登录
7. 教材P20例3变式 [2026连云港外国语学校月考] 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ C$，$BD = CF$，$∠ BDE = ∠ CFD$，则$∠ A$与$∠ EDF$的度数关系为(
A.$∠ A = ∠ EDF$
B.$∠ A + ∠ EDF = 90°$
C.$∠ EDF = 90° + \frac{1}{2}∠ A$
D.$∠ EDF = 90° - \frac{1}{2}∠ A$
D
)A.$∠ A = ∠ EDF$
B.$∠ A + ∠ EDF = 90°$
C.$∠ EDF = 90° + \frac{1}{2}∠ A$
D.$∠ EDF = 90° - \frac{1}{2}∠ A$
答案
D
∵ ∠B = ∠C,BD = CF,∠BDE = ∠CFD,
∴ △BDE≌△CFD(ASA),
∴ ∠BED = ∠CDF,
∴ ∠EDF = 180° - ∠BDE - ∠CDF = 180° - ∠BDE - ∠BED = ∠B.
∵ ∠B + ∠C + ∠A = 2∠B + ∠A = 180°,
∴ ∠B = 90° - $\frac{1}{2}$∠A,
∴ ∠EDF = 90° - $\frac{1}{2}$∠A.
∵ ∠B = ∠C,BD = CF,∠BDE = ∠CFD,
∴ △BDE≌△CFD(ASA),
∴ ∠BED = ∠CDF,
∴ ∠EDF = 180° - ∠BDE - ∠CDF = 180° - ∠BDE - ∠BED = ∠B.
∵ ∠B + ∠C + ∠A = 2∠B + ∠A = 180°,
∴ ∠B = 90° - $\frac{1}{2}$∠A,
∴ ∠EDF = 90° - $\frac{1}{2}$∠A.
解析
【分析】
解题时首先观察题目给出的角、边相等条件，可先尝试证明三角形全等：已知∠B=∠C，BD=CF，∠BDE=∠CFD，刚好符合角边角（ASA）的全等判定条件，先证△BDE≌△CFD，得到对应角相等；再利用平角为180°的性质，将∠EDF用△BDE的内角表示，得出∠EDF=∠B；最后结合△ABC的内角和定理，将∠B用∠A表示，即可得到∠EDF与∠A的数量关系。
【解析】
在△BDE和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠C \\BD = CF \\∠BDE = ∠CFD\end{array} $
∴ △BDE≌△CFD（ASA）
∴ ∠BED = ∠CDF
∵ 点D在BC上，∠BDC为平角，即$∠ BDE + ∠ EDF + ∠ CDF = 180°$
∴ $∠ EDF = 180° - ∠ BDE - ∠ CDF$
将$∠ CDF$替换为$∠ BED$，可得：
$∠ EDF = 180° - ∠ BDE - ∠ BED$
又
∵ 在△BDE中，$∠ B + ∠ BDE + ∠ BED = 180°$，即$∠ B = 180° - ∠ BDE - ∠ BED$
∴ $∠ EDF = ∠ B$
在△ABC中，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，且$∠ B = ∠ C$
∴ $∠ A + 2∠ B = 180°$，整理得$∠ B = 90° - \frac{1}{2}∠ A$
∴ $∠ EDF = 90° - \frac{1}{2}∠ A$
【答案】
D
【知识点】
ASA判定三角形全等，三角形内角和定理，平角的性质
【点评】
本题是全等三角形与三角形内角和的基础综合题，解题核心是先通过已知的边角条件判定三角形全等，再通过角的等量代换建立待求角和已知角的关系，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，以及角的和差计算方法。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题目给出的角、边相等条件，可先尝试证明三角形全等：已知∠B=∠C，BD=CF，∠BDE=∠CFD，刚好符合角边角（ASA）的全等判定条件，先证△BDE≌△CFD，得到对应角相等；再利用平角为180°的性质，将∠EDF用△BDE的内角表示，得出∠EDF=∠B；最后结合△ABC的内角和定理，将∠B用∠A表示，即可得到∠EDF与∠A的数量关系。
【解析】
在△BDE和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠C \\BD = CF \\∠BDE = ∠CFD\end{array} $
∴ △BDE≌△CFD（ASA）
∴ ∠BED = ∠CDF
∵ 点D在BC上，∠BDC为平角，即$∠ BDE + ∠ EDF + ∠ CDF = 180°$
∴ $∠ EDF = 180° - ∠ BDE - ∠ CDF$
将$∠ CDF$替换为$∠ BED$，可得：
$∠ EDF = 180° - ∠ BDE - ∠ BED$
又
∵ 在△BDE中，$∠ B + ∠ BDE + ∠ BED = 180°$，即$∠ B = 180° - ∠ BDE - ∠ BED$
∴ $∠ EDF = ∠ B$
在△ABC中，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，且$∠ B = ∠ C$
