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15.如图,已知四边形ABCD是正方形,G为线段AD上任意一点,$CE⊥BG$于点E,$DF⊥CE$于点F.求证:$DF=BE+EF$.
答案
15.$\because$ 四边形 ABCD 是正方形, $\therefore BC=CD$,$∠ BCD=90°$,$\because CE ⊥ BG$,$DF ⊥ CE$,$\therefore ∠ BEC=∠ DFC=90°$,$\therefore ∠ BCE+∠ CBE=90°=∠ BCE+∠ DCF$,$\therefore ∠ CBE=∠ DCF$, 在$△ CBE$ 和 $△ DCF$中, $\begin{cases} ∠ BEC=∠ CFD, \\ ∠ EBC=∠ FCD, \\ BC=CD, \end{cases}$ $\therefore △ CBE ≌ △ DCF(\mathrm{AAS})$,$\therefore CF=BE$,$CE=DF$,$\because CE=CF+EF$,$\therefore DF=BE+EF$
解析
【分析】
要证明DF=BE+EF，属于线段和差类证明问题，可通过等量代换转化思路：观察图形可知CE=CF+EF，因此只需证明DF=CE，且CF=BE即可。首先结合正方形的性质可得BC=CD、∠BCD=90°，再由CE⊥BG、DF⊥CE得到两组直角相等，利用同角的余角相等推出∠CBE=∠DCF，即可证明△CBE与△DCF全等，利用全等三角形对应边相等得到所需的边的关系，最后通过等量代换即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BC=CD，∠BCD=90°，
∵ CE⊥BG，DF⊥CE，
∴ ∠BEC=∠DFC=90°，
∴ ∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠DCF=90°，
∴ ∠CBE=∠DCF，
在△CBE和△DCF中，
$\begin{cases} ∠BEC=∠CFD, \\ ∠EBC=∠FCD, \\ BC=CD, \end{cases}$
∴ △CBE≌△DCF（AAS），
∴ CF=BE，CE=DF，
又
∵ CE=CF+EF，
∴ DF=BE+EF。
【答案】
$DF=BE+EF$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是正方形与全等三角形的综合基础题，解题的关键是利用同角的余角相等找到全等所需的等角条件，通过全等三角形的性质实现线段的等量代换，是几何线段和差证明的常见题型。
【难度系数】
0.7
要证明DF=BE+EF，属于线段和差类证明问题，可通过等量代换转化思路：观察图形可知CE=CF+EF，因此只需证明DF=CE，且CF=BE即可。首先结合正方形的性质可得BC=CD、∠BCD=90°，再由CE⊥BG、DF⊥CE得到两组直角相等，利用同角的余角相等推出∠CBE=∠DCF，即可证明△CBE与△DCF全等，利用全等三角形对应边相等得到所需的边的关系，最后通过等量代换即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BC=CD，∠BCD=90°，
∵ CE⊥BG，DF⊥CE，
∴ ∠BEC=∠DFC=90°，
∴ ∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠DCF=90°，
∴ ∠CBE=∠DCF，
在△CBE和△DCF中，
$\begin{cases} ∠BEC=∠CFD, \\ ∠EBC=∠FCD, \\ BC=CD, \end{cases}$
∴ △CBE≌△DCF（AAS），
∴ CF=BE，CE=DF，
又
∵ CE=CF+EF，
∴ DF=BE+EF。
【答案】
$DF=BE+EF$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是正方形与全等三角形的综合基础题，解题的关键是利用同角的余角相等找到全等所需的等角条件，通过全等三角形的性质实现线段的等量代换，是几何线段和差证明的常见题型。
【难度系数】
0.7
16.如图,在四边形 ABCD 中,$AD // BC$,$AD=CD$,E 是对角线 BD 上的一点,且 $EA=EC$.
(1)求证:四边形 ABCD 是菱形;
(2)如果 $BE=BC$,且 $∠ CBE:∠ BCE=2:3$,求证:四边形 ABCD 是正方形.
