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12.如图，A,B,C三地在一条直线上，小明骑自行车以16 km/h的速度从B地出发前往C地，设x h后小明与A地的距离为y km.
(1)用解析法与图象法表示y关于x的函数；
(2)求3 h后小明与A地的距离；
(3)当小明与A地的距离为72 km时，求小明骑行的时间.
(1)用解析法与图象法表示y关于x的函数；
(2)求3 h后小明与A地的距离；
(3)当小明与A地的距离为72 km时，求小明骑行的时间.
答案
12.(1)用解析法表示$y$关于$x$的函数为$y=16x+32(0≤x≤4)$,用图象法表示$y$关于$x$的函数如下：
(2)由(1)中所画的函数图象可知当$x=3$时,对应的$y=80$,$\therefore 3\ \mathrm{h}$后小明与A地的距离为$80\ \mathrm{km}$;
(3)当$y=16x+32=72$时,解得$x=2.5$时,$\therefore$小明骑行的时间为$2.5\ \mathrm{h}$
解析
【分析】
解决本题首先要明确变量含义：y为小明与A地的距离，x为骑行时间。首先分析初始状态：小明从距离A地32km的B地出发，初始距A地32km，骑行速度为16km/h，x小时骑行路程为16x km，因此距A地的总距离为初始距离加骑行路程，即可得到函数关系式。再结合B到C的总路程64km，计算得小明最多骑行4小时，确定自变量x的取值范围。后续两问分别是代入自变量求函数值、代入函数值求自变量，代入解析式计算即可。
【解析】
(1) 解析法：
小明从距离A地32km的B地出发，骑行速度为16km/h，x小时骑行的路程为16x km，因此x小时后与A地的距离$y=32+16x$。
B地到C地的路程为64km，小明从B地到C地需要的时间为$64÷16=4\ \mathrm{h}$，因此x的取值范围是$0≤ x≤4$。
综上，y关于x的函数解析式为$y=16x+32(0≤ x≤4)$。
图象法：函数图象为连接点$(0,32)$和$(4,96)$的线段。
(2) 把$x=3$代入$y=16x+32$，得$y=16×3+32=80$，因此3h后小明与A地的距离为80km。
(3) 当小明与A地的距离为72km时，即$y=72$，代入解析式得：
$16x+32=72$
移项计算得$16x=40$，解得$x=2.5$，因此小明骑行的时间为2.5h。
【答案】
(1) 解析法：$y=16x+32(0≤ x≤4)$，图象法：
(2) $80\ \mathrm{km}$
(3) $2.5\ \mathrm{h}$
【知识点】
一次函数实际应用，一次函数表示方法，一元一次方程求解
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的基础应用，解题关键是理清路程、速度、时间的数量关系，正确得到函数解析式并确定自变量取值范围，属于基础应用类题目，侧重考查基础知识和基本计算能力。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确变量含义：y为小明与A地的距离，x为骑行时间。首先分析初始状态：小明从距离A地32km的B地出发，初始距A地32km，骑行速度为16km/h，x小时骑行路程为16x km，因此距A地的总距离为初始距离加骑行路程，即可得到函数关系式。再结合B到C的总路程64km，计算得小明最多骑行4小时，确定自变量x的取值范围。后续两问分别是代入自变量求函数值、代入函数值求自变量，代入解析式计算即可。
【解析】
(1) 解析法：
小明从距离A地32km的B地出发，骑行速度为16km/h，x小时骑行的路程为16x km，因此x小时后与A地的距离$y=32+16x$。
B地到C地的路程为64km，小明从B地到C地需要的时间为$64÷16=4\ \mathrm{h}$，因此x的取值范围是$0≤ x≤4$。
综上，y关于x的函数解析式为$y=16x+32(0≤ x≤4)$。
图象法：函数图象为连接点$(0,32)$和$(4,96)$的线段。
(2) 把$x=3$代入$y=16x+32$，得$y=16×3+32=80$，因此3h后小明与A地的距离为80km。
(3) 当小明与A地的距离为72km时，即$y=72$，代入解析式得：
$16x+32=72$
移项计算得$16x=40$，解得$x=2.5$，因此小明骑行的时间为2.5h。
【答案】
(1) 解析法：$y=16x+32(0≤ x≤4)$，图象法：
(2) $80\ \mathrm{km}$
(3) $2.5\ \mathrm{h}$
【知识点】
一次函数实际应用，一次函数表示方法，一元一次方程求解
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的基础应用，解题关键是理清路程、速度、时间的数量关系，正确得到函数解析式并确定自变量取值范围，属于基础应用类题目，侧重考查基础知识和基本计算能力。
【难度系数】
0.8
13.已知动点 P 以 2 cm/s 的速度沿如图①所示的边框按从 B→C→D→E→F→A 的路径移动,相应的△ABP 的面积 S 关于时间 t 的函数图象如图②所示,若 AB=6 cm,试回答下列问题:
(1)动点 P 在线段
(2)BC=
(3)求出图乙中的 a 与 b 的值;
(4)在上述运动过程中,求出△ABP 面积的最大值.
