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1. 下列曲线中，表示 y 是 x 的函数的是 （
D
）答案
1.D
解析
【分析】
要判断曲线是否表示y是x的函数，首先需要明确函数的核心定义：在变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应。我们可以用“垂线法”快速判断：作垂直于x轴的直线，沿x轴平移该直线，若直线和图像始终最多只有1个交点，就符合函数的要求，反之则不是函数，接下来用这个方法逐个分析选项即可。
【解析】
我们根据函数的定义逐一判断：
1. 选项A：当x取大于0的任意值时，作垂直于x轴的直线与图像有2个交点，说明1个x对应2个y值，因此y不是x的函数；
2. 选项B：平移垂直于x轴的直线时，会出现直线与图像有2个以上交点的情况，说明存在x对应多个y值，因此y不是x的函数；
3. 选项C：除了圆的左右两个端点外，其余x对应的垂直于x轴的直线都和图像有2个交点，说明1个x对应2个y值，因此y不是x的函数；
4. 选项D：任意作垂直于x轴的直线，和图像都只有1个交点，说明每个确定的x都对应唯一的y值，因此y是x的函数。
综上，符合要求的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
函数的概念
【点评】
本题是对函数基础定义的考查，掌握用“垂线法”判断函数图像的技巧就能快速解题，属于概念类基础题。
【难度系数】
0.8
要判断曲线是否表示y是x的函数，首先需要明确函数的核心定义：在变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应。我们可以用“垂线法”快速判断：作垂直于x轴的直线，沿x轴平移该直线，若直线和图像始终最多只有1个交点，就符合函数的要求，反之则不是函数，接下来用这个方法逐个分析选项即可。
【解析】
我们根据函数的定义逐一判断：
1. 选项A：当x取大于0的任意值时，作垂直于x轴的直线与图像有2个交点，说明1个x对应2个y值，因此y不是x的函数；
2. 选项B：平移垂直于x轴的直线时，会出现直线与图像有2个以上交点的情况，说明存在x对应多个y值，因此y不是x的函数；
3. 选项C：除了圆的左右两个端点外，其余x对应的垂直于x轴的直线都和图像有2个交点，说明1个x对应2个y值，因此y不是x的函数；
4. 选项D：任意作垂直于x轴的直线，和图像都只有1个交点，说明每个确定的x都对应唯一的y值，因此y是x的函数。
综上，符合要求的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
函数的概念
【点评】
本题是对函数基础定义的考查，掌握用“垂线法”判断函数图像的技巧就能快速解题，属于概念类基础题。
【难度系数】
0.8
2. 函数$y=\sqrt{x+2}$的自变量的取值范围是 （
A.$x＞0$
B.$x＞-2$
C.$x≥ -2$
D.$x≠ -2$
C
）A.$x＞0$
B.$x＞-2$
C.$x≥ -2$
D.$x≠ -2$
答案
2.C
解析
【分析】
要确定函数自变量的取值范围，首先观察函数表达式的形式，本题函数含二次根式，根据二次根式的性质，二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，因此只需令根号内的式子大于等于0，解对应的不等式即可得到自变量的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\sqrt{x+2}$有意义，需满足二次根式的被开方数为非负数，即：
$x+2≥0$
解不等式，两边同时减2得：$x≥-2$
因此自变量$x$的取值范围是$x≥-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
函数自变量取值范围；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是基础常考题，核心考查二次根式有意义的判定规则，牢记被开方数非负的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要确定函数自变量的取值范围，首先观察函数表达式的形式，本题函数含二次根式，根据二次根式的性质，二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，因此只需令根号内的式子大于等于0，解对应的不等式即可得到自变量的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\sqrt{x+2}$有意义，需满足二次根式的被开方数为非负数，即：
$x+2≥0$
解不等式，两边同时减2得：$x≥-2$
因此自变量$x$的取值范围是$x≥-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
