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知识点一:分式
1. 一般地,我们把形如$\frac{A}{B}$的代数式叫作分式,其中,A,B都是整式,且B含有.
A叫作分式的分子,B叫作分式的分母.
例 指出下列各式中,哪些是分式,哪些是整式.
$2-x$ $\frac{x+3}{2}$ $\frac{3x-2}{2x+1}$ $5x^2$ $\frac{2}{x}$ $\frac{2x}{x}$
分析:因为$\frac{3x-2}{2x+1},\frac{2}{x},\frac{2x}{x}$的分母都含有字母,所以它们是分式.$2-x,\frac{x+3}{2},5x^2$都是整式.
归纳:分式与整式的根本区别在于分式的分母中含有字母.判断一个式子是不是分式,不能把原式化简后再判断,而是看原式,如本题的$\frac{2x}{x}$是分式.
2. 在分数中,分母不能等于0.同样,在分式中,分母也,即当分式的分母等于0时,分式没有意义.
例 当$x=$时,分式$\frac{x-3}{2x+4}$的值为0.
分析:当$x-3=0$且$2x+4≠0$时,分式的值为0.
归纳:必须在分式有意义的前提下,才能讨论分式何时值为0,也就是必须保证不为0.
3. 分式的基本性质:分式的分子和分母同乘(或除以)一个的整式,分式的值不变.
$\frac{A}{B}=\frac{A×M}{B×M},\frac{A}{B}=\frac{A÷M}{B÷M}.$其中,M是不等于0的整式.
4. 把分式中分子和分母的公因式约去,叫作分式的.分子和分母没有公因式的分式叫作.
1. 一般地,我们把形如$\frac{A}{B}$的代数式叫作分式,其中,A,B都是整式,且B含有.
A叫作分式的分子,B叫作分式的分母.
例 指出下列各式中,哪些是分式,哪些是整式.
$2-x$ $\frac{x+3}{2}$ $\frac{3x-2}{2x+1}$ $5x^2$ $\frac{2}{x}$ $\frac{2x}{x}$
分析:因为$\frac{3x-2}{2x+1},\frac{2}{x},\frac{2x}{x}$的分母都含有字母,所以它们是分式.$2-x,\frac{x+3}{2},5x^2$都是整式.
归纳:分式与整式的根本区别在于分式的分母中含有字母.判断一个式子是不是分式,不能把原式化简后再判断,而是看原式,如本题的$\frac{2x}{x}$是分式.
2. 在分数中,分母不能等于0.同样,在分式中,分母也,即当分式的分母等于0时,分式没有意义.
例 当$x=$时,分式$\frac{x-3}{2x+4}$的值为0.
分析:当$x-3=0$且$2x+4≠0$时,分式的值为0.
归纳:必须在分式有意义的前提下,才能讨论分式何时值为0,也就是必须保证不为0.
3. 分式的基本性质:分式的分子和分母同乘(或除以)一个的整式,分式的值不变.
$\frac{A}{B}=\frac{A×M}{B×M},\frac{A}{B}=\frac{A÷M}{B÷M}.$其中,M是不等于0的整式.
4. 把分式中分子和分母的公因式约去,叫作分式的.分子和分母没有公因式的分式叫作.