∴ $∠ A + 2∠ B = 180°$，整理得$∠ B = 90° - \frac{1}{2}∠ A$
∴ $∠ EDF = 90° - \frac{1}{2}∠ A$
【答案】
D
【知识点】
ASA判定三角形全等，三角形内角和定理，平角的性质
【点评】
本题是全等三角形与三角形内角和的基础综合题，解题核心是先通过已知的边角条件判定三角形全等，再通过角的等量代换建立待求角和已知角的关系，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，以及角的和差计算方法。
【难度系数】
0.7
8. [2026常州期中]如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC,CE ⊥ AB$,垂足分别为$D,E$,$AD$与$CE$交于点$F$.若$EF=EB=6$,$AE=8$,则$CF$的长为
2
.答案
2
∵ AD⊥BC,CE⊥AB,
∴ ∠AEF = ∠CEB = 90°,∠ADB = 90°,
∴ ∠BAD + ∠AFE = 90°,∠B + ∠BAD = 90°,
∴ ∠B = ∠AFE.在△FAE和△BCE中,$\begin{cases} ∠AEF = ∠CEB, \\ EF = EB, \\ ∠AFE = ∠B, \end{cases}$
∴ △FAE≌△BCE(ASA),
∴ AE = CE,
∴ CF = CE - EF = AE - EF = 2.
∵ AD⊥BC,CE⊥AB,
∴ ∠AEF = ∠CEB = 90°,∠ADB = 90°,
∴ ∠BAD + ∠AFE = 90°,∠B + ∠BAD = 90°,
∴ ∠B = ∠AFE.在△FAE和△BCE中,$\begin{cases} ∠AEF = ∠CEB, \\ EF = EB, \\ ∠AFE = ∠B, \end{cases}$
∴ △FAE≌△BCE(ASA),
∴ AE = CE,
∴ CF = CE - EF = AE - EF = 2.
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，可得两组直角相等；再根据同角的余角相等，推出∠AFE=∠B；结合已知EF=EB的条件，可通过ASA判定△AEF和△CEB全等；根据全等三角形对应边相等得到CE=AE，最后用CE的长度减去EF的长度即可求出CF的长。
【解析】
∵ AD⊥BC，CE⊥AB，
∴ ∠AEF = ∠CEB = 90°，∠ADB = 90°，
∴ ∠BAD + ∠AFE = 90°，∠B + ∠BAD = 90°，
∴ ∠B = ∠AFE。
在△FAE和△BCE中，
$\begin{cases} ∠AEF = ∠CEB, \\ EF = EB, \\ ∠AFE = ∠B, \end{cases}$
∴ △FAE≌△BCE（ASA），
∴ AE = CE，
∵ AE=8，EF=6，
∴ CF = CE - EF = AE - EF = 8 - 6 = 2。
【答案】
2
【知识点】
ASA判定全等三角形；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题是典型的利用全等三角形求解线段长度的题目，解题关键是通过互余关系找到相等的角，结合已知边相等证明三角形全等，再利用全等性质转化线段长度求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直条件入手，可得两组直角相等；再根据同角的余角相等，推出∠AFE=∠B；结合已知EF=EB的条件，可通过ASA判定△AEF和△CEB全等；根据全等三角形对应边相等得到CE=AE，最后用CE的长度减去EF的长度即可求出CF的长。
【解析】
∵ AD⊥BC，CE⊥AB，
∴ ∠AEF = ∠CEB = 90°，∠ADB = 90°，
∴ ∠BAD + ∠AFE = 90°，∠B + ∠BAD = 90°，
∴ ∠B = ∠AFE。
在△FAE和△BCE中，
$\begin{cases} ∠AEF = ∠CEB, \\ EF = EB, \\ ∠AFE = ∠B, \end{cases}$
∴ △FAE≌△BCE（ASA），
∴ AE = CE，
∵ AE=8，EF=6，
∴ CF = CE - EF = AE - EF = 8 - 6 = 2。
【答案】
2
【知识点】
ASA判定全等三角形；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题是典型的利用全等三角形求解线段长度的题目，解题关键是通过互余关系找到相等的角，结合已知边相等证明三角形全等，再利用全等性质转化线段长度求解。
【难度系数】
0.7
9.［2025扬州江都区期末］有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简便解法.根据以上文字，请解答问题：如图，已知$△ ABC$的面积为16 $\mathrm{cm}^2$，AD平分$∠ BAC$，且$AD ⊥ BD$于点D，连接CD，则$△ ADC$的面积为
8
$\mathrm{cm}^2$.答案
8
如图,延长BD,AC交于点E.