函数自变量取值范围；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是基础常考题，核心考查二次根式有意义的判定规则，牢记被开方数非负的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 在下列等式中，$y$是$x$的函数的有 （
$3x - 2y = 0, x^2 - y^2 = 1, y = x, y = |x|, |y| = x.$
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）$3x - 2y = 0, x^2 - y^2 = 1, y = x, y = |x|, |y| = x.$
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3.C
解析
【分析】
判断y是否为x的函数的核心依据是函数的定义：在一个变化过程中，给定x的一个确定的允许取值，y有且只有一个确定的值与之对应。解题时我们只需逐个分析给出的5个等式，验证每个等式是否满足“x取任意确定值时，y都有唯一值对应”的要求，统计符合要求的等式个数即可选出正确选项。
【解析】
函数的判断标准：对于x的每一个确定的取值，y都有唯一确定的取值和它对应，则y是x的函数，我们逐个分析等式：
1. 对$3x - 2y = 0$变形得$y=\frac{3}{2}x$，任意给x一个确定的值，都能得到唯一的y值，符合函数定义，属于函数。
2. 对$x^2 - y^2 = 1$变形得$y^2=x^2-1$，例如当$x=2$时，$y^2=3$，此时y有$\sqrt{3}$和$-\sqrt{3}$两个取值，不满足唯一对应，不属于函数。
3. $y = x$中，任意x的确定值都对应唯一的y值，符合函数定义，属于函数。
4. $y = |x|$中，任意x的确定值都对应唯一的y值（即x的绝对值），符合函数定义，属于函数。
5. 对$|y| = x$，例如当$x=1$时，y可以取1或-1两个值，不满足唯一对应，不属于函数。
综上，符合要求的函数共有3个。
【答案】C
【知识点】函数的概念
【点评】本题重点考查对函数定义的理解，解题关键是抓住“x每取一个确定值，y有唯一确定值对应”的核心判断依据，要注意当y带有平方、绝对值等运算时，很容易出现一个x对应多个y的情况，判断时要仔细验证。
【难度系数】0.7
判断y是否为x的函数的核心依据是函数的定义：在一个变化过程中，给定x的一个确定的允许取值，y有且只有一个确定的值与之对应。解题时我们只需逐个分析给出的5个等式，验证每个等式是否满足“x取任意确定值时，y都有唯一值对应”的要求，统计符合要求的等式个数即可选出正确选项。
【解析】
函数的判断标准：对于x的每一个确定的取值，y都有唯一确定的取值和它对应，则y是x的函数，我们逐个分析等式：
1. 对$3x - 2y = 0$变形得$y=\frac{3}{2}x$，任意给x一个确定的值，都能得到唯一的y值，符合函数定义，属于函数。
2. 对$x^2 - y^2 = 1$变形得$y^2=x^2-1$，例如当$x=2$时，$y^2=3$，此时y有$\sqrt{3}$和$-\sqrt{3}$两个取值，不满足唯一对应，不属于函数。
3. $y = x$中，任意x的确定值都对应唯一的y值，符合函数定义，属于函数。
4. $y = |x|$中，任意x的确定值都对应唯一的y值（即x的绝对值），符合函数定义，属于函数。
5. 对$|y| = x$，例如当$x=1$时，y可以取1或-1两个值，不满足唯一对应，不属于函数。
综上，符合要求的函数共有3个。
【答案】C
【知识点】函数的概念
【点评】本题重点考查对函数定义的理解，解题关键是抓住“x每取一个确定值，y有唯一确定值对应”的核心判断依据，要注意当y带有平方、绝对值等运算时，很容易出现一个x对应多个y的情况，判断时要仔细验证。
【难度系数】0.7
4.作为2026年的首次发射,神舟二十三号飞船备受瞩目.在升天过程中,燃料的体积会随飞船飞行高度的增加而减少,在这一过程中,自变量是 （
A.飞船的质量
B.飞船的飞行高度
C.燃料的体积
D.燃料的质量
B
）A.飞船的质量
B.飞船的飞行高度
C.燃料的体积
D.燃料的质量
答案
4.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确自变量和因变量的概念：在一个变化过程中，主动发生变化、能引起其他量变化的量是自变量，随着自变量的变化而随之变化的量是因变量。接下来结合题干描述的变化关系判断：题目明确说明“燃料的体积会随飞船飞行高度的增加而减少”，也就是飞行高度是主动变化的，燃料体积是跟着飞行高度的变化而变化的，据此就能确定自变量。
【解析】
首先回忆变量相关定义：在一个变化过程中，主动变化、会导致其他量发生改变的量为自变量，随自变量变化而改变的量为因变量。
根据题干“燃料的体积会随飞船飞行高度的增加而减少”可知：飞船的飞行高度是主动变化的量，燃料的体积是随着飞行高度的变化而变化的量，因此自变量是飞船的飞行高度，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
