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9. 如图4,在$△ ABC$中,BE,CD是两条高,交点为I,若$∠ A=55°$,则$∠ BIC$的度数为（
A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$135°$
B
）A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$135°$
答案
9.B
解析
【分析】
首先明确已知条件：BE、CD是△ABC的高，可得∠ADC=∠AEB=90°，已知∠A=55°。我们可以先在四边形ADIE中，利用四边形内角和为360°求出∠DIE的度数，再根据∠BIC与∠DIE是对顶角，二者相等，即可求出∠BIC的度数。
【解析】
解：
∵BE、CD是△ABC的两条高，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∵四边形ADIE的内角和为360°，
∴∠DIE = 360° - ∠A - ∠ADC - ∠AEB
代入数值计算：∠DIE = 360° - 55° - 90° - 90° = 125°，
又
∵∠BIC与∠DIE是对顶角，
∴∠BIC = ∠DIE = 125°。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义，四边形内角和，对顶角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题，解题关键是结合三角形高的性质找到已知角和待求角的位置关系，可通过四边形内角和或三角形外角性质求解，是三角形章节的常见题型。
【难度系数】
0.8
首先明确已知条件：BE、CD是△ABC的高，可得∠ADC=∠AEB=90°，已知∠A=55°。我们可以先在四边形ADIE中，利用四边形内角和为360°求出∠DIE的度数，再根据∠BIC与∠DIE是对顶角，二者相等，即可求出∠BIC的度数。
【解析】
解：
∵BE、CD是△ABC的两条高，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∵四边形ADIE的内角和为360°，
∴∠DIE = 360° - ∠A - ∠ADC - ∠AEB
代入数值计算：∠DIE = 360° - 55° - 90° - 90° = 125°，
又
∵∠BIC与∠DIE是对顶角，
∴∠BIC = ∠DIE = 125°。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义，四边形内角和，对顶角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题，解题关键是结合三角形高的性质找到已知角和待求角的位置关系，可通过四边形内角和或三角形外角性质求解，是三角形章节的常见题型。
【难度系数】
0.8
10.如图5,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,BC=3 cm,AC=4 cm,AB=5 cm,CD=2.4 cm,则点A到BC的距离是
4
cm,BC＞
BD(填“＞”“＜”或“=”).答案
10.4 ＞
解析
【分析】
首先解决第一空：回忆点到直线距离的定义，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度。要找点A到BC的距离，需找到过点A且垂直于BC的线段，已知∠ACB=90°，说明AC⊥BC，因此AC的长度就是点A到BC的距离。
再解决第二空：观察图形可知CD⊥AB，因此△CDB是直角三角形，BC是直角三角形的斜边，BD是直角边，根据直角三角形中斜边大于任意直角边的性质，即可判断BC和BD的大小关系。
【解析】
1. 求点A到BC的距离：
根据点到直线的距离的定义，直线外一点到直线的垂线段长度为点到直线的距离。
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴点A到BC的距离就是线段AC的长度，已知AC=4cm，因此第一空填4。
2. 比较BC和BD的大小：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，△CDB为直角三角形，
其中BC是直角三角形的斜边，BD是直角边，
根据直角三角形中斜边大于任意一条直角边，可得BC＞BD，因此第二空填＞。
【答案】
4；＞
【知识点】
点到直线的距离；垂线段最短
【点评】
本题侧重基础概念的理解与应用，解题的关键是准确把握点到直线距离的内涵，同时能结合图形中的垂直关系快速判断线段长短，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
首先解决第一空：回忆点到直线距离的定义，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度。要找点A到BC的距离，需找到过点A且垂直于BC的线段，已知∠ACB=90°，说明AC⊥BC，因此AC的长度就是点A到BC的距离。