(1)求证:四边形 ABCD 是菱形;
(2)如果 $BE=BC$,且 $∠ CBE:∠ BCE=2:3$,求证:四边形 ABCD 是正方形.
答案
16.(1)$\because AD=CD$,$DE=DE$,$EA=EC$,$\therefore △ ADE≌△ CDE(\mathrm{SSS})$,$\therefore ∠ ADE=∠ CDE$. 又 $\because AD // BC$, $\therefore ∠ ADE = ∠ CBD$,$\therefore ∠ CDE=∠ CBD$,$\therefore BC=CD=AD$,$\therefore$ 四边形$ABCD$ 为平行四边形. 又$\because AD=CD$,$\therefore$ 四边形$ABCD$ 是菱形
(2) $\because BE = BC$,$\therefore ∠ BCE =∠ BEC$. 又$\because ∠ CBE : ∠ BCE = 2:3$,$\therefore ∠ CBE=180°×\dfrac{2}{2+3+3}=45°$. 又$\because$ 四边形 ABCD 是菱形,$\therefore ∠ ABC=2∠ CBE=90°$,$\therefore$ 四边形 ABCD 是正方形
(2) $\because BE = BC$,$\therefore ∠ BCE =∠ BEC$. 又$\because ∠ CBE : ∠ BCE = 2:3$,$\therefore ∠ CBE=180°×\dfrac{2}{2+3+3}=45°$. 又$\because$ 四边形 ABCD 是菱形,$\therefore ∠ ABC=2∠ CBE=90°$,$\therefore$ 四边形 ABCD 是正方形
解析
【分析】
(1)要证四边形ABCD是菱形，可先证它是平行四边形，再证明一组邻边相等。首先利用已知的边相等条件证明△ADE和△CDE全等，得到对应角相等；再结合AD//BC的性质推出BC=CD，得到AD与BC平行且相等，即可先证平行四边形，最终结合邻边相等证得菱形。
(2)要证菱形ABCD是正方形，只需证明菱形有一个内角为直角。首先根据BE=BC得到△BEC是等腰三角形，结合角的比例关系和三角形内角和算出∠CBE的度数，再利用菱形对角线平分内角的性质求出∠ABC=90°，即可证得正方形。
【解析】
(1)证明：
在$△ ADE$和$△ CDE$中，
$\begin{cases} AD=CD \\ DE=DE \\ EA=EC \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CDE(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ADE=∠CDE$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ADE=∠CBD$，
$\therefore ∠CDE=∠CBD$，
$\therefore BC=CD$。
又$\because AD=CD$，$\therefore BC=AD$，
$\because AD// BC$且$BC=AD$，
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形，
又$\because AD=CD$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形。
(2)证明：
$\because BE=BC$，$\therefore ∠BCE=∠BEC$，
$\because ∠CBE:∠BCE=2:3$，
设$∠CBE=2x$，则$∠BCE=∠BEC=3x$，
在$△ BEC$中，$∠CBE+∠BCE+∠BEC=180°$，
即$2x+3x+3x=180°$，解得$x=22.5°$，
$\therefore ∠CBE=2x=45°$。
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore BD$平分$∠ABC$，即$∠ABC=2∠CBE=2×45°=90°$，
$\therefore$菱形$ABCD$是正方形。
【答案】
(1)四边形ABCD是菱形，证明见解析；
(2)四边形ABCD是正方形，证明见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将特殊四边形的判定和全等三角形、等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握各类几何判定定理，理清边角之间的等量关系逐步推导。
【难度系数】
0.7
(1)要证四边形ABCD是菱形，可先证它是平行四边形，再证明一组邻边相等。首先利用已知的边相等条件证明△ADE和△CDE全等，得到对应角相等；再结合AD//BC的性质推出BC=CD，得到AD与BC平行且相等，即可先证平行四边形，最终结合邻边相等证得菱形。
(2)要证菱形ABCD是正方形，只需证明菱形有一个内角为直角。首先根据BE=BC得到△BEC是等腰三角形，结合角的比例关系和三角形内角和算出∠CBE的度数，再利用菱形对角线平分内角的性质求出∠ABC=90°，即可证得正方形。
【解析】
(1)证明：
在$△ ADE$和$△ CDE$中，
