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知识点三:分式的加减
1.同分母分式的加减法法则:同分母的两个分式相加(或相减),分母不变,把分子相加(或相减).
$\frac{A}{B}\pm\frac{C}{B}=\frac{A\pm C}{B}.$
2.异分母分式的加减法法则:异分母的两个分式相加(或相减),先通分,化为同分母的分式,再相加(或相减).
$\frac{A}{B}\pm\frac{C}{D}=\frac{A· D}{B· D}\pm\frac{B· C}{B· D}=\frac{A· D\pm B· C}{B· D}.$
3.把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式,叫作分式的.这个相同的分母叫作这几个分式的.分式加减运算的结果要化为.
例 计算:$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})·\frac{ab}{a^2+2ab+b^2}.$
1.同分母分式的加减法法则:同分母的两个分式相加(或相减),分母不变,把分子相加(或相减).
$\frac{A}{B}\pm\frac{C}{B}=\frac{A\pm C}{B}.$
2.异分母分式的加减法法则:异分母的两个分式相加(或相减),先通分,化为同分母的分式,再相加(或相减).
$\frac{A}{B}\pm\frac{C}{D}=\frac{A· D}{B· D}\pm\frac{B· C}{B· D}=\frac{A· D\pm B· C}{B· D}.$
3.把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式,叫作分式的.这个相同的分母叫作这几个分式的.分式加减运算的结果要化为.
例 计算:$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})·\frac{ab}{a^2+2ab+b^2}.$
答案
3. 通分；最简公分母；最简分式
解：
原式$=(\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab})·\frac{ab}{(a+b)^2}$
$=\frac{a+b}{ab}·\frac{ab}{(a+b)^2}$
$=\frac{1}{a+b}$
解：
原式$=(\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab})·\frac{ab}{(a+b)^2}$
$=\frac{a+b}{ab}·\frac{ab}{(a+b)^2}$
$=\frac{1}{a+b}$
解析
【分析】
本题分为基础概念填空和分式混合运算两部分。填空部分考查分式通分相关的核心概念，结合所学定义可直接作答。计算例题的解题思路如下：第一步先处理括号内的异分母分式加法，先找到两个分式的最简公分母ab，通分化为同分母分式后，按照同分母分式加减法则分子相加；第二步将后面分式的分母利用完全平方公式因式分解为$(a+b)^2$；第三步进行分式乘法运算，先约去分子分母的公因式，再化简得到最终结果。
【解析】
3. 根据定义可知，把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫作分式的通分，这个相同的分母叫作这几个分式的最简公分母，分式加减运算的结果要化为最简分式。
例题计算：
原式先对括号内异分母分式通分，得：
$(\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab})·\frac{ab}{(a+b)^2}$
括号内按照同分母分式加法法则计算，得：
$\frac{a+b}{ab}·\frac{ab}{(a+b)^2}$
约去分子分母的公因式$ab$和$(a+b)$，得：
$\frac{1}{a+b}$
【答案】
3. 通分；最简公分母；最简分式
例题计算结果：$\frac{1}{a+b}$
【知识点】
分式通分概念、分式加减法法则、分式混合运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查对基础概念的记忆和运算步骤的掌握，熟练掌握通分、因式分解、约分的操作是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题分为基础概念填空和分式混合运算两部分。填空部分考查分式通分相关的核心概念，结合所学定义可直接作答。计算例题的解题思路如下：第一步先处理括号内的异分母分式加法，先找到两个分式的最简公分母ab，通分化为同分母分式后，按照同分母分式加减法则分子相加；第二步将后面分式的分母利用完全平方公式因式分解为$(a+b)^2$；第三步进行分式乘法运算，先约去分子分母的公因式，再化简得到最终结果。
【解析】
3. 根据定义可知，把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫作分式的通分，这个相同的分母叫作这几个分式的最简公分母，分式加减运算的结果要化为最简分式。
例题计算：
原式先对括号内异分母分式通分，得：
$(\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab})·\frac{ab}{(a+b)^2}$
括号内按照同分母分式加法法则计算，得：