再解决第二空：观察图形可知CD⊥AB，因此△CDB是直角三角形，BC是直角三角形的斜边，BD是直角边，根据直角三角形中斜边大于任意直角边的性质，即可判断BC和BD的大小关系。
【解析】
1. 求点A到BC的距离：
根据点到直线的距离的定义，直线外一点到直线的垂线段长度为点到直线的距离。
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴点A到BC的距离就是线段AC的长度，已知AC=4cm，因此第一空填4。
2. 比较BC和BD的大小：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，△CDB为直角三角形，
其中BC是直角三角形的斜边，BD是直角边，
根据直角三角形中斜边大于任意一条直角边，可得BC＞BD，因此第二空填＞。
【答案】
4；＞
【知识点】
点到直线的距离；垂线段最短
【点评】
本题侧重基础概念的理解与应用，解题的关键是准确把握点到直线距离的内涵，同时能结合图形中的垂直关系快速判断线段长短，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
11. 如果关于x，y的二元一次方程组$\begin{cases}5x+3y=31, \\x+y-p=0\end{cases}$的解均是正数，那么整数p的值为 ______ 。
答案
11.7,8,9,10
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，把参数p当作常数，解二元一次方程组，用含p的代数式分别表示出x和y；第二步，根据“方程组的解均是正数”，即x＞0、y＞0，列出关于p的一元一次不等式组，解不等式组得到p的取值范围；第三步，在p的取值范围内找出所有整数，就是要求的p的值。
【解析】
首先整理方程组得：$\begin{cases}5x+3y=31 ① \\x+y=p ②\end{cases}$
用加减消元法解方程组：
②×3得：$3x+3y=3p$ ③
①-③得：$2x=31-3p$，解得$x=\frac{31-3p}{2}$
②×5得：$5x+5y=5p$ ④
④-①得：$2y=5p-31$，解得$y=\frac{5p-31}{2}$
∵方程组的解均是正数
∴$\begin{cases}\frac{31-3p}{2}＞0 \\ \frac{5p-31}{2}＞0 \end{cases}$
解第一个不等式：$31-3p＞0$，得$p＜\frac{31}{3}\approx10.33$
解第二个不等式：$5p-31＞0$，得$p＞\frac{31}{5}=6.2$
∴p的取值范围是$6.2＜p＜10.33$
又
∵p是整数
∴p的取值为7、8、9、10
【答案】
7,8,9,10
【知识点】
1. 二元一次方程组的解法
2. 一元一次不等式组的解法
3. 整数解的确定
【点评】
本题是方程组与不等式组的综合类常考题，解题核心是先将参数视为常数求解方程组，再结合解的限制条件列不等式求出参数范围，最后筛选符合要求的整数解，解题时要注意解不等式时不等号的方向，避免算错取值范围。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步，把参数p当作常数，解二元一次方程组，用含p的代数式分别表示出x和y；第二步，根据“方程组的解均是正数”，即x＞0、y＞0，列出关于p的一元一次不等式组，解不等式组得到p的取值范围；第三步，在p的取值范围内找出所有整数，就是要求的p的值。
【解析】
首先整理方程组得：$\begin{cases}5x+3y=31 ① \\x+y=p ②\end{cases}$
用加减消元法解方程组：
②×3得：$3x+3y=3p$ ③
①-③得：$2x=31-3p$，解得$x=\frac{31-3p}{2}$
②×5得：$5x+5y=5p$ ④
④-①得：$2y=5p-31$，解得$y=\frac{5p-31}{2}$
∵方程组的解均是正数
∴$\begin{cases}\frac{31-3p}{2}＞0 \\ \frac{5p-31}{2}＞0 \end{cases}$
解第一个不等式：$31-3p＞0$，得$p＜\frac{31}{3}\approx10.33$
解第二个不等式：$5p-31＞0$，得$p＞\frac{31}{5}=6.2$
∴p的取值范围是$6.2＜p＜10.33$
又
∵p是整数
∴p的取值为7、8、9、10
【答案】
7,8,9,10
【知识点】
1. 二元一次方程组的解法
2. 一元一次不等式组的解法
3. 整数解的确定
【点评】
本题是方程组与不等式组的综合类常考题，解题核心是先将参数视为常数求解方程组，再结合解的限制条件列不等式求出参数范围，最后筛选符合要求的整数解，解题时要注意解不等式时不等号的方向，避免算错取值范围。
【难度系数】
0.7
12.一辆汽车在公路上行驶，经过两次向右拐弯后(第一次拐弯后，行驶了一段路程再第二次拐弯)，行驶方向仍与原来的行驶方向平行.已知这辆汽车在这三段公路上都是沿直线行驶，且第一次是向右拐弯$80°$，那么第二次向右拐弯的最小度数是
$100°$
.答案
12.$100°$
解析
【分析】
