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7.如图,正方形ABCD的边长为5,点E是AB上一点,点F是AD延长线上一点,且BE=DF.四边形AEGF是矩形,则矩形AEGF的面积y与BE的长x的函数解析式为
$y=25-x^2$
.答案
7.$y=25-x^2$
解析
【分析】
解题时首先要明确矩形AEGF的两条邻边的长度表达式：已知正方形ABCD边长为5，BE的长为x，因此邻边AE的长度为AB减去BE，即5-x；又因为BE=DF，所以DF=x，另一条邻边AF的长度为AD加上DF，即5+x。再根据矩形面积等于邻边长度的乘积，代入表达式后用平方差公式化简，即可得到y与x的函数解析式。
【解析】
解：设BE的长为x，则$DF=BE=x$。
∵ 正方形ABCD的边长为5，
∴ $AE=AB-BE=5-x$，$AF=AD+DF=5+x$。
∵ 四边形AEGF是矩形，
∴ 矩形面积$y=AE · AF$，
代入得：$y=(5-x)(5+x)=25-x^2$，其中x的取值范围为$0≤ x＜5$。
【答案】
$y=25-x^2$
【知识点】
正方形的性质、矩形面积计算、平方差公式
【点评】
本题结合几何图形性质考查函数关系式的建立，解题核心是用含x的代数式正确表示出矩形的两条邻边长度，再结合面积公式推导关系式，属于基础的几何与代数结合类题型，侧重对基础知识的综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确矩形AEGF的两条邻边的长度表达式：已知正方形ABCD边长为5，BE的长为x，因此邻边AE的长度为AB减去BE，即5-x；又因为BE=DF，所以DF=x，另一条邻边AF的长度为AD加上DF，即5+x。再根据矩形面积等于邻边长度的乘积，代入表达式后用平方差公式化简，即可得到y与x的函数解析式。
【解析】
解：设BE的长为x，则$DF=BE=x$。
∵ 正方形ABCD的边长为5，
∴ $AE=AB-BE=5-x$，$AF=AD+DF=5+x$。
∵ 四边形AEGF是矩形，
∴ 矩形面积$y=AE · AF$，
代入得：$y=(5-x)(5+x)=25-x^2$，其中x的取值范围为$0≤ x＜5$。
【答案】
$y=25-x^2$
【知识点】
正方形的性质、矩形面积计算、平方差公式
【点评】
本题结合几何图形性质考查函数关系式的建立，解题核心是用含x的代数式正确表示出矩形的两条邻边长度，再结合面积公式推导关系式，属于基础的几何与代数结合类题型，侧重对基础知识的综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
8.一个有进水管和出水管的容器,从某时刻开始4 min内只进水不出水,在随后的8 min内既进水又出水,每分钟的进水量和出水量是两个常数,容器内的水量$y$(单位:L)与时间$x$(单位:min)之间的关系如图所示,则每分钟的出水量为
3.75 L
.答案
8.3.75 L
解析
【分析】
解题时先分阶段分析图像信息：第一阶段是0~4min，只进水不出水，可根据该阶段总进水量算出每分钟的进水量；第二阶段是4~12min，既进水又出水，先算出该阶段容器内水量的净增加量，再结合总时长算出该阶段每分钟的净进水量，最后根据“净进水量=每分钟进水量-每分钟出水量”的数量关系，即可求出每分钟的出水量。
【解析】
1. 计算每分钟进水量：
由图像可知，0~4min容器只进水，共进水20L，
因此每分钟进水量为：$20÷4=5\ \mathrm{L/min}$
2. 计算4~12min的每分钟净进水量：
4~12min的总时长为$12-4=8\ \mathrm{min}$，该阶段容器内水量从20L增加到30L，总净增加水量为$30-20=10\ \mathrm{L}$，
因此该阶段每分钟净进水量为：$10÷8=1.25\ \mathrm{L/min}$
3. 计算每分钟出水量：
同时打开进出水管时，每分钟净进水量=每分钟进水量-每分钟出水量，
因此每分钟出水量为：$5-1.25=3.75\ \mathrm{L}$
【答案】
3.75 L
【知识点】
函数图像应用，数量关系计算
【点评】
本题重点考查从函数图像中提取有效信息的能力，需要学生分阶段梳理水量变化规律，结合基础数量关系求解，解题关键是明确不同时间段的进出水状态。
【难度系数】
0.7
解题时先分阶段分析图像信息：第一阶段是0~4min，只进水不出水，可根据该阶段总进水量算出每分钟的进水量；第二阶段是4~12min，既进水又出水，先算出该阶段容器内水量的净增加量，再结合总时长算出该阶段每分钟的净进水量，最后根据“净进水量=每分钟进水量-每分钟出水量”的数量关系，即可求出每分钟的出水量。
【解析】
1. 计算每分钟进水量：
由图像可知，0~4min容器只进水，共进水20L，
因此每分钟进水量为：$20÷4=5\ \mathrm{L/min}$
2. 计算4~12min的每分钟净进水量：
4~12min的总时长为$12-4=8\ \mathrm{min}$，该阶段容器内水量从20L增加到30L，总净增加水量为$30-20=10\ \mathrm{L}$，