$\begin{cases} AD=CD \\ DE=DE \\ EA=EC \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CDE(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ADE=∠CDE$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ADE=∠CBD$，
$\therefore ∠CDE=∠CBD$，
$\therefore BC=CD$。
又$\because AD=CD$，$\therefore BC=AD$，
$\because AD// BC$且$BC=AD$，
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形，
又$\because AD=CD$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形。
(2)证明：
$\because BE=BC$，$\therefore ∠BCE=∠BEC$，
$\because ∠CBE:∠BCE=2:3$，
设$∠CBE=2x$，则$∠BCE=∠BEC=3x$，
在$△ BEC$中，$∠CBE+∠BCE+∠BEC=180°$，
即$2x+3x+3x=180°$，解得$x=22.5°$，
$\therefore ∠CBE=2x=45°$。
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore BD$平分$∠ABC$，即$∠ABC=2∠CBE=2×45°=90°$，
$\therefore$菱形$ABCD$是正方形。
【答案】
(1)四边形ABCD是菱形，证明见解析；
(2)四边形ABCD是正方形，证明见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将特殊四边形的判定和全等三角形、等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握各类几何判定定理，理清边角之间的等量关系逐步推导。
【难度系数】
0.7
17.如图,边长为 4 的菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若$∠ CAD=∠ DBC$.
(1)求证:四边形 ABCD 是正方形;
(2)E 是 OB 上一点,$BE=1$,且$DH ⊥ CE$,垂足为 H,DH 与 OC 相交于点 F,求线段 OF的长.
(1)求证:四边形 ABCD 是正方形;
(2)E 是 OB 上一点,$BE=1$,且$DH ⊥ CE$,垂足为 H,DH 与 OC 相交于点 F,求线段 OF的长.
答案
17.(1)$\because$ 四边形 ABCD 是菱形,$\therefore AD // BC$,$∠ BAD = 2∠ DAC$,$∠ ABC = 2∠ DBC$,$\therefore ∠ BAD+∠ ABC = 180°$,$\because ∠ CAD = ∠ DBC$,$\therefore ∠ BAD=∠ ABC$,$\therefore 2∠ BAD=180°$,$\therefore ∠ BAD=90°$,$\therefore$ 四边形 ABCD 是正方形
(2) $\because$ 四边形$ABCD$ 是正方形,$AB = BC = 4$, $\therefore AC ⊥ BD$,$AC=BD=4\sqrt{2}$ ,$\therefore OC=OB=OD=\dfrac{1}{2}BD=2\sqrt{2}$,$∠ COB=∠ DOC=90°$,$\because DH⊥ CE$,$\therefore ∠ DHE=90°$,$∠ EDH+∠ DEH=90°$,$\because ∠ ECO+∠ DEH=90°$, $\therefore ∠ ECO = ∠ EDH$, $\therefore △ ECO ≌ △ FDO(\mathrm{ASA})$, $\therefore OE = OF$. $\because BE = 1$,$\therefore OE = OF =OB-BE=2\sqrt{2}-1$
(2) $\because$ 四边形$ABCD$ 是正方形,$AB = BC = 4$, $\therefore AC ⊥ BD$,$AC=BD=4\sqrt{2}$ ,$\therefore OC=OB=OD=\dfrac{1}{2}BD=2\sqrt{2}$,$∠ COB=∠ DOC=90°$,$\because DH⊥ CE$,$\therefore ∠ DHE=90°$,$∠ EDH+∠ DEH=90°$,$\because ∠ ECO+∠ DEH=90°$, $\therefore ∠ ECO = ∠ EDH$, $\therefore △ ECO ≌ △ FDO(\mathrm{ASA})$, $\therefore OE = OF$. $\because BE = 1$,$\therefore OE = OF =OB-BE=2\sqrt{2}-1$
解析
【分析】