解决这道题首先要结合生活场景理解“两次向右拐弯后行驶方向与原方向平行”的几何含义：我们可以把三段行驶路线看作三条直线，原路线和第二次拐弯后的路线互相平行，两次向右拐弯的角度是路线之间形成的夹角。因为两次都是向右拐弯，若要最终路线与原路线平行，此时两次拐弯的角度需满足同旁内角互补的关系（如果用同位角相等的结论，第二次需要向左拐弯，不符合题意），用180°减去第一次拐弯的度数就能得到第二次向右拐弯的最小度数。
【解析】
我们可以通过画图辅助理解：
1. 设汽车原来的行驶路线为直线$l_1$，第一次向右拐弯$80°$后行驶的路线为直线$l_2$，第二次向右拐弯后行驶的路线为直线$l_3$，由题意可知$l_1 // l_3$。
2. 因为两次拐弯方向均为向右，要使$l_1 // l_3$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，两次向右拐弯的角度之和为$180°$。
3. 已知第一次向右拐弯$80°$，所以第二次向右拐弯的最小度数为$180° - 80° = 100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
平行线的性质；角的运算
【点评】
这道题结合生活实际考查平行线性质的应用，解题时要注意题干中“两次均向右拐弯”的限制条件，避免直接套用“两次拐弯后方向平行则拐角相等”的结论导致出错，只要理清路线平行时拐角的数量关系就能轻松解答。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要结合生活场景理解“两次向右拐弯后行驶方向与原方向平行”的几何含义：我们可以把三段行驶路线看作三条直线，原路线和第二次拐弯后的路线互相平行，两次向右拐弯的角度是路线之间形成的夹角。因为两次都是向右拐弯，若要最终路线与原路线平行，此时两次拐弯的角度需满足同旁内角互补的关系（如果用同位角相等的结论，第二次需要向左拐弯，不符合题意），用180°减去第一次拐弯的度数就能得到第二次向右拐弯的最小度数。
【解析】
我们可以通过画图辅助理解：
1. 设汽车原来的行驶路线为直线$l_1$，第一次向右拐弯$80°$后行驶的路线为直线$l_2$，第二次向右拐弯后行驶的路线为直线$l_3$，由题意可知$l_1 // l_3$。
2. 因为两次拐弯方向均为向右，要使$l_1 // l_3$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，两次向右拐弯的角度之和为$180°$。
3. 已知第一次向右拐弯$80°$，所以第二次向右拐弯的最小度数为$180° - 80° = 100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
平行线的性质；角的运算
【点评】
这道题结合生活实际考查平行线性质的应用，解题时要注意题干中“两次均向右拐弯”的限制条件，避免直接套用“两次拐弯后方向平行则拐角相等”的结论导致出错，只要理清路线平行时拐角的数量关系就能轻松解答。
【难度系数】
0.6
13.某射箭运动员在一次比赛中前6次射击共击中52环，如果他要打破89环(10次射击，每次射击最高中10环)的记录，他第7次射击不能少于多少环？
答案
13.8环
解析
【分析】
首先明确题意：10次射击总环数超过89环才能打破记录，目前前6次共击中52环，还剩第7、8、9、10次4次射击。要计算第7次射击的最少环数，需用极端假设思路：要让第7次环数尽可能小，那么剩余的第8、9、10次射击要取最高值（每次10环），再结合总环数的要求列不等式求解，同时注意射击环数为正整数的隐含条件。
【解析】
设第7次射击的成绩为$x$环，已知每次射击最高为10环，因此第8、9、10次射击最多共击中$10×3=30$环。
根据“打破89环记录”即总环数大于89环，可列不等式：
$52 + x + 3×10 ＞ 89$
化简得：$82 + x ＞ 89$
解得：$x ＞ 7$
由于射击环数为正整数，因此$x$的最小整数值为8。
【答案】
8环
【知识点】
一元一次不等式的应用；实际问题整数解；最值问题
【点评】
本题结合竞技场景考查不等式的实际应用，解题核心是合理采用极端假设确定其余未知量的最大值，同时需注意结合实际场景的隐含限制条件，避免漏看规则得出错误结果。
【难度系数】
0.7
首先明确题意：10次射击总环数超过89环才能打破记录，目前前6次共击中52环，还剩第7、8、9、10次4次射击。要计算第7次射击的最少环数，需用极端假设思路：要让第7次环数尽可能小，那么剩余的第8、9、10次射击要取最高值（每次10环），再结合总环数的要求列不等式求解，同时注意射击环数为正整数的隐含条件。
【解析】
设第7次射击的成绩为$x$环，已知每次射击最高为10环，因此第8、9、10次射击最多共击中$10×3=30$环。
根据“打破89环记录”即总环数大于89环，可列不等式：
$52 + x + 3×10 ＞ 89$
化简得：$82 + x ＞ 89$
解得：$x ＞ 7$
由于射击环数为正整数，因此$x$的最小整数值为8。
【答案】
8环
【知识点】
一元一次不等式的应用；实际问题整数解；最值问题
【点评】
本题结合竞技场景考查不等式的实际应用，解题核心是合理采用极端假设确定其余未知量的最大值，同时需注意结合实际场景的隐含限制条件，避免漏看规则得出错误结果。
【难度系数】
0.7
14.已知在$△ ABC$中，AE平分$∠ BAC$.
