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作业(十一) 函数的概念及表示
一、选择题
一、选择题
答案
解：
1. 根据函数定义：在一个变化过程中，若有两个变量x和y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。
选项A、B、C均满足上述定义，选项D中当x取正数时，y有两个不同的值与之对应，不满足函数定义。
答案：D
2. 二次根式的被开方数不能为负数，因此$x-2\ge0$，解得$x\ge2$。
答案：B
3. 将$x=1$代入函数解析式$y=2x+3$，得$y=2×1+3=5$。
答案：C
4. 由等腰三角形周长公式得$2x+y=30$，整理得$y=30-2x$；
结合三角形三边关系：两腰之和大于底边，得$2x＞y=30-2x$，解得$x＞7.5$；
由底边长为正，得$y=30-2x＞0$，解得$x＜15$。
因此自变量取值范围是$7.5＜x＜15$。
答案：B
1. 根据函数定义：在一个变化过程中，若有两个变量x和y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。
选项A、B、C均满足上述定义，选项D中当x取正数时，y有两个不同的值与之对应，不满足函数定义。
答案：D
2. 二次根式的被开方数不能为负数，因此$x-2\ge0$，解得$x\ge2$。
答案：B
3. 将$x=1$代入函数解析式$y=2x+3$，得$y=2×1+3=5$。
答案：C
4. 由等腰三角形周长公式得$2x+y=30$，整理得$y=30-2x$；
结合三角形三边关系：两腰之和大于底边，得$2x＞y=30-2x$，解得$x＞7.5$；
由底边长为正，得$y=30-2x＞0$，解得$x＜15$。
因此自变量取值范围是$7.5＜x＜15$。
答案：B
解析
【分析】
本次4道选择题均围绕函数的基础核心考点设置，解题思路可按考点逐一梳理：1.判断是否为函数，核心紧扣函数定义中“x的每一个取值对应唯一确定的y值”这一关键点，逐一排查选项是否存在一个x对应多个y的情况即可；2.求含二次根式的函数自变量取值范围，只需依据二次根式有意义的条件列不等式求解；3.求给定自变量的函数值，直接将自变量取值代入解析式计算即可；4.结合等腰三角形的实际问题求自变量范围，既要先根据周长公式推导函数解析式，还要同时满足“三角形三边关系”“边长为正”两个实际约束条件，不能仅考虑代数意义。
【解析】
1. 根据函数定义：在一个变化过程中，若有两个变量x和y，对于x的每一个确定取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。选项A、B、C均满足上述定义；选项D中当x取正数时，y有两个不同的值与之对应，不满足函数定义，因此选D。
2. 二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，因此可得不等式$x-2\ge0$，解得$x\ge2$，因此选B。
3. 求$x=1$对应的函数值，将$x=1$代入函数解析式$y=2x+3$，计算得$y=2×1+3=5$，因此选C。
4. 第一步，根据等腰三角形周长公式推导解析式：$2x+y=30$，整理得$y=30-2x$；第二步，结合实际约束条件列不等式：①根据三角形三边关系，两腰之和大于底边，即$2x＞y$，代入$y=30-2x$得$2x＞30-2x$，解得$x＞7.5$；②根据底边长为正，得$y=30-2x＞0$，解得$x＜15$；综上，自变量x的取值范围是$7.5＜x＜15$，因此选B。
【答案】
1.D 2.B 3.C 4.B
【知识点】
1.函数的定义 2.函数自变量取值范围 3.函数值的计算
【点评】
本套习题是函数入门的基础题型，侧重考查对函数核心概念的理解，以及结合代数、几何性质解决基础函数问题的能力，是后续学习函数图像、性质的必备基础。
【难度系数】
0.75
本次4道选择题均围绕函数的基础核心考点设置，解题思路可按考点逐一梳理：1.判断是否为函数，核心紧扣函数定义中“x的每一个取值对应唯一确定的y值”这一关键点，逐一排查选项是否存在一个x对应多个y的情况即可；2.求含二次根式的函数自变量取值范围，只需依据二次根式有意义的条件列不等式求解；3.求给定自变量的函数值，直接将自变量取值代入解析式计算即可；4.结合等腰三角形的实际问题求自变量范围，既要先根据周长公式推导函数解析式，还要同时满足“三角形三边关系”“边长为正”两个实际约束条件，不能仅考虑代数意义。
【解析】
1. 根据函数定义：在一个变化过程中，若有两个变量x和y，对于x的每一个确定取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。选项A、B、C均满足上述定义；选项D中当x取正数时，y有两个不同的值与之对应，不满足函数定义，因此选D。