(1)要证明菱形是正方形，只需证明菱形有一个内角为90°即可。首先利用菱形的性质：对边平行、对角线平分一组对角，结合平行线同旁内角互补得到∠BAD与∠ABC的和为180°，再根据已知∠CAD=∠DBC推导得∠BAD=∠ABC，即可求出∠BAD=90°，完成证明。
(2)先根据正方形的性质得到对角线垂直且相等，求出OC、OB的长度，再利用直角三角形两锐角互余推导得到∠ECO=∠FDO，结合OC=OD、∠COE=∠DOF=90°，证明△ECO≌△FDO，得到OE=OF，最后结合BE的长度计算OF即可。
【解析】
(1)证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AD// BC$，$∠BAD=2∠DAC$，$∠ABC=2∠DBC$，
∴ $∠BAD+∠ABC=180°$，
∵ $∠CAD=∠DBC$，
∴ $∠BAD=∠ABC$，
∴ $2∠BAD=180°$，解得$∠BAD=90°$，
∴ 四边形ABCD是正方形。
(2)解：
∵ 四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴ $AC⊥ BD$，$AC=BD=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
∴ $OC=OB=OD=\frac{1}{2}BD=2\sqrt{2}$，$∠COB=∠DOC=90°$，
∵ $DH⊥ CE$，
∴ $∠DHE=90°$，
∴ $∠EDH+∠DEH=90°$，
又
∵ $∠ECO+∠DEH=90°$，
∴ $∠ECO=∠EDH$，
在$△ ECO$和$△ FDO$中：
$\begin{cases}∠ECO=∠FDO \\OC=OD \\∠COE=∠DOF=90°\end{cases}$
∴ $△ ECO≌△ FDO(\mathrm{ASA})$，
∴ $OE=OF$，
∵ $BE=1$，
∴ $OE=OB-BE=2\sqrt{2}-1$，
∴ $OF=2\sqrt{2}-1$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是正方形，证明如上；
(2) 线段$OF$的长为$2\sqrt{2}-1$。
【知识点】
菱形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊四边形的综合基础题，第一问考查菱形转化为正方形的判定方法，第二问需要结合直角的性质推导等角，通过全等三角形实现线段的转化，是正方形相关考点的典型题型，需熟练掌握特殊四边形的性质和全等三角形的证明方法。
【难度系数】
0.7
(1)要证明菱形是正方形，只需证明菱形有一个内角为90°即可。首先利用菱形的性质：对边平行、对角线平分一组对角，结合平行线同旁内角互补得到∠BAD与∠ABC的和为180°，再根据已知∠CAD=∠DBC推导得∠BAD=∠ABC，即可求出∠BAD=90°，完成证明。
(2)先根据正方形的性质得到对角线垂直且相等，求出OC、OB的长度，再利用直角三角形两锐角互余推导得到∠ECO=∠FDO，结合OC=OD、∠COE=∠DOF=90°，证明△ECO≌△FDO，得到OE=OF，最后结合BE的长度计算OF即可。
【解析】
(1)证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AD// BC$，$∠BAD=2∠DAC$，$∠ABC=2∠DBC$，
∴ $∠BAD+∠ABC=180°$，
∵ $∠CAD=∠DBC$，
∴ $∠BAD=∠ABC$，
∴ $2∠BAD=180°$，解得$∠BAD=90°$，
∴ 四边形ABCD是正方形。
(2)解：
∵ 四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴ $AC⊥ BD$，$AC=BD=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
∴ $OC=OB=OD=\frac{1}{2}BD=2\sqrt{2}$，$∠COB=∠DOC=90°$，
∵ $DH⊥ CE$，
∴ $∠DHE=90°$，
∴ $∠EDH+∠DEH=90°$，
又
∵ $∠ECO+∠DEH=90°$，
∴ $∠ECO=∠EDH$，
在$△ ECO$和$△ FDO$中：
$\begin{cases}∠ECO=∠FDO \\OC=OD \\∠COE=∠DOF=90°\end{cases}$
∴ $△ ECO≌△ FDO(\mathrm{ASA})$，
∴ $OE=OF$，
∵ $BE=1$，
∴ $OE=OB-BE=2\sqrt{2}-1$，
∴ $OF=2\sqrt{2}-1$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是正方形，证明如上；
(2) 线段$OF$的长为$2\sqrt{2}-1$。
【知识点】
菱形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊四边形的综合基础题，第一问考查菱形转化为正方形的判定方法，第二问需要结合直角的性质推导等角，通过全等三角形实现线段的转化，是正方形相关考点的典型题型，需熟练掌握特殊四边形的性质和全等三角形的证明方法。
【难度系数】
0.7
18.在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，AE与BF相交于点G.