∵ AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,
∴ ∠BAD = ∠EAD,∠ADB = ∠ADE = 90°.
在△ABD和△AED中,$\begin{cases} ∠BAD = ∠EAD, \\ AD = AD, \\ ∠ADB = ∠ADE = 90°, \end{cases}$
∴ △ABD≌△AED(ASA),
∴ AB = AE,BD = DE,
∴ $S_{△ABD} = S_{△AED}$,$S_{△BDC} = S_{△EDC}$.设$S_{△EDC} = x \ \mathrm{cm}^2$.
∵ △ABC的面积为16 $\mathrm{cm}^2$,
∴ $S_{△ABE} = S_{△ABC} + S_{△BCE} = (16 + 2x) \ \mathrm{cm}^2$,
∴ $S_{△ADC} = S_{△ADE} - S_{△EDC} = \frac{1}{2}S_{△ABE} - S_{△EDC} = \frac{1}{2}(16 + 2x) - x = 8 \ (\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
遇到“角平分线+角边上的垂线”这类特征的图形，常用辅助线是延长垂线与角的另一边相交，构造全等三角形。本题中我们可延长BD交AC的延长线于点E，先通过角平分线和垂直的条件证明△ABD与△AED全等，得到D是BE中点，再利用等底同高的三角形面积相等的性质，结合已知△ABC的面积，通过面积和差推导即可求出△ADC的面积。
【解析】
如图，延长BD，AC交于点E。
∵ AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，
∴ ∠BAD = ∠EAD，∠ADB = ∠ADE = 90°。
在△ABD和△AED中，
$\begin{cases} ∠BAD = ∠EAD, \\ AD = AD, \\ ∠ADB = ∠ADE = 90°, \end{cases}$
∴ △ABD≌△AED(ASA)，
∴ BD = DE，
∴ $S_{△ABD} = S_{△AED}$，$S_{△BDC} = S_{△EDC}$（等底同高的三角形面积相等）。
设$S_{△EDC} = x \ \mathrm{cm}^2$，
∵ △ABC的面积为16 $\mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ABE} = S_{△ABC} + S_{△BCE} = (16 + 2x) \ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ADC} = S_{△ADE} - S_{△EDC} = \frac{1}{2}S_{△ABE} - S_{△EDC} = \frac{1}{2}(16 + 2x) - x = 8 \ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
8
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的构造辅助线求解的几何题，核心要掌握“角平分线+垂线”特征下构造全等三角形的辅助线思路，借助全等的性质得到线段相等，再结合三角形面积的相关性质关联已知条件和所求量，就能简化求解过程。
【难度系数】
0.6
遇到“角平分线+角边上的垂线”这类特征的图形，常用辅助线是延长垂线与角的另一边相交，构造全等三角形。本题中我们可延长BD交AC的延长线于点E，先通过角平分线和垂直的条件证明△ABD与△AED全等，得到D是BE中点，再利用等底同高的三角形面积相等的性质，结合已知△ABC的面积，通过面积和差推导即可求出△ADC的面积。
【解析】
如图，延长BD，AC交于点E。
∵ AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，
∴ ∠BAD = ∠EAD，∠ADB = ∠ADE = 90°。
在△ABD和△AED中，
$\begin{cases} ∠BAD = ∠EAD, \\ AD = AD, \\ ∠ADB = ∠ADE = 90°, \end{cases}$
∴ △ABD≌△AED(ASA)，
∴ BD = DE，
∴ $S_{△ABD} = S_{△AED}$，$S_{△BDC} = S_{△EDC}$（等底同高的三角形面积相等）。
设$S_{△EDC} = x \ \mathrm{cm}^2$，
∵ △ABC的面积为16 $\mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ABE} = S_{△ABC} + S_{△BCE} = (16 + 2x) \ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ADC} = S_{△ADE} - S_{△EDC} = \frac{1}{2}S_{△ABE} - S_{△EDC} = \frac{1}{2}(16 + 2x) - x = 8 \ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
8
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的构造辅助线求解的几何题，核心要掌握“角平分线+垂线”特征下构造全等三角形的辅助线思路，借助全等的性质得到线段相等，再结合三角形面积的相关性质关联已知条件和所求量，就能简化求解过程。
【难度系数】
0.6
10. [2025常州二十四中天宁分校月考]如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,点E在AD上,DE=DC,∠DEB=∠DCA,F为BC的中点,过点C作MC//BE,交EF的延长线于点M.