(1)动点 P 在线段
$CD$和$EF$
上运动的过程中,△ABP 的面积 S 保持不变;(2)BC=
8
cm,CD=4
cm,DE=6
cm,EF=2
cm;(3)求出图乙中的 a 与 b 的值;
(4)在上述运动过程中,求出△ABP 面积的最大值.
答案
13.(1)$CD$和$EF$
(2)已知当$P$在$BC$上时,以$AB$为底的高在不断增大,到达点$C$时,开始不变,由图②得,$P$在$BC$上移动了4 s,那么$BC=4×2=8(\mathrm{cm})$.在$CD$上移动了2 s,$CD=2×2=4(\mathrm{cm})$,在$DE$上移动了3 s,$DE=3×2=6(\mathrm{cm})$,而$AB=6\ \mathrm{cm}$,那么$EF=AB-CD=2\ \mathrm{cm}$
(3)由图②得,$a$是点$P$运行4 s时$△ ABP$的面积,$\therefore S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}×6×8=24(\mathrm{cm}^2)$,$b$为点$P$走完全程的时间:$t=9+1+7=17(\mathrm{s})$,$\therefore a=24,b=17$
(4)$\because$点$P$在$EF$上移动时面积达到最大值,$\therefore S=\dfrac{1}{2}AB·(BC+DE)$,$\because AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,$DE=6\ \mathrm{cm}$,$\therefore S=\dfrac{1}{2}×6×(8+6)=42(\mathrm{cm}^2)$,则$△ ABP$的面积的最大值是$42\ \mathrm{cm}^2$
(2)已知当$P$在$BC$上时,以$AB$为底的高在不断增大,到达点$C$时,开始不变,由图②得,$P$在$BC$上移动了4 s,那么$BC=4×2=8(\mathrm{cm})$.在$CD$上移动了2 s,$CD=2×2=4(\mathrm{cm})$,在$DE$上移动了3 s,$DE=3×2=6(\mathrm{cm})$,而$AB=6\ \mathrm{cm}$,那么$EF=AB-CD=2\ \mathrm{cm}$
(3)由图②得,$a$是点$P$运行4 s时$△ ABP$的面积,$\therefore S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}×6×8=24(\mathrm{cm}^2)$,$b$为点$P$走完全程的时间:$t=9+1+7=17(\mathrm{s})$,$\therefore a=24,b=17$
(4)$\because$点$P$在$EF$上移动时面积达到最大值,$\therefore S=\dfrac{1}{2}AB·(BC+DE)$,$\because AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,$DE=6\ \mathrm{cm}$,$\therefore S=\dfrac{1}{2}×6×(8+6)=42(\mathrm{cm}^2)$,则$△ ABP$的面积的最大值是$42\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
这是一道动点运动与函数图象结合的问题，解题核心是将函数图象的不同时间段和动点P的运动路径一一对应：①△ABP的底AB长度固定，面积由点P到AB的距离决定，距离不变时面积就不变，据此可判断面积不变的运动线段；②已知动点速度，结合各段运动的时间差，用“路程=速度×时间”可计算各边框的长度；③a是P运动到C点时△ABP的面积，用三角形面积公式计算即可，b是P走完全程的总时间，算出剩余路径的运动时间和已知时间相加即可；④面积最大对应点P到AB的距离最大，找到距离最大的位置代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) △ABP的底边AB长度固定，当点P到AB的距离不变时，面积S保持不变，观察路径可知，P在CD、EF上运动时，到AB的距离不变。
(2) 已知动点速度为2cm/s：
P在BC段的运动时间为4s，因此$BC=2×4=8\mathrm{cm}$；
P在CD段的运动时间为$6-4=2\mathrm{s}$，因此$CD=2×2=4\mathrm{cm}$；
P在DE段的运动时间为$9-6=3\mathrm{s}$，因此$DE=2×3=6\mathrm{cm}$；