2. 二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，因此可得不等式$x-2\ge0$，解得$x\ge2$，因此选B。
3. 求$x=1$对应的函数值，将$x=1$代入函数解析式$y=2x+3$，计算得$y=2×1+3=5$，因此选C。
4. 第一步，根据等腰三角形周长公式推导解析式：$2x+y=30$，整理得$y=30-2x$；第二步，结合实际约束条件列不等式：①根据三角形三边关系，两腰之和大于底边，即$2x＞y$，代入$y=30-2x$得$2x＞30-2x$，解得$x＞7.5$；②根据底边长为正，得$y=30-2x＞0$，解得$x＜15$；综上，自变量x的取值范围是$7.5＜x＜15$，因此选B。
【答案】
1.D 2.B 3.C 4.B
【知识点】
1.函数的定义 2.函数自变量取值范围 3.函数值的计算
【点评】
本套习题是函数入门的基础题型，侧重考查对函数核心概念的理解，以及结合代数、几何性质解决基础函数问题的能力，是后续学习函数图像、性质的必备基础。
【难度系数】
0.75
1.函数$y=\dfrac{x+1}{x-2}$中,自变量$x$的取值范围是 （
A.$x≥1$
B.$x≥2$
C.$x＞2$
D.$x≠2$
D
）A.$x≥1$
B.$x≥2$
C.$x＞2$
D.$x≠2$
答案
1.D
解析
【分析】
本题求解分式型函数的自变量取值范围，解题思路如下：首先明确函数表达式的类型是分式，根据分式有意义的核心要求：分母不能为0，据此列出关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围，再匹配对应选项。
【解析】
要使函数$y=\dfrac{x+1}{x-2}$有意义，需保证分式的分母不为0，
即：$x-2≠ 0$，
解得：$x≠ 2$，
因此自变量x的取值范围是$x≠ 2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.函数自变量取值范围
2.分式有意义的条件
【点评】
本题是基础常考题，核心考查分式型函数自变量取值范围的求解方法，只要牢记分式有意义时分母不为0的规则，就能快速得出答案，失分点多为粗心漏看分母的限制条件。
【难度系数】
0.9
本题求解分式型函数的自变量取值范围，解题思路如下：首先明确函数表达式的类型是分式，根据分式有意义的核心要求：分母不能为0，据此列出关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围，再匹配对应选项。
【解析】
要使函数$y=\dfrac{x+1}{x-2}$有意义，需保证分式的分母不为0，
即：$x-2≠ 0$，
解得：$x≠ 2$，
因此自变量x的取值范围是$x≠ 2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.函数自变量取值范围
2.分式有意义的条件
【点评】
本题是基础常考题，核心考查分式型函数自变量取值范围的求解方法，只要牢记分式有意义时分母不为0的规则，就能快速得出答案，失分点多为粗心漏看分母的限制条件。
【难度系数】
0.9
2.已知函数$y=\dfrac{2x-1}{x+2}$中,当$x=a$时的函数值为$1$,则$a$的值是 （
A.$-1$
B.$1$
C.$-3$
D.$3$
D
）A.$-1$
B.$1$
C.$-3$
D.$3$
答案
2.D
解析
【分析】
本题已知函数解析式和x=a时对应的函数值，解题思路是根据函数值的定义，将x=a、y=1代入函数解析式，得到关于a的分式方程，再解方程求出a的值，最后检验所得的a是否让分母不为0，保证分式有意义。
【解析】
根据函数值的定义，把x=a，y=1代入函数$y=\dfrac{2x-1}{x+2}$，可得：
$\dfrac{2a-1}{a+2}=1$
首先明确分式有意义的条件：$a+2≠0$，即$a≠-2$。
方程两边同时乘$(a+2)$去分母得：
$2a - 1 = a + 2$
移项得：$2a - a = 2 + 1$
合并同类项得：$a=3$
检验：当$a=3$时，$a+2=3+2=5≠0$，所以$a=3$是原方程的解。
【答案】
D
【知识点】
函数值的概念；解分式方程；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础考查题，解题核心是利用函数值的定义建立方程，求解后注意检验分式分母不为0，排除增根即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9
本题已知函数解析式和x=a时对应的函数值，解题思路是根据函数值的定义，将x=a、y=1代入函数解析式，得到关于a的分式方程，再解方程求出a的值，最后检验所得的a是否让分母不为0，保证分式有意义。