答案
解：
1. 字母
2. 不能等于0
例：$3$
归纳：分母
3. 不等于0
4. 约分
最简分式
1. 字母
2. 不能等于0
例：$3$
归纳：分母
3. 不等于0
4. 约分
最简分式
解析
【分析】
本题是分式基础概念的填空题，解题时需逐一对应分式章节的核心定义、性质知识点思考：
1. 第一空对应分式的定义，明确分式要求分母是整式且含字母，即可确定答案；
2. 第二部分类比分数的要求，分式要有意义则分母不能为0；求分式值为0时，需同时满足“分子为0、分母不为0”两个条件，先解分子为0的结果，再代入分母验证排除分母为0的情况即可得例题答案，归纳部分对应分式值为0的前提条件；
3. 第三空对应分式基本性质的限制条件，乘除的整式不能为0，否则会改变分式的值或让分式无意义；
4. 第四部分对应约分和最简分式的定义，直接回忆概念即可作答。
【解析】
1. 根据分式的定义，形如$\frac{A}{B}$的代数式叫分式，其中A、B都是整式，且B含有字母，故本空填字母。
2. 类比分数的要求，分式的分母不能等于0，否则分式无意义；
例题：要使分式$\frac{x-3}{2x+4}$的值为0，需满足分子为0且分母不为0：
第一步：令分子$x-3=0$，解得$x=3$；
第二步：验证分母，当$x=3$时，$2x+4=2×3+4=10≠0$，满足分母不为0的要求，故$x=3$时分式值为0；
归纳：分式值为0的前提是分式有意义，即必须保证分母不为0，故本空填分母。
3. 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，故本空填不等于0。
4. 根据相关定义，把分式中分子和分母的公因式约去的操作叫作分式的约分；分子和分母没有公因式的分式叫作最简分式，故依次填约分、最简分式。
【答案】
1. 字母
2. 不能等于0；例：$3$；归纳：分母
3. 不等于0
4. 约分；最简分式
【知识点】
分式的定义；分式有意义及值为0的条件；分式的基本性质
【点评】
本题考察分式的基础核心概念，是学习分式运算、分式方程的前置基础，需要注意两个易错点：一是判断分式需观察原式的分母是否含字母，不能化简后再判断；二是求分式值为0时，不能遗漏分母不为0的前提条件。
【难度系数】
0.9
本题是分式基础概念的填空题，解题时需逐一对应分式章节的核心定义、性质知识点思考：
1. 第一空对应分式的定义，明确分式要求分母是整式且含字母，即可确定答案；
2. 第二部分类比分数的要求，分式要有意义则分母不能为0；求分式值为0时，需同时满足“分子为0、分母不为0”两个条件，先解分子为0的结果，再代入分母验证排除分母为0的情况即可得例题答案，归纳部分对应分式值为0的前提条件；
3. 第三空对应分式基本性质的限制条件，乘除的整式不能为0，否则会改变分式的值或让分式无意义；
4. 第四部分对应约分和最简分式的定义，直接回忆概念即可作答。
【解析】
1. 根据分式的定义，形如$\frac{A}{B}$的代数式叫分式，其中A、B都是整式，且B含有字母，故本空填字母。
2. 类比分数的要求，分式的分母不能等于0，否则分式无意义；
例题：要使分式$\frac{x-3}{2x+4}$的值为0，需满足分子为0且分母不为0：
第一步：令分子$x-3=0$，解得$x=3$；
第二步：验证分母，当$x=3$时，$2x+4=2×3+4=10≠0$，满足分母不为0的要求，故$x=3$时分式值为0；
归纳：分式值为0的前提是分式有意义，即必须保证分母不为0，故本空填分母。
3. 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，故本空填不等于0。
4. 根据相关定义，把分式中分子和分母的公因式约去的操作叫作分式的约分；分子和分母没有公因式的分式叫作最简分式，故依次填约分、最简分式。
【答案】
1. 字母
2. 不能等于0；例：$3$；归纳：分母
3. 不等于0
4. 约分；最简分式
【知识点】
分式的定义；分式有意义及值为0的条件；分式的基本性质
【点评】
本题考察分式的基础核心概念，是学习分式运算、分式方程的前置基础，需要注意两个易错点：一是判断分式需观察原式的分母是否含字母，不能化简后再判断；二是求分式值为0时，不能遗漏分母不为0的前提条件。
【难度系数】
0.9
1. 在$\frac{2}{x},\frac{1}{5},\frac{4xy}{π},\frac{5}{x+y},x^2-\frac{2}{π}$中，分式有
2
个.答案
1. 2
解析
【分析】
要判断分式的个数，首先需要明确分式的定义：如果A、B是两个整式，且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$就叫做分式。解题时逐个分析给出的式子，核心判断依据是分母中是否含有字母，注意圆周率π是固定常数，不属于字母，不能作为判断分母含字母的依据。
【解析】
逐个判断每个式子的类型：
1. $\frac{2}{x}$：分母为$x$，含有字母，属于分式；
2. $\frac{1}{5}$：分母为常数5，不含字母，属于整式，不是分式；
3. $\frac{4xy}{π}$：分母为π，π是固定常数，不含字母，属于整式，不是分式；
4. $\frac{5}{x+y}$：分母为$x+y$，含有字母，属于分式；
5. $x^2-\frac{2}{π}$：式子中只有常数项$\frac{2}{π}$，无含字母的分母，属于整式，不是分式。
综上，符合分式定义的式子共2个。
【答案】
2
【知识点】
分式的定义，整式与分式的区分
【点评】
本题是分式识别的基础题，易错点是容易误将圆周率π当作字母，导致多统计分式的个数，牢记π是常数即可规避这类错误。
【难度系数】
0.7
要判断分式的个数，首先需要明确分式的定义：如果A、B是两个整式，且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$就叫做分式。解题时逐个分析给出的式子，核心判断依据是分母中是否含有字母，注意圆周率π是固定常数，不属于字母，不能作为判断分母含字母的依据。