$\frac{a+b}{ab}·\frac{ab}{(a+b)^2}$
约去分子分母的公因式$ab$和$(a+b)$，得：
$\frac{1}{a+b}$
【答案】
3. 通分；最简公分母；最简分式
例题计算结果：$\frac{1}{a+b}$
【知识点】
分式通分概念、分式加减法法则、分式混合运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查对基础概念的记忆和运算步骤的掌握，熟练掌握通分、因式分解、约分的操作是解题的关键。
【难度系数】
0.8
计算下列各式：
1. $\dfrac{x^2 -1}{x+1} · \dfrac{x-1}{x^2 -x} ÷ \dfrac{1}{x}$
2. $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x(x-1)}$
3. $(m + \dfrac{4m+4}{m}) ÷ \dfrac{m+2}{m}$
1. $\dfrac{x^2 -1}{x+1} · \dfrac{x-1}{x^2 -x} ÷ \dfrac{1}{x}$
2. $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x(x-1)}$
3. $(m + \dfrac{4m+4}{m}) ÷ \dfrac{m+2}{m}$
答案
1. $x-1$
2. $\frac{1}{x-1}$
3. $m+2$
2. $\frac{1}{x-1}$
3. $m+2$
解析
【分析】
这三道题均为分式化简运算题，解题思路如下：1. 分式乘除混合运算：先将分子分母中能因式分解的部分分解，再将除法转化为乘法，最后约分化简即可；2. 异分母分式加法：先找到最简公分母通分转化为同分母分式，再按同分母分式加法法则计算，最后约分；3. 含括号的分式混合运算：先计算括号内的分式加法，再将除法转化为乘法，最后约分化简。
【解析】
1. 先对各分式的分子分母因式分解，将除法转化为乘法：
原式 = $\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1} · \dfrac{x-1}{x(x-1)} · x$
依次约去公因式$x+1$、$x$、$x-1$，得结果为$x-1$。
2. 先找最简公分母为$x(x-1)$，通分后计算：
原式 = $\dfrac{x-1}{x(x-1)} + \dfrac{1}{x(x-1)}$
同分母分式相加，分母不变，分子相加：
= $\dfrac{x-1+1}{x(x-1)} = \dfrac{x}{x(x-1)}$
约去公因式$x$，得结果为$\dfrac{1}{x-1}$。
3. 先计算括号内的加法，将$m$通分为分母为$m$的分式，分子合并后因式分解，再将除法转化为乘法：
原式 = $\dfrac{m^2 + 4m + 4}{m} ÷ \dfrac{m+2}{m} = \dfrac{(m+2)^2}{m} · \dfrac{m}{m+2}$
约去公因式$m$、$m+2$，得结果为$m+2$。
【答案】
1. $x-1$
2. $\dfrac{1}{x-1}$
3. $m+2$
【知识点】
分式乘除运算、分式加减运算、因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考察因式分解在分式化简中的应用，运算时需先规范转换运算形式（除法转乘法、异分母转同分母），再进行约分或合并计算即可，注意运算过程中要保证分母不为0。
【难度系数】
0.8
这三道题均为分式化简运算题，解题思路如下：1. 分式乘除混合运算：先将分子分母中能因式分解的部分分解，再将除法转化为乘法，最后约分化简即可；2. 异分母分式加法：先找到最简公分母通分转化为同分母分式，再按同分母分式加法法则计算，最后约分；3. 含括号的分式混合运算：先计算括号内的分式加法，再将除法转化为乘法，最后约分化简。
【解析】
1. 先对各分式的分子分母因式分解，将除法转化为乘法：
原式 = $\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1} · \dfrac{x-1}{x(x-1)} · x$
依次约去公因式$x+1$、$x$、$x-1$，得结果为$x-1$。
2. 先找最简公分母为$x(x-1)$，通分后计算：
原式 = $\dfrac{x-1}{x(x-1)} + \dfrac{1}{x(x-1)}$
同分母分式相加，分母不变，分子相加：
= $\dfrac{x-1+1}{x(x-1)} = \dfrac{x}{x(x-1)}$
约去公因式$x$，得结果为$\dfrac{1}{x-1}$。
3. 先计算括号内的加法，将$m$通分为分母为$m$的分式，分子合并后因式分解，再将除法转化为乘法：
原式 = $\dfrac{m^2 + 4m + 4}{m} ÷ \dfrac{m+2}{m} = \dfrac{(m+2)^2}{m} · \dfrac{m}{m+2}$
约去公因式$m$、$m+2$，得结果为$m+2$。
【答案】
1. $x-1$
2. $\dfrac{1}{x-1}$
3. $m+2$
【知识点】
分式乘除运算、分式加减运算、因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考察因式分解在分式化简中的应用，运算时需先规范转换运算形式（除法转乘法、异分母转同分母），再进行约分或合并计算即可，注意运算过程中要保证分母不为0。
【难度系数】
0.8