（1）如图①，求证：$AE ⊥ BF$；
（2）如图②，将$△ BCF$沿BF折叠，得到$△ BPF$，延长FP交BA的延长线于点Q，若$AB = 4$，求QF的值.
（1）如图①，求证：$AE ⊥ BF$；
（2）如图②，将$△ BCF$沿BF折叠，得到$△ BPF$，延长FP交BA的延长线于点Q，若$AB = 4$，求QF的值.
答案
18.(1)$\because E,F$分别是正方形ABCD边BC,CD的中点,$\therefore CF=BE$,在$△ ABE$和$△ BCF$ 中，$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ ABE=∠ BCF, \\ BE=CF, \end{cases}$$\therefore △ ABE ≌△ BCF(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ BAE=∠ CBF$,又$\because ∠ BAE+∠ BEA=90°$,$\therefore ∠ CBF+∠ BEA=90°$,$\therefore ∠ BGE=90°$,$\therefore AE⊥ BF$
(2)$\because$将$△ BCF$沿BF折叠,得到$△ BPF$,$\therefore FP = FC$,$∠ PFB = ∠ BFC$,$∠ FPB = 90°$,$\because CD// AB$,$\therefore ∠ CFB=∠ ABF$,$\therefore ∠ ABF=∠ PFB$,$\therefore QF=QB$.设$QF=QB=x$,$\because PB=BC=AB=4$,$CF=PF=2$,$\therefore PQ=x-2$,在$\mathrm{Rt}△ BPQ$中,$x^2=(x-2)^2+4^2$,解得$x=5$,即$QF=5$
(2)$\because$将$△ BCF$沿BF折叠,得到$△ BPF$,$\therefore FP = FC$,$∠ PFB = ∠ BFC$,$∠ FPB = 90°$,$\because CD// AB$,$\therefore ∠ CFB=∠ ABF$,$\therefore ∠ ABF=∠ PFB$,$\therefore QF=QB$.设$QF=QB=x$,$\because PB=BC=AB=4$,$CF=PF=2$,$\therefore PQ=x-2$,在$\mathrm{Rt}△ BPQ$中,$x^2=(x-2)^2+4^2$,解得$x=5$,即$QF=5$
解析
【分析】
（1）要证明$AE⊥BF$，只需证明二者夹角为$90°$即可。结合正方形四边相等、邻角垂直的性质，以及E、F是对应边中点的条件，可先证$△ ABE$和$△ BCF$全等，再通过角的等量代换推导出夹角为$90°$，即可得证垂直结论。
（2）折叠前后图形的对应边、对应角相等，由此可得$FP=FC$、$∠ PFB=∠ BFC$等结论；结合$CD// AB$的内错角相等关系，可推出$△ QFB$为等腰三角形，即$QF=QB$，此时设$QF$为未知数，用含未知数的式子表示$Rt△ BPQ$的各边长度，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：$\because E,F$分别是正方形$ABCD$边$BC,CD$的中点，
$\therefore CF=BE$，
在$△ ABE$和$△ BCF$中，
$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABE=∠BCF=90°, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌△ BCF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠BAE=∠CBF$，
又$\because ∠BAE+∠BEA=90°$，
$\therefore ∠CBF+∠BEA=90°$，
$\therefore ∠BGE=180°-(∠CBF+∠BEA)=90°$，
$\therefore AE⊥ BF$。
（2）解：$\because$将$△ BCF$沿$BF$折叠，得到$△ BPF$，