因此该阶段每分钟净进水量为：$10÷8=1.25\ \mathrm{L/min}$
3. 计算每分钟出水量：
同时打开进出水管时，每分钟净进水量=每分钟进水量-每分钟出水量，
因此每分钟出水量为：$5-1.25=3.75\ \mathrm{L}$
【答案】
3.75 L
【知识点】
函数图像应用，数量关系计算
【点评】
本题重点考查从函数图像中提取有效信息的能力，需要学生分阶段梳理水量变化规律，结合基础数量关系求解，解题关键是明确不同时间段的进出水状态。
【难度系数】
0.7
9.如图,已知等腰直角三角形 ABC 的直角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 10 cm,CA 与MN 在同一条直线上,点 A 从点 M 开始向右移动,设点 A 的移动距离为 $ x \ \mathrm{cm}(0 ≤ x ≤ 20) $,重叠部分的面积为 $ S $ (单位:$ \mathrm{cm}^2 $).
(1)当点 A 向右移动 4 cm 时,重叠部分的面积 $ S = \_\_\_\_\_\_ \ \mathrm{cm}^2 $;
(2)当 $ 10 \ \mathrm{cm} ＜ x ≤ 20 \ \mathrm{cm} $ 时,则 $ S $ 与 $ x $ 的函数解析式为 ______.
(1)当点 A 向右移动 4 cm 时,重叠部分的面积 $ S = \_\_\_\_\_\_ \ \mathrm{cm}^2 $;
(2)当 $ 10 \ \mathrm{cm} ＜ x ≤ 20 \ \mathrm{cm} $ 时,则 $ S $ 与 $ x $ 的函数解析式为 ______.
答案
9.(1)8 (2)$S=-\dfrac{1}{2}x^2+10x$
解析
【分析】
解题前先明确已知条件：等腰直角△ABC的直角边长为10cm，正方形MNPQ边长也为10cm，初始状态点A与点M重合，点A向右移动的距离为x，重叠部分面积为S。
(1) 当x=4cm时，点A在MN线段上（MN长10cm），因为△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=45°，所以重叠部分为直角边长等于x的等腰直角三角形，直接用三角形面积公式计算即可。
(2) 当10＜x≤20时，点A移动到N点右侧，超出MN的长度为(x-10)cm，此时重叠部分的面积等于等腰直角△ABC的总面积减去正方形外露出的小等腰直角三角形的面积，小等腰直角三角形的直角边长为(x-10)cm，代入化简即可得到函数解析式。
【解析】
(1) 当点A向右移动4cm时，重叠部分是直角边长为4cm的等腰直角三角形，
根据三角形面积公式可得：
$S=\dfrac{1}{2}×4×4=8\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 当$10\ \mathrm{cm} ＜ x ≤ 20\ \mathrm{cm}$时，
首先计算等腰直角△ABC的总面积：$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×10×10=50\ \mathrm{cm}^2$，
此时A点在N点右侧，露出正方形的小三角形为等腰直角三角形，直角边长为$(x-10)\ \mathrm{cm}$，小三角形面积为$S_{\mathrm{小}}=\dfrac{1}{2}(x-10)^2$，
因此重叠部分面积：
$S=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{小}}=50-\dfrac{1}{2}(x-10)^2$
展开化简得：
$S=50-\dfrac{1}{2}(x^2-20x+100)=-\dfrac{1}{2}x^2+10x$。
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) $\boxed{S=-\dfrac{1}{2}x^2+10x}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，动点问题的函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是动点与几何图形结合的典型问题，解题核心是根据动点的位置判断重叠部分的形状，结合图形特征分情况计算对应面积，需要准确把握不同自变量取值范围对应的图形变化规律。
【难度系数】
0.65
解题前先明确已知条件：等腰直角△ABC的直角边长为10cm，正方形MNPQ边长也为10cm，初始状态点A与点M重合，点A向右移动的距离为x，重叠部分面积为S。
(1) 当x=4cm时，点A在MN线段上（MN长10cm），因为△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=45°，所以重叠部分为直角边长等于x的等腰直角三角形，直接用三角形面积公式计算即可。
(2) 当10＜x≤20时，点A移动到N点右侧，超出MN的长度为(x-10)cm，此时重叠部分的面积等于等腰直角△ABC的总面积减去正方形外露出的小等腰直角三角形的面积，小等腰直角三角形的直角边长为(x-10)cm，代入化简即可得到函数解析式。