【解析】
逐个判断每个式子的类型：
1. $\frac{2}{x}$：分母为$x$，含有字母，属于分式；
2. $\frac{1}{5}$：分母为常数5，不含字母，属于整式，不是分式；
3. $\frac{4xy}{π}$：分母为π，π是固定常数，不含字母，属于整式，不是分式；
4. $\frac{5}{x+y}$：分母为$x+y$，含有字母，属于分式；
5. $x^2-\frac{2}{π}$：式子中只有常数项$\frac{2}{π}$，无含字母的分母，属于整式，不是分式。
综上，符合分式定义的式子共2个。
【答案】
2
【知识点】
分式的定义，整式与分式的区分
【点评】
本题是分式识别的基础题，易错点是容易误将圆周率π当作字母，导致多统计分式的个数，牢记π是常数即可规避这类错误。
【难度系数】
0.7
2.若分式$\frac{x^2 -4}{x^2 -2x +1}$无意义，则$x=$
1
.答案
2. 1
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆分式无意义的判定规则：分式无意义的充要条件是分式的分母等于0，和分子的取值无关。因此解题步骤应为：①找到该分式的分母表达式；②令分母的值为0，列出方程；③求解方程得到x的取值即可。
【解析】
根据分式无意义的条件，可知当分母为0时，分式无意义。
该分式的分母为$x^2 - 2x + 1$，令分母等于0，列方程：
$x^2 - 2x + 1 = 0$
利用完全平方公式因式分解得：
$(x - 1)^2 = 0$
解得：$x = 1$
【答案】
1
【知识点】
1. 分式无意义的条件
2. 完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于分式章节的基础题型，核心考查对分式无意义判定规则的掌握，解题时注意不要被分子的表达式干扰，熟练运用因式分解即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆分式无意义的判定规则：分式无意义的充要条件是分式的分母等于0，和分子的取值无关。因此解题步骤应为：①找到该分式的分母表达式；②令分母的值为0，列出方程；③求解方程得到x的取值即可。
【解析】
根据分式无意义的条件，可知当分母为0时，分式无意义。
该分式的分母为$x^2 - 2x + 1$，令分母等于0，列方程：
$x^2 - 2x + 1 = 0$
利用完全平方公式因式分解得：
$(x - 1)^2 = 0$
解得：$x = 1$
【答案】
1
【知识点】
1. 分式无意义的条件
2. 完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于分式章节的基础题型，核心考查对分式无意义判定规则的掌握，解题时注意不要被分子的表达式干扰，熟练运用因式分解即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3.化简$\frac{16x^3 y}{8x^2 y^2}$的结果是
$\frac{2x}{y}$
。答案
3. $\frac{2x}{y}$
解析
【分析】
这是分式化简的基础题，解题思路如下：首先观察分式的分子和分母都是单项式，可通过约分完成化简：第一步先约系数，找到分子系数16和分母系数8的最大公因数8，先把系数约至最简；第二步约相同字母，对于字母x，分子是$x^3$（即3个x相乘），分母是$x^2$（即2个x相乘），可约掉2个x，分子剩余1个x；对于字母y，分子是$y^1$（1个y），分母是$y^2$（2个y），可约掉1个y，分母剩余1个y；最后确认结果的分子分母无其他公因式，即为最简结果。
【解析】
先确定分子分母的公因式为$8x^2y$，将分子分母同时除以公因式进行约分：
$\frac{16x^3 y}{8x^2 y^2} = \frac{16x^3 y ÷ 8x^2 y}{8x^2 y^2 ÷ 8x^2 y} = \frac{2x}{y}$
【答案】
$\frac{2x}{y}$
【知识点】
分式约分、同底数幂的除法、公因式确定
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是准确找到分子分母的公因式，计算时要注意相同字母的指数运算规则，避免出现指数计算错误、字母放错分子分母位置的低级失误。
【难度系数】
0.9
这是分式化简的基础题，解题思路如下：首先观察分式的分子和分母都是单项式，可通过约分完成化简：第一步先约系数，找到分子系数16和分母系数8的最大公因数8，先把系数约至最简；第二步约相同字母，对于字母x，分子是$x^3$（即3个x相乘），分母是$x^2$（即2个x相乘），可约掉2个x，分子剩余1个x；对于字母y，分子是$y^1$（1个y），分母是$y^2$（2个y），可约掉1个y，分母剩余1个y；最后确认结果的分子分母无其他公因式，即为最简结果。
【解析】
先确定分子分母的公因式为$8x^2y$，将分子分母同时除以公因式进行约分：
$\frac{16x^3 y}{8x^2 y^2} = \frac{16x^3 y ÷ 8x^2 y}{8x^2 y^2 ÷ 8x^2 y} = \frac{2x}{y}$
【答案】
$\frac{2x}{y}$
【知识点】
分式约分、同底数幂的除法、公因式确定
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是准确找到分子分母的公因式，计算时要注意相同字母的指数运算规则，避免出现指数计算错误、字母放错分子分母位置的低级失误。
【难度系数】
0.9
4.把分式$\frac{xy}{x+y}$中的$x,y$同时扩大为原来的2倍后,分式的值会如何变化?