自变量与因变量的判别
【点评】
本题考查自变量的判断，解题核心是准确理解自变量的含义，结合题目给出的两个量的变化关系即可快速得出答案，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确自变量和因变量的概念：在一个变化过程中，主动发生变化、能引起其他量变化的量是自变量，随着自变量的变化而随之变化的量是因变量。接下来结合题干描述的变化关系判断：题目明确说明“燃料的体积会随飞船飞行高度的增加而减少”，也就是飞行高度是主动变化的，燃料体积是跟着飞行高度的变化而变化的，据此就能确定自变量。
【解析】
首先回忆变量相关定义：在一个变化过程中，主动变化、会导致其他量发生改变的量为自变量，随自变量变化而改变的量为因变量。
根据题干“燃料的体积会随飞船飞行高度的增加而减少”可知：飞船的飞行高度是主动变化的量，燃料的体积是随着飞行高度的变化而变化的量，因此自变量是飞船的飞行高度，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
自变量与因变量的判别
【点评】
本题考查自变量的判断，解题核心是准确理解自变量的含义，结合题目给出的两个量的变化关系即可快速得出答案，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
5.下面给出的两个变量$x,y$,其中$y$是$x$的函数的是 （
①$x$是正方形的边长，$y$是这个正方形的面积；
②$x$是矩形的一边长，$y$是这个矩形的周长；
③$x$是一个正数，$y$是这个正数的平方根；
④$x$是一个正数，$y$是这个正数的算术平方根.
A.①②③
B.①②④
C.②④
D.①④
D
）①$x$是正方形的边长，$y$是这个正方形的面积；
②$x$是矩形的一边长，$y$是这个矩形的周长；
③$x$是一个正数，$y$是这个正数的平方根；
④$x$是一个正数，$y$是这个正数的算术平方根.
A.①②③
B.①②④
C.②④
D.①④
答案
5.D
解析
【分析】
解题的核心依据是函数的定义：在一个变化过程中，若对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。我们只需逐个分析4个说法，判断是否满足“x确定时y唯一”的要求即可得出答案。
【解析】
根据函数的定义逐一判断：
① 正方形的面积$y=x^2$（$x＞0$），当边长$x$取任意确定的正值时，都有唯一的面积$y$与之对应，因此$y$是$x$的函数；
② 矩形的周长$=2×(x+邻边长)$，仅确定一边长$x$时，邻边长未给定，因此一个$x$的值可以对应多个周长$y$的值，$y$不唯一，因此$y$不是$x$的函数；
③ 正数的平方根有两个，且互为相反数，因此给定一个确定的正数$x$，$y$有两个不同的值与之对应，不满足唯一性，因此$y$不是$x$的函数；
④ 正数的算术平方根是唯一的非负平方根，因此给定一个确定的正数$x$，有唯一的$y$与之对应，因此$y$是$x$的函数。
综上，①④符合函数的定义，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
函数的定义；平方根与算术平方根
【点评】
本题考查对函数定义的理解，解题关键是抓住函数定义中“每个x对应唯一y”的核心要求，易错点是容易忽略矩形另一边长不确定的情况，以及混淆平方根和算术平方根的区别。
【难度系数】
0.6
解题的核心依据是函数的定义：在一个变化过程中，若对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。我们只需逐个分析4个说法，判断是否满足“x确定时y唯一”的要求即可得出答案。
【解析】
根据函数的定义逐一判断：
① 正方形的面积$y=x^2$（$x＞0$），当边长$x$取任意确定的正值时，都有唯一的面积$y$与之对应，因此$y$是$x$的函数；
② 矩形的周长$=2×(x+邻边长)$，仅确定一边长$x$时，邻边长未给定，因此一个$x$的值可以对应多个周长$y$的值，$y$不唯一，因此$y$不是$x$的函数；
③ 正数的平方根有两个，且互为相反数，因此给定一个确定的正数$x$，$y$有两个不同的值与之对应，不满足唯一性，因此$y$不是$x$的函数；
④ 正数的算术平方根是唯一的非负平方根，因此给定一个确定的正数$x$，有唯一的$y$与之对应，因此$y$是$x$的函数。
综上，①④符合函数的定义，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
函数的定义；平方根与算术平方根
【点评】
本题考查对函数定义的理解，解题关键是抓住函数定义中“每个x对应唯一y”的核心要求，易错点是容易忽略矩形另一边长不确定的情况，以及混淆平方根和算术平方根的区别。
【难度系数】
0.6
6.汽车离开甲站10 km后，以60 km/h的速度匀速前进了t h，则汽车离开甲站所走的路程s(km)与时间t(h)之间的函数解析式是 （
A.$s=10+60t$
B.$s=60t$
C.$s=60t-10$