$\therefore FP = FC$，$∠PFB = ∠BFC$，$∠FPB=∠C=90°$，$PB=BC=AB=4$，
$\because CD// AB$，
$\therefore ∠CFB=∠ABF$，
$\therefore ∠ABF=∠PFB$，
$\therefore QF=QB$，
设$QF=QB=x$，
$\because F$是$CD$中点，$CD=4$，
$\therefore CF=PF=2$，
$\therefore PQ=QF-PF=x-2$，
在$\mathrm{Rt}△ BPQ$中，由勾股定理得$QB^2=PQ^2+PB^2$，
即$x^2=(x-2)^2+4^2$，
展开化简得$4x=20$，
解得$x=5$，即$QF=5$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{QF=5}$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是正方形相关的基础综合题，第一问是正方形中借助全等证明线段垂直的经典考法，第二问结合折叠性质，通过平行线推导等腰三角形，再利用勾股定理列方程求解，是几何中方程思想的典型应用，解题时注意不要混淆折叠前后的对应边角关系。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$AE⊥BF$，只需证明二者夹角为$90°$即可。结合正方形四边相等、邻角垂直的性质，以及E、F是对应边中点的条件，可先证$△ ABE$和$△ BCF$全等，再通过角的等量代换推导出夹角为$90°$，即可得证垂直结论。
（2）折叠前后图形的对应边、对应角相等，由此可得$FP=FC$、$∠ PFB=∠ BFC$等结论；结合$CD// AB$的内错角相等关系，可推出$△ QFB$为等腰三角形，即$QF=QB$，此时设$QF$为未知数，用含未知数的式子表示$Rt△ BPQ$的各边长度，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：$\because E,F$分别是正方形$ABCD$边$BC,CD$的中点，
$\therefore CF=BE$，
在$△ ABE$和$△ BCF$中，
$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABE=∠BCF=90°, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌△ BCF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠BAE=∠CBF$，
又$\because ∠BAE+∠BEA=90°$，
$\therefore ∠CBF+∠BEA=90°$，
$\therefore ∠BGE=180°-(∠CBF+∠BEA)=90°$，
$\therefore AE⊥ BF$。
（2）解：$\because$将$△ BCF$沿$BF$折叠，得到$△ BPF$，
$\therefore FP = FC$，$∠PFB = ∠BFC$，$∠FPB=∠C=90°$，$PB=BC=AB=4$，
$\because CD// AB$，
$\therefore ∠CFB=∠ABF$，
$\therefore ∠ABF=∠PFB$，
$\therefore QF=QB$，
设$QF=QB=x$，
$\because F$是$CD$中点，$CD=4$，
$\therefore CF=PF=2$，
$\therefore PQ=QF-PF=x-2$，
在$\mathrm{Rt}△ BPQ$中，由勾股定理得$QB^2=PQ^2+PB^2$，
即$x^2=(x-2)^2+4^2$，
展开化简得$4x=20$，
解得$x=5$，即$QF=5$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{QF=5}$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是正方形相关的基础综合题，第一问是正方形中借助全等证明线段垂直的经典考法，第二问结合折叠性质，通过平行线推导等腰三角形，再利用勾股定理列方程求解，是几何中方程思想的典型应用，解题时注意不要混淆折叠前后的对应边角关系。
【难度系数】
0.7