由边框形状可知$AB=CD+EF$，已知$AB=6\mathrm{cm}$，因此$EF=AB-CD=6-4=2\mathrm{cm}$。
(3) 求a的值：a是P运动到C点时△ABP的面积，此时△ABP的高等于BC的长度：
$a = S_{△ ABP} = \frac{1}{2}× AB× BC = \frac{1}{2}×6×8=24$
求b的值：b是P走完全程的总时间：
EF段运动时间为$2÷2=1\mathrm{s}$，FA段长度为$BC+DE=8+6=14\mathrm{cm}$，FA段运动时间为$14÷2=7\mathrm{s}$，因此总时间$b=9+1+7=17$。
(4) 当P在EF上运动时，点P到AB的距离最大，最大距离为$BC+DE=8+6=14\mathrm{cm}$，此时△ABP面积最大：
$S_{\mathrm{最大}}=\frac{1}{2}× AB×(BC+DE)=\frac{1}{2}×6×14=42(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) CD和EF
(2) 8；4；6；2
(3) $a=24$，$b=17$
(4) $△ ABP$面积的最大值为$42\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
动点问题的函数图象；三角形面积计算；数形结合思想
【点评】
本题考查动点与函数图象的结合应用，需要将图象的分段信息和动点的实际运动过程对应，能有效考查读图分析能力和几何计算能力，解题时结合图形特征分析各段长度关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是一道动点运动与函数图象结合的问题，解题核心是将函数图象的不同时间段和动点P的运动路径一一对应：①△ABP的底AB长度固定，面积由点P到AB的距离决定，距离不变时面积就不变，据此可判断面积不变的运动线段；②已知动点速度，结合各段运动的时间差，用“路程=速度×时间”可计算各边框的长度；③a是P运动到C点时△ABP的面积，用三角形面积公式计算即可，b是P走完全程的总时间，算出剩余路径的运动时间和已知时间相加即可；④面积最大对应点P到AB的距离最大，找到距离最大的位置代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) △ABP的底边AB长度固定，当点P到AB的距离不变时，面积S保持不变，观察路径可知，P在CD、EF上运动时，到AB的距离不变。
(2) 已知动点速度为2cm/s：
P在BC段的运动时间为4s，因此$BC=2×4=8\mathrm{cm}$；
P在CD段的运动时间为$6-4=2\mathrm{s}$，因此$CD=2×2=4\mathrm{cm}$；
P在DE段的运动时间为$9-6=3\mathrm{s}$，因此$DE=2×3=6\mathrm{cm}$；
由边框形状可知$AB=CD+EF$，已知$AB=6\mathrm{cm}$，因此$EF=AB-CD=6-4=2\mathrm{cm}$。
(3) 求a的值：a是P运动到C点时△ABP的面积，此时△ABP的高等于BC的长度：
$a = S_{△ ABP} = \frac{1}{2}× AB× BC = \frac{1}{2}×6×8=24$
求b的值：b是P走完全程的总时间：
EF段运动时间为$2÷2=1\mathrm{s}$，FA段长度为$BC+DE=8+6=14\mathrm{cm}$，FA段运动时间为$14÷2=7\mathrm{s}$，因此总时间$b=9+1+7=17$。
(4) 当P在EF上运动时，点P到AB的距离最大，最大距离为$BC+DE=8+6=14\mathrm{cm}$，此时△ABP面积最大：
$S_{\mathrm{最大}}=\frac{1}{2}× AB×(BC+DE)=\frac{1}{2}×6×14=42(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) CD和EF
(2) 8；4；6；2
(3) $a=24$，$b=17$
(4) $△ ABP$面积的最大值为$42\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
动点问题的函数图象；三角形面积计算；数形结合思想
【点评】
本题考查动点与函数图象的结合应用，需要将图象的分段信息和动点的实际运动过程对应，能有效考查读图分析能力和几何计算能力，解题时结合图形特征分析各段长度关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