D.$s=10-60t$
A
）A.$s=10+60t$
B.$s=60t$
C.$s=60t-10$
D.$s=10-60t$
答案
6.A
解析
【分析】
要得出路程s与时间t的函数解析式，首先明确总路程的组成：一部分是汽车初始已经离开甲站的10km，另一部分是后续匀速行驶t小时走过的路程。我们先根据行程问题的基本公式算出匀速行驶的路程，再将两部分路程相加，就能得到对应的函数关系，再匹配选项即可。
【解析】
根据“路程=速度×时间”，汽车以60km/h的速度匀速行驶t h的路程为：$60 × t = 60t$（km）。
已知汽车最开始已经离开甲站10km，因此离开甲站的总路程为初始路程加匀速行驶的路程，即：
$s = 10 + 60t$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数实际应用
2. 行程问题计算
【点评】
本题属于基础类应用题，解题核心是理清总路程的构成，不要遗漏初始已经行驶的10km，就能快速列出正确的函数解析式。
【难度系数】
0.9
要得出路程s与时间t的函数解析式，首先明确总路程的组成：一部分是汽车初始已经离开甲站的10km，另一部分是后续匀速行驶t小时走过的路程。我们先根据行程问题的基本公式算出匀速行驶的路程，再将两部分路程相加，就能得到对应的函数关系，再匹配选项即可。
【解析】
根据“路程=速度×时间”，汽车以60km/h的速度匀速行驶t h的路程为：$60 × t = 60t$（km）。
已知汽车最开始已经离开甲站10km，因此离开甲站的总路程为初始路程加匀速行驶的路程，即：
$s = 10 + 60t$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数实际应用
2. 行程问题计算
【点评】
本题属于基础类应用题，解题核心是理清总路程的构成，不要遗漏初始已经行驶的10km，就能快速列出正确的函数解析式。
【难度系数】
0.9
7.在函数$y=\sqrt{$
$}$中，自变量$x$的取值范围是
$}$中，自变量$x$的取值范围是$x＜1$
.答案
7.$x＜1$
解析
【分析】
要确定该函数自变量的取值范围，需同时考虑二次根式和分式有意义的条件：首先二次根式的被开方数必须是非负数，其次分式的分母不能为0。我们先列出两个限制条件，再结合分子为正数的特点推导分母的取值范围，最后解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\sqrt{\frac{1}{1-x}}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$\frac{1}{1-x}≥0$；
2. 分式的分母不为0：$1-x≠0$。
因为分子$1＞0$，要使分式的值为正，分母必须为正数，因此可得$1-x＞0$，
解该不等式：移项得$-x＞-1$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$x＜1$。
【答案】
$x＜1$
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是函数自变量取值范围的基础常考题，需要结合代数式的类型综合判断限制条件，易错点是容易忽略分母不为0的要求，误写成$x≤1$，解不等式时也要注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.7
要确定该函数自变量的取值范围，需同时考虑二次根式和分式有意义的条件：首先二次根式的被开方数必须是非负数，其次分式的分母不能为0。我们先列出两个限制条件，再结合分子为正数的特点推导分母的取值范围，最后解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\sqrt{\frac{1}{1-x}}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$\frac{1}{1-x}≥0$；
2. 分式的分母不为0：$1-x≠0$。
因为分子$1＞0$，要使分式的值为正，分母必须为正数，因此可得$1-x＞0$，
解该不等式：移项得$-x＞-1$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$x＜1$。
【答案】
$x＜1$
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是函数自变量取值范围的基础常考题，需要结合代数式的类型综合判断限制条件，易错点是容易忽略分母不为0的要求，误写成$x≤1$，解不等式时也要注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.7
8.如图,有一个球形容器,小厉在往容器里注水的过程中发现,水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量.下列说法：
①S是V的函数；
②V是S的函数；
③h是V的函数；
④V是h的函数.