【解析】
根据函数值的定义，把x=a，y=1代入函数$y=\dfrac{2x-1}{x+2}$，可得：
$\dfrac{2a-1}{a+2}=1$
首先明确分式有意义的条件：$a+2≠0$，即$a≠-2$。
方程两边同时乘$(a+2)$去分母得：
$2a - 1 = a + 2$
移项得：$2a - a = 2 + 1$
合并同类项得：$a=3$
检验：当$a=3$时，$a+2=3+2=5≠0$，所以$a=3$是原方程的解。
【答案】
D
【知识点】
函数值的概念；解分式方程；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础考查题，解题核心是利用函数值的定义建立方程，求解后注意检验分式分母不为0，排除增根即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9
3.已知A,B两地相距3 km,小黄从A地到B地,平均速度为4 km/h,若用x表示行走的时间(单位:h),y表示余下的路程(单位:km),则y关于x的函数解析式是 (
A.$y=4x(x≥0)$
B.$y=4x-3(x≥\frac{3}{4})$
C.$y=3-4x(x≥0)$
D.$y=3-4x(0≤x≤\frac{3}{4})$
D
)A.$y=4x(x≥0)$
B.$y=4x-3(x≥\frac{3}{4})$
C.$y=3-4x(x≥0)$
D.$y=3-4x(0≤x≤\frac{3}{4})$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先明确数量关系：余下的路程=总路程-已行走的路程。第一步，根据行程问题“路程=速度×时间”的公式，用x表示出已行走的路程；第二步，代入数量关系得到y和x的初步关系式；第三步，结合实际意义确定自变量x的取值范围：时间不能为负数，且余下的路程不能为负数，据此求出x的取值区间，即可得到完整的函数解析式，对应选项选出答案。
【解析】
首先，小黄行走x小时的已走路程为：速度×时间=4x（km）。
余下的路程y等于总路程减去已走路程，因此可得：
y = 3 - 4x
接下来确定x的取值范围：
1. 行走时间不能为负数，因此x≥0；
2. 余下的路程不能为负数，即y≥0，代入得3 - 4x ≥ 0，解得x ≤ 3/4。
综上，x的取值范围是0≤x≤3/4，因此y关于x的函数解析式为y=3-4x(0≤x≤3/4)。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数解析式求解；自变量取值范围确定；行程问题公式
【点评】
本题结合实际行程场景考查函数解析式的确定，易错点是容易忽略实际意义对自变量取值范围的限制，误选C选项，解题时要注意结合实际场景判断变量的合理取值区间。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确数量关系：余下的路程=总路程-已行走的路程。第一步，根据行程问题“路程=速度×时间”的公式，用x表示出已行走的路程；第二步，代入数量关系得到y和x的初步关系式；第三步，结合实际意义确定自变量x的取值范围：时间不能为负数，且余下的路程不能为负数，据此求出x的取值区间，即可得到完整的函数解析式，对应选项选出答案。
【解析】
首先，小黄行走x小时的已走路程为：速度×时间=4x（km）。
余下的路程y等于总路程减去已走路程，因此可得：
y = 3 - 4x
接下来确定x的取值范围：
1. 行走时间不能为负数，因此x≥0；
2. 余下的路程不能为负数，即y≥0，代入得3 - 4x ≥ 0，解得x ≤ 3/4。
综上，x的取值范围是0≤x≤3/4，因此y关于x的函数解析式为y=3-4x(0≤x≤3/4)。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数解析式求解；自变量取值范围确定；行程问题公式
【点评】
本题结合实际行程场景考查函数解析式的确定，易错点是容易忽略实际意义对自变量取值范围的限制，误选C选项，解题时要注意结合实际场景判断变量的合理取值区间。
【难度系数】
0.8
4.弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度$y$(单位:cm)与所挂的物体的质量$x$(单位:kg)间有下面的关系,则下列说法不正确的是 (
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x/\mathrm{kg} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
y/\mathrm{cm} & 10 & 10.5 & \mathrm{图1}11 & 11.5 & 12 & 12.5 \\