分析:先算括号内的$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$,根据异分母分式的加减法法则,先通分,化为$\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}$,再按同分母分式的加减法法则计算,最后算乘法并化为最简分式.
归纳:分式的混合运算,与数的混合运算类似.在进行分式的加、减、乘、除混合运算时,一般要按照运算顺序进行:先算乘除,后算;如果有括号,要先算括号内的.
分析:先算括号内的$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$,根据异分母分式的加减法法则,先通分,化为$\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}$,再按同分母分式的加减法法则计算,最后算乘法并化为最简分式.
归纳:分式的混合运算,与数的混合运算类似.在进行分式的加、减、乘、除混合运算时,一般要按照运算顺序进行:先算乘除,后算;如果有括号,要先算括号内的.
答案
4. 分式的值扩大为原来的 2 倍
解析
【分析】
要判断x、y扩大后分式值的变化，可按以下思路推导：首先将原分式中的x替换为2x、y替换为2y，得到变量变化后的新分式；再对新分式的分子、分母分别化简，结合分式的基本性质约分；最后将约分后的结果和原分式对比，即可得出值的变化情况。
【解析】
解：将x、y同时扩大为原来的2倍，即把原分式中的x换成2x，y换成2y，代入得新分式：
$\frac{(2x)·(2y)}{2x+2y}$
先计算分子：$(2x)·(2y)=4xy$
再对分母因式分解：$2x+2y=2(x+y)$
因此新分式可化为：$\frac{4xy}{2(x+y)}$
根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式2，得：
$\frac{4xy}{2(x+y)}=2·\frac{xy}{x+y}$
对比原分式$\frac{xy}{x+y}$，可知新分式的值是原分式的2倍。
【答案】
分式的值扩大为原来的2倍
【知识点】
分式的基本性质、分式约分、代数式代入
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是准确代入变化后的变量，通过规范化简对比结果，切忌仅凭直觉判断倍数，要通过计算验证结论。
【难度系数】
0.7
要判断x、y扩大后分式值的变化，可按以下思路推导：首先将原分式中的x替换为2x、y替换为2y，得到变量变化后的新分式；再对新分式的分子、分母分别化简，结合分式的基本性质约分；最后将约分后的结果和原分式对比，即可得出值的变化情况。
【解析】
解：将x、y同时扩大为原来的2倍，即把原分式中的x换成2x，y换成2y，代入得新分式：
$\frac{(2x)·(2y)}{2x+2y}$
先计算分子：$(2x)·(2y)=4xy$
再对分母因式分解：$2x+2y=2(x+y)$
因此新分式可化为：$\frac{4xy}{2(x+y)}$
根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式2，得：
$\frac{4xy}{2(x+y)}=2·\frac{xy}{x+y}$
对比原分式$\frac{xy}{x+y}$，可知新分式的值是原分式的2倍。
【答案】
分式的值扩大为原来的2倍
【知识点】
分式的基本性质、分式约分、代数式代入
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是准确代入变化后的变量，通过规范化简对比结果，切忌仅凭直觉判断倍数，要通过计算验证结论。
【难度系数】
0.7