【解析】
(1) 当点A向右移动4cm时，重叠部分是直角边长为4cm的等腰直角三角形，
根据三角形面积公式可得：
$S=\dfrac{1}{2}×4×4=8\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 当$10\ \mathrm{cm} ＜ x ≤ 20\ \mathrm{cm}$时，
首先计算等腰直角△ABC的总面积：$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×10×10=50\ \mathrm{cm}^2$，
此时A点在N点右侧，露出正方形的小三角形为等腰直角三角形，直角边长为$(x-10)\ \mathrm{cm}$，小三角形面积为$S_{\mathrm{小}}=\dfrac{1}{2}(x-10)^2$，
因此重叠部分面积：
$S=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{小}}=50-\dfrac{1}{2}(x-10)^2$
展开化简得：
$S=50-\dfrac{1}{2}(x^2-20x+100)=-\dfrac{1}{2}x^2+10x$。
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) $\boxed{S=-\dfrac{1}{2}x^2+10x}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，动点问题的函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是动点与几何图形结合的典型问题，解题核心是根据动点的位置判断重叠部分的形状，结合图形特征分情况计算对应面积，需要准确把握不同自变量取值范围对应的图形变化规律。
【难度系数】
0.65
三、解答题
10.写出下列各问题中的解析式中的常量与变量：
（1）分针旋转一周内，旋转的角度$ n $（单位：度）与旋转所需要的时间$ t $（单位：min）之间的解析式$ n = 6t $；
（2）一辆汽车以$ 40\ \mathrm{km/h} $的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程$ s $（单位：km）与行驶时间$ t $（单位：h）之间的解析式$ s = 40t $。
10.写出下列各问题中的解析式中的常量与变量：
（1）分针旋转一周内，旋转的角度$ n $（单位：度）与旋转所需要的时间$ t $（单位：min）之间的解析式$ n = 6t $；
（2）一辆汽车以$ 40\ \mathrm{km/h} $的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程$ s $（单位：km）与行驶时间$ t $（单位：h）之间的解析式$ s = 40t $。
答案
10.(1)常量:6 变量:$n,t$ (2)常量:40 变量:$s,t$
解析
【分析】
解题前首先要明确常量和变量的定义：在一个变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量，数值会随过程发生变化的量叫做变量。解题时我们只需要分别分析每个解析式中各个量的数值是否固定，就能判断出常量和变量：
（1）分针旋转一周的过程中，每分钟旋转的角度是固定的6度，所以6是固定不变的量，旋转角度n会随时间t的变化而变化，因此n、t是变化的量；
（2）汽车匀速行驶时速度保持40km/h不变，所以40是固定不变的量，行驶路程s会随行驶时间t的变化而变化，因此s、t是变化的量。
【解析】
首先明确：在一个变化过程中，数值固定不变的量为常量，数值发生变化的量为变量。
（1）在解析式$n=6t$中，6是分针每分钟旋转的角度，数值固定不变，为常量；旋转角度$n$随旋转时间$t$的改变而改变，因此$n$、$t$为变量。
（2）在解析式$s=40t$中，40是汽车匀速行驶的速度，数值固定不变，为常量；行驶路程$s$随行驶时间$t$的改变而改变，因此$s$、$t$为变量。
【答案】
(1)常量:6 变量:$n,t$ (2)常量:40 变量:$s,t$
【知识点】
常量的概念、变量的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，重点对常量、变量的区分进行考核，解题时只需结合实际情境判断量的数值是否发生变化即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题前首先要明确常量和变量的定义：在一个变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量，数值会随过程发生变化的量叫做变量。解题时我们只需要分别分析每个解析式中各个量的数值是否固定，就能判断出常量和变量：
（1）分针旋转一周的过程中，每分钟旋转的角度是固定的6度，所以6是固定不变的量，旋转角度n会随时间t的变化而变化，因此n、t是变化的量；