其中正确的是
①S是V的函数；
②V是S的函数；
③h是V的函数；
④V是h的函数.
其中正确的是
①③④
.(填序号)答案
8.①③④
解析
【分析】
要判断各说法是否正确，首先明确函数的定义：在一个变化过程中，若存在两个变量x、y，当x取一个确定的值时，y有且只有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数。接下来结合球形容器的特点，逐个分析变量的对应关系：
1. 分析S和V的关系：注水量V确定时，水面高度h唯一确定，对应水面的面积S也唯一确定，可判断S是否为V的函数；
2. 分析V和S的关系：水面面积S确定时，由于球对称的特点，对应水面高度有两种可能（下半部分和上半部分各有一个高度对应相同的水面面积），因此注水量V会有两个不同的值，可判断V是否为S的函数；
3. 分析h和V的关系：注水量V确定时，容器内水面的高度h是唯一固定的，可判断h是否为V的函数；
4. 分析V和h的关系：水面高度h确定时，h以下的水的体积是唯一固定的，可判断V是否为h的函数。
【解析】
根据函数的定义，逐一判断：
①当注水量V取一个确定值时，水面高度h唯一确定，对应水面的面积S也唯一确定，因此S是V的函数，①正确；
②当水面面积S取一个确定值时，球形容器的上下部分会有两个不同的高度对应同一个S，此时注水量V有两个不同的值，不满足“唯一对应”的要求，因此V不是S的函数，②错误；
③当注水量V取一个确定值时，容器内水面的高度h是唯一确定的，因此h是V的函数，③正确；
④当水面高度h取一个确定值时，h下方的水的体积V是唯一确定的，因此V是h的函数，④正确。
综上，正确的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
函数的概念
【点评】
本题重点考查函数的判断，解题的关键是紧扣函数定义中“一个自变量对应唯一确定的因变量”的核心特征，结合容器的结构特征分析变量间的对应关系，易错点是易忽略球形容器同一水面面积对应两个不同高度的情况，误判②正确。
【难度系数】
0.7
要判断各说法是否正确，首先明确函数的定义：在一个变化过程中，若存在两个变量x、y，当x取一个确定的值时，y有且只有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数。接下来结合球形容器的特点，逐个分析变量的对应关系：
1. 分析S和V的关系：注水量V确定时，水面高度h唯一确定，对应水面的面积S也唯一确定，可判断S是否为V的函数；
2. 分析V和S的关系：水面面积S确定时，由于球对称的特点，对应水面高度有两种可能（下半部分和上半部分各有一个高度对应相同的水面面积），因此注水量V会有两个不同的值，可判断V是否为S的函数；
3. 分析h和V的关系：注水量V确定时，容器内水面的高度h是唯一固定的，可判断h是否为V的函数；
4. 分析V和h的关系：水面高度h确定时，h以下的水的体积是唯一固定的，可判断V是否为h的函数。
【解析】
根据函数的定义，逐一判断：
①当注水量V取一个确定值时，水面高度h唯一确定，对应水面的面积S也唯一确定，因此S是V的函数，①正确；
②当水面面积S取一个确定值时，球形容器的上下部分会有两个不同的高度对应同一个S，此时注水量V有两个不同的值，不满足“唯一对应”的要求，因此V不是S的函数，②错误；
③当注水量V取一个确定值时，容器内水面的高度h是唯一确定的，因此h是V的函数，③正确；
④当水面高度h取一个确定值时，h下方的水的体积V是唯一确定的，因此V是h的函数，④正确。
综上，正确的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
函数的概念
【点评】
本题重点考查函数的判断，解题的关键是紧扣函数定义中“一个自变量对应唯一确定的因变量”的核心特征，结合容器的结构特征分析变量间的对应关系，易错点是易忽略球形容器同一水面面积对应两个不同高度的情况，误判②正确。
【难度系数】
0.7
