展开式(按$a$的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,第三行的三个数1,2,1,恰好对应$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开式中的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$展开式中的系数.
(1)根据上面的规律,写出$(a+b)^4$的展开式;
(2)利用上面的规律计算:$2^5 -5×2^4 +10×2^3 -10×2^2 +5×2 -1$;
(3)求$(a+b)^n$的展开式的系数和.
(1)根据上面的规律,写出$(a+b)^4$的展开式;
(2)利用上面的规律计算:$2^5 -5×2^4 +10×2^3 -10×2^2 +5×2 -1$;
(3)求$(a+b)^n$的展开式的系数和.
答案
17.(1)$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
(2)1
(3)$2^n$
(2)1
(3)$2^n$
解析
【分析】
(1) 依据杨辉三角的构造规则：每行首尾为1，中间数等于其上方左右两数之和。已知$(a+b)^3$对应系数为1、3、3、1，可推出$(a+b)^4$对应行的系数为1、4、6、4、1，再按a降幂、b升幂的顺序即可写出展开式。
(2) 先观察待计算式子的系数：1、-5、10、-10、5、-1，与$(a+b)^5$的系数1、5、10、10、5、1对应，符号交替正负，说明式子可变形为$(2-1)^5$的展开形式，代入计算即可得到结果。
(3) 求展开式系数和时，令展开式中a=1、b=1，此时左边为$(1+1)^n$，右边就是所有系数相加的和，计算左边结果即为系数和。
【解析】
(1) 根据杨辉三角的系数规律，$(a+b)^4$的系数依次为1、4、6、4、1，按a的次数从高到低、b的次数从低到高排列得：
$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
(2) 将原式变形为符合$(a+b)^n$展开式的形式：
$2^5 +5×2^4×(-1)+10×2^3×(-1)^2+10×2^2×(-1)^3+5×2×(-1)^4+(-1)^5$
该式对应$(2-1)^5$，计算得：
$(2-1)^5=1^5=1$
(3) 把$a=1$，$b=1$代入$(a+b)^n$，可得：
$(1+1)^n=2^n$
此时展开式的结果就是所有系数的和，因此$(a+b)^n$的展开式系数和为$2^n$。
【答案】
(1)$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
(2)$1$
(3)$2^n$
【知识点】
杨辉三角规律；乘方展开式；代数式求值
【点评】
本题结合杨辉三角考查规律探究与应用能力，解题核心是准确把握展开式的系数规律，灵活运用整体思想简化计算，对提升逻辑推理和归纳总结能力有很好的作用。
【难度系数】
0.7
(1) 依据杨辉三角的构造规则：每行首尾为1，中间数等于其上方左右两数之和。已知$(a+b)^3$对应系数为1、3、3、1，可推出$(a+b)^4$对应行的系数为1、4、6、4、1，再按a降幂、b升幂的顺序即可写出展开式。
(2) 先观察待计算式子的系数：1、-5、10、-10、5、-1，与$(a+b)^5$的系数1、5、10、10、5、1对应，符号交替正负，说明式子可变形为$(2-1)^5$的展开形式，代入计算即可得到结果。
(3) 求展开式系数和时，令展开式中a=1、b=1，此时左边为$(1+1)^n$，右边就是所有系数相加的和，计算左边结果即为系数和。
【解析】
(1) 根据杨辉三角的系数规律，$(a+b)^4$的系数依次为1、4、6、4、1，按a的次数从高到低、b的次数从低到高排列得：
$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
(2) 将原式变形为符合$(a+b)^n$展开式的形式：
$2^5 +5×2^4×(-1)+10×2^3×(-1)^2+10×2^2×(-1)^3+5×2×(-1)^4+(-1)^5$
该式对应$(2-1)^5$，计算得：
$(2-1)^5=1^5=1$
(3) 把$a=1$，$b=1$代入$(a+b)^n$，可得：
$(1+1)^n=2^n$
此时展开式的结果就是所有系数的和，因此$(a+b)^n$的展开式系数和为$2^n$。
【答案】
(1)$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
(2)$1$
(3)$2^n$
【知识点】
杨辉三角规律；乘方展开式；代数式求值
【点评】
本题结合杨辉三角考查规律探究与应用能力，解题核心是准确把握展开式的系数规律，灵活运用整体思想简化计算，对提升逻辑推理和归纳总结能力有很好的作用。
【难度系数】
0.7