\hline
\end{array}
A.$x$与$y$都是变量,且$x$是自变量,$y$是$x$的函数
B.所挂物体质量为$4\ \mathrm{kg}$时,弹簧长度为$12\ \mathrm{cm}$
C.弹簧不挂重物时的长度为$0\ \mathrm{cm}$
D.物体质量每增加$1\ \mathrm{kg}$,弹簧长度$y$增加$0.5\ \mathrm{cm}$
C
)\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x/\mathrm{kg} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
y/\mathrm{cm} & 10 & 10.5 & \mathrm{图1}11 & 11.5 & 12 & 12.5 \\
\hline
\end{array}
A.$x$与$y$都是变量,且$x$是自变量,$y$是$x$的函数
B.所挂物体质量为$4\ \mathrm{kg}$时,弹簧长度为$12\ \mathrm{cm}$
C.弹簧不挂重物时的长度为$0\ \mathrm{cm}$
D.物体质量每增加$1\ \mathrm{kg}$,弹簧长度$y$增加$0.5\ \mathrm{cm}$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先结合表格给出的所挂物体质量x和弹簧长度y的对应关系，再结合函数相关概念对四个选项逐一验证：首先依据自变量、函数的定义判断A选项；其次直接查表验证B选项；再查找x=0时对应的y值判断弹簧原长，验证C选项；最后计算相邻x值差1时y的变化量，验证D选项，最终选出说法不正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 所挂物体质量x变化时，弹簧长度y会随之变化，二者都是变量，其中x是主动变化的自变量，且每个x的取值都对应唯一的y值，因此y是x的函数，该选项说法正确。
B. 从表格中可直接查得，当所挂物体质量x=4kg时，对应的弹簧长度y=12cm，该选项说法正确。
C. 弹簧不挂重物时，所挂物体质量x=0kg，对应表格中y=10cm，即弹簧原长为10cm，不是0cm，该选项说法错误。
D. 观察表格数据：x每增加1kg，y的变化量为10.5-10=0.5cm、11-10.5=0.5cm、11.5-11=0.5cm……，即物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，该选项说法正确。
题目要求选说法不正确的，故选C。
【答案】
C
【知识点】
函数的概念，变量与常量，表格法表示函数
【点评】
本题是结合生活场景的函数基础题，解题核心是准确提取表格中的对应信息，结合函数基础概念判断即可，注意看清题干要求选择“不正确”的选项，避免因粗心丢分。
【难度系数】
0.85
解题时先结合表格给出的所挂物体质量x和弹簧长度y的对应关系，再结合函数相关概念对四个选项逐一验证：首先依据自变量、函数的定义判断A选项；其次直接查表验证B选项；再查找x=0时对应的y值判断弹簧原长，验证C选项；最后计算相邻x值差1时y的变化量，验证D选项，最终选出说法不正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 所挂物体质量x变化时，弹簧长度y会随之变化，二者都是变量，其中x是主动变化的自变量，且每个x的取值都对应唯一的y值，因此y是x的函数，该选项说法正确。
B. 从表格中可直接查得，当所挂物体质量x=4kg时，对应的弹簧长度y=12cm，该选项说法正确。
C. 弹簧不挂重物时，所挂物体质量x=0kg，对应表格中y=10cm，即弹簧原长为10cm，不是0cm，该选项说法错误。
D. 观察表格数据：x每增加1kg，y的变化量为10.5-10=0.5cm、11-10.5=0.5cm、11.5-11=0.5cm……，即物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，该选项说法正确。
题目要求选说法不正确的，故选C。
【答案】
C
【知识点】
函数的概念，变量与常量，表格法表示函数
【点评】
本题是结合生活场景的函数基础题，解题核心是准确提取表格中的对应信息，结合函数基础概念判断即可，注意看清题干要求选择“不正确”的选项，避免因粗心丢分。
【难度系数】
0.85
5.汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数$μ$与车速$v$(单位:km/h)之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是 （