（2）汽车匀速行驶时速度保持40km/h不变，所以40是固定不变的量，行驶路程s会随行驶时间t的变化而变化，因此s、t是变化的量。
【解析】
首先明确：在一个变化过程中，数值固定不变的量为常量，数值发生变化的量为变量。
（1）在解析式$n=6t$中，6是分针每分钟旋转的角度，数值固定不变，为常量；旋转角度$n$随旋转时间$t$的改变而改变，因此$n$、$t$为变量。
（2）在解析式$s=40t$中，40是汽车匀速行驶的速度，数值固定不变，为常量；行驶路程$s$随行驶时间$t$的改变而改变，因此$s$、$t$为变量。
【答案】
(1)常量:6 变量:$n,t$ (2)常量:40 变量:$s,t$
【知识点】
常量的概念、变量的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，重点对常量、变量的区分进行考核，解题时只需结合实际情境判断量的数值是否发生变化即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
11.某镇居民生活用水的实行阶梯收费，收费标准如下表：
(1)y是关于x的函数吗？为什么？
(2)小王同学家9月份用水10 $m^3$，10月份用水8 $m^3$，两个月合计应付水费多少元？
(1)y是关于x的函数吗？为什么？
(2)小王同学家9月份用水10 $m^3$，10月份用水8 $m^3$，两个月合计应付水费多少元？
答案
11.(1)存在两个变量:月用水量$x$和收费标准$y$,对于$x$每取一个值,都有唯一确定的$y$值与之相对应,符合函数的定义,$\therefore y$是关于$x$的函数
(2)$1.5×8+(10-8)×2.5+1.5×8=29$(元).答:两个月合计应付水费29元
(2)$1.5×8+(10-8)×2.5+1.5×8=29$(元).答:两个月合计应付水费29元
解析
【分析】
(1) 判断y是否为x的函数，需依据函数的定义：一个变化过程中，若对x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。对照表格可直接验证该关系是否成立。
(2) 计算总水费需先明确两个月用水量对应的收费区间，按阶梯规则分别计算每月水费再求和：9月用水10$\rm m^3$，属于$8＜x≤16$区间，需分两部分计费；10月用水8$\rm m^3$，属于$0＜x≤8$区间，直接按对应标准计算即可。
【解析】
(1) y是关于x的函数。理由：存在月用水量$x$和收费标准$y$两个变量，对于$x$每取一个值，都有唯一确定的$y$值与之相对应，符合函数的定义，因此$y$是关于$x$的函数。
(2) 计算两个月水费总和：
9月水费：前8$\rm m^3$费用+超出8$\rm m^3$部分的费用，即$1.5×8 + (10-8)×2.5$；
10月水费：$1.5×8$；
合计费用：$1.5×8+(10-8)×2.5+1.5×8=12+5+12=29$（元）。
【答案】
(1) y是关于x的函数，理由：存在两个变量：月用水量$x$和收费标准$y$，对于$x$每取一个值，都有唯一确定的$y$值与之相对应，符合函数的定义，$\therefore y$是关于$x$的函数；
(2) 两个月合计应付水费29元。
【知识点】
函数的概念，分段计费计算
【点评】
本题结合生活中阶梯水费的实际场景，既考查对函数定义的理解，也考查分段计费的实际计算，解题时需注意区分不同用水量对应的收费标准，避免混淆计费区间出现计算错误。
【难度系数】
0.8
(1) 判断y是否为x的函数，需依据函数的定义：一个变化过程中，若对x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。对照表格可直接验证该关系是否成立。
(2) 计算总水费需先明确两个月用水量对应的收费区间，按阶梯规则分别计算每月水费再求和：9月用水10$\rm m^3$，属于$8＜x≤16$区间，需分两部分计费；10月用水8$\rm m^3$，属于$0＜x≤8$区间，直接按对应标准计算即可。
【解析】
(1) y是关于x的函数。理由：存在月用水量$x$和收费标准$y$两个变量，对于$x$每取一个值，都有唯一确定的$y$值与之相对应，符合函数的定义，因此$y$是关于$x$的函数。
(2) 计算两个月水费总和：
9月水费：前8$\rm m^3$费用+超出8$\rm m^3$部分的费用，即$1.5×8 + (10-8)×2.5$；
10月水费：$1.5×8$；
合计费用：$1.5×8+(10-8)×2.5+1.5×8=12+5+12=29$（元）。
【答案】
(1) y是关于x的函数，理由：存在两个变量：月用水量$x$和收费标准$y$，对于$x$每取一个值，都有唯一确定的$y$值与之相对应，符合函数的定义，$\therefore y$是关于$x$的函数；
(2) 两个月合计应付水费29元。
【知识点】
函数的概念，分段计费计算
【点评】
本题结合生活中阶梯水费的实际场景，既考查对函数定义的理解，也考查分段计费的实际计算，解题时需注意区分不同用水量对应的收费标准，避免混淆计费区间出现计算错误。
【难度系数】
0.8