(1)如图6①，若$AD⊥ BC$于点D，$∠ B=72°$，$∠ C=36°$，求$∠ DAE$的度数；
(2)如图6②，P为AE上一个动点(P不与A,E重合)，$PF⊥ BC$于点F，若$∠ B＞∠ C$，则$∠ EPF=\frac{∠ B-∠ C}{2}$是否成立，并说明理由.
(1)如图6①，若$AD⊥ BC$于点D，$∠ B=72°$，$∠ C=36°$，求$∠ DAE$的度数；
(2)如图6②，P为AE上一个动点(P不与A,E重合)，$PF⊥ BC$于点F，若$∠ B＞∠ C$，则$∠ EPF=\frac{∠ B-∠ C}{2}$是否成立，并说明理由.
答案
14.(1)$∠ DAE=18°$
(2)成立.理由略.
(2)成立.理由略.
解析
【分析】
(1) 要求∠DAE的度数，可先利用三角形内角和求出∠BAC的度数，再结合角平分线的定义求出∠BAE的度数，接着根据AD⊥BC，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，最后用∠BAE减去∠BAD即可得到∠DAE的度数。
(2) 要判断$∠ EPF=\frac{∠B-∠C}{2}$是否成立，可先根据三角形内角和及角平分线定义表示出∠CAE的度数，再利用三角形外角的性质表示出∠AEB的度数，最后结合PF⊥BC，利用直角三角形两锐角互余推导∠EPF的表达式，化简后即可验证结论是否成立。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-72°-36°=72°$
∵AE平分$∠ BAC$
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×72°=36°$
∵$AD⊥ BC$，
∴$∠ ADB=90°$
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD=90°-∠ B=90°-72°=18°$
∴$∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=36°-18°=18°$
(2) 成立，理由如下：
在△ABC中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C$
∵AE平分$∠ BAC$
∴$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)=90°-\frac{1}{2}(∠ B+∠ C)$
根据三角形外角的性质，∠AEB是△AEC的外角，因此：
$∠ AEB=∠ C+∠ CAE=∠ C+90°-\frac{1}{2}(∠ B+∠ C)=90°+\frac{1}{2}∠ C-\frac{1}{2}∠ B$
∵$PF⊥ BC$，
∴$∠ PFE=90°$
在$Rt△ PEF$中，$∠ EPF+∠ AEB=90°$
∴$∠ EPF=90°-∠ AEB=90°-(90°+\frac{1}{2}∠ C-\frac{1}{2}∠ B)=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$
故结论成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠DAE=18°}$
(2) 成立。
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质
【点评】
本题围绕三角形角度计算展开，结合角平分线、高线的性质考查角度转化能力，解题的关键是灵活运用三角形内角和、外角性质建立不同角度之间的数量关系，第二问得出的结论可作为三角形角度计算的常用规律使用。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠DAE的度数，可先利用三角形内角和求出∠BAC的度数，再结合角平分线的定义求出∠BAE的度数，接着根据AD⊥BC，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，最后用∠BAE减去∠BAD即可得到∠DAE的度数。
(2) 要判断$∠ EPF=\frac{∠B-∠C}{2}$是否成立，可先根据三角形内角和及角平分线定义表示出∠CAE的度数，再利用三角形外角的性质表示出∠AEB的度数，最后结合PF⊥BC，利用直角三角形两锐角互余推导∠EPF的表达式，化简后即可验证结论是否成立。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-72°-36°=72°$
∵AE平分$∠ BAC$
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×72°=36°$
∵$AD⊥ BC$，
∴$∠ ADB=90°$
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD=90°-∠ B=90°-72°=18°$
∴$∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=36°-18°=18°$
(2) 成立，理由如下：
在△ABC中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C$
∵AE平分$∠ BAC$
∴$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)=90°-\frac{1}{2}(∠ B+∠ C)$
根据三角形外角的性质，∠AEB是△AEC的外角，因此：
$∠ AEB=∠ C+∠ CAE=∠ C+90°-\frac{1}{2}(∠ B+∠ C)=90°+\frac{1}{2}∠ C-\frac{1}{2}∠ B$
∵$PF⊥ BC$，
∴$∠ PFE=90°$
在$Rt△ PEF$中，$∠ EPF+∠ AEB=90°$
∴$∠ EPF=90°-∠ AEB=90°-(90°+\frac{1}{2}∠ C-\frac{1}{2}∠ B)=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$
故结论成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠DAE=18°}$
(2) 成立。
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质
【点评】
本题围绕三角形角度计算展开，结合角平分线、高线的性质考查角度转化能力，解题的关键是灵活运用三角形内角和、外角性质建立不同角度之间的数量关系，第二问得出的结论可作为三角形角度计算的常用规律使用。
【难度系数】
0.7