A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B.当$0≤ v≤ 60$时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/h
D.若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
C
）A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B.当$0≤ v≤ 60$时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/h
D.若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
答案
5.C
解析
【分析】
本题是函数图像信息题，解题时先明确横纵坐标的含义：横坐标表示车速v，纵坐标表示轮胎摩擦系数μ，再结合图像的特殊点、变化趋势逐一分析每个选项的正误，最终选出错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：汽车静止时车速v=0，由图像可知，v=0时μ=0.9，即摩擦系数为0.9，该选项说法正确，不符合题意；
B选项：观察0≤v≤60区间的图像，走势是下降的，说明摩擦系数随车速的增大而减小，该选项说法正确，不符合题意；
C选项：摩擦系数不低于0.71即μ≥0.71，由图像可知，当v≤60km/h时μ≥0.71，v≥60km/h时μ=0.71，即所有车速下摩擦系数都不低于0.71，并不是只有车速不低于60km/h才满足，该选项说法错误，符合题意；
D选项：车速25km/h时μ=0.75，车速60km/h时μ=0.71，摩擦系数减小了0.75-0.71=0.04，该选项说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
函数的图象识别、函数的增减性
【点评】
本题考查从函数图像中提取有效信息的能力，解题的关键是读懂横纵坐标代表的意义，结合图像的变化趋势和特殊点的数值对选项逐一验证，是基础的函数应用类题型。
【难度系数】
0.8
本题是函数图像信息题，解题时先明确横纵坐标的含义：横坐标表示车速v，纵坐标表示轮胎摩擦系数μ，再结合图像的特殊点、变化趋势逐一分析每个选项的正误，最终选出错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：汽车静止时车速v=0，由图像可知，v=0时μ=0.9，即摩擦系数为0.9，该选项说法正确，不符合题意；
B选项：观察0≤v≤60区间的图像，走势是下降的，说明摩擦系数随车速的增大而减小，该选项说法正确，不符合题意；
C选项：摩擦系数不低于0.71即μ≥0.71，由图像可知，当v≤60km/h时μ≥0.71，v≥60km/h时μ=0.71，即所有车速下摩擦系数都不低于0.71，并不是只有车速不低于60km/h才满足，该选项说法错误，符合题意；
D选项：车速25km/h时μ=0.75，车速60km/h时μ=0.71，摩擦系数减小了0.75-0.71=0.04，该选项说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
函数的图象识别、函数的增减性
【点评】
本题考查从函数图像中提取有效信息的能力，解题的关键是读懂横纵坐标代表的意义，结合图像的变化趋势和特殊点的数值对选项逐一验证，是基础的函数应用类题型。
【难度系数】
0.8
6.已知函数 $ y=\begin{cases}2x+1(x≥0),\\4x(x＜0),\end{cases} $ 当 $ x=2 $ 时，函数值 $ y $ 为 ______.
答案
6.5
解析
【分析】本题考查分段函数的求值问题，解题思路如下：首先要明确分段函数的不同解析式对应的自变量取值范围，第一步判断所给x的值属于哪个取值区间，第二步选取该区间对应的函数解析式，第三步将x的值代入解析式计算即可得到对应的函数值。本题中x=2，首先判断得2≥0，因此选择x≥0对应的解析式计算即可。
【解析】首先判断x=2的取值范围：
∵ 2≥0，
∴ 代入x≥0对应的函数解析式$y=2x+1$计算，
将x=2代入得：$y=2×2+1=5$。
【答案】5
【知识点】分段函数求值、代数式求值
【点评】本题是分段函数应用的基础题，解题关键是先根据自变量的取值匹配对应的函数解析式，再代入计算，需要注意不要选错对应分段的解析式。
【难度系数】0.9
【解析】首先判断x=2的取值范围：
∵ 2≥0，
∴ 代入x≥0对应的函数解析式$y=2x+1$计算，
将x=2代入得：$y=2×2+1=5$。
【答案】5
【知识点】分段函数求值、代数式求值
【点评】本题是分段函数应用的基础题，解题关键是先根据自变量的取值匹配对应的函数解析式，再代入计算，需要注意不要选错对应分段的解析式。
【难度系数】0.9