(1)求证:BE=AC.
(2)试判断线段AC与线段MC的位置关系与数量关系,并证明你的结论.
(1)求证:BE=AC.
(2)试判断线段AC与线段MC的位置关系与数量关系,并证明你的结论.
答案
(1)证明:
∵ AD⊥BC,
∴ ∠BDE = ∠ADC = 90°.
在△BDE和△ADC中,$\begin{cases} ∠DEB = ∠DCA, \\ DE = DC, \\ ∠BDE = ∠ADC, \end{cases}$
∴ △BDE≌△ADC(ASA),
∴ BE = AC.
(2)解:AC⊥MC且AC = MC.证明如下.
∵ MC//BE,
∴ ∠EBF = ∠MCF.
∵ F为BC的中点,
∴ BF = CF.
在△BFE和△CFM中,$\begin{cases} ∠EBF = ∠MCF, \\ BF = CF, \\ ∠BFE = ∠CFM, \end{cases}$
∴ △BFE≌△CFM(ASA),
∴ BE = MC,
∴ AC = MC.
∵ ∠DEB + ∠DBE = 90°,∠DEB = ∠DCA,∠EBF = ∠MCF,
∴ ∠MCF + ∠ACD = 90°,
∴ AC⊥MC.
∵ AD⊥BC,
∴ ∠BDE = ∠ADC = 90°.
在△BDE和△ADC中,$\begin{cases} ∠DEB = ∠DCA, \\ DE = DC, \\ ∠BDE = ∠ADC, \end{cases}$
∴ △BDE≌△ADC(ASA),
∴ BE = AC.
(2)解:AC⊥MC且AC = MC.证明如下.
∵ MC//BE,
∴ ∠EBF = ∠MCF.
∵ F为BC的中点,
∴ BF = CF.
在△BFE和△CFM中,$\begin{cases} ∠EBF = ∠MCF, \\ BF = CF, \\ ∠BFE = ∠CFM, \end{cases}$
∴ △BFE≌△CFM(ASA),
∴ BE = MC,
∴ AC = MC.
∵ ∠DEB + ∠DBE = 90°,∠DEB = ∠DCA,∠EBF = ∠MCF,
∴ ∠MCF + ∠ACD = 90°,
∴ AC⊥MC.
解析
【分析】
(1) 要证明线段相等，优先考虑证明线段所在的三角形全等。本题中BE在△BDE中，AC在△ADC中，已知AD⊥BC可得两个直角相等，再结合题目给出的∠DEB=∠DCA、DE=DC，满足ASA全等判定的条件，证得三角形全等后即可推出对应边BE=AC。
(2) 数量关系推导：已知MC//BE，F是BC中点，可通过ASA证明△BFE和△CFM全等，得到BE=MC，结合(1)的结论BE=AC，即可推出AC=MC；位置关系推导：要证垂直，只需证∠ACM=90°，利用直角三角形两锐角互余，结合全等对应角相等、平行线的性质做角的等量代换，即可证得∠ACD+∠MCF=90°，得到AC⊥MC。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD⊥BC，
∴ ∠BDE = ∠ADC = 90°。
在△BDE和△ADC中，
$\begin{cases} ∠DEB = ∠DCA, \\ DE = DC, \\ ∠BDE = ∠ADC, \end{cases}$
∴ △BDE≌△ADC(ASA)，
∴ BE = AC。
(2) 解：AC⊥MC且AC = MC，证明如下：
∵ MC//BE，
∴ ∠EBF = ∠MCF。
∵ F为BC的中点，
∴ BF = CF。
在△BFE和△CFM中，
$\begin{cases} ∠EBF = ∠MCF, \\ BF = CF, \\ ∠BFE = ∠CFM, \end{cases}$
∴ △BFE≌△CFM(ASA)，
∴ BE = MC，
结合(1)的结论BE=AC，可得AC = MC。
∵ 在Rt△BDE中，∠DEB + ∠DBE = 90°，
又
∵ ∠DEB = ∠DCA，∠EBF = ∠MCF，
∴ ∠MCF + ∠ACD = 90°，即∠ACM=90°，
∴ AC⊥MC。
【答案】
(1) BE=AC，证明成立；
(2) AC⊥MC且AC=MC。
【知识点】
ASA判定全等、全等三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查全等三角形判定与性质的综合应用，解题时可从结论倒推所需条件，同时注意前后小问的关联，前一问的结论可直接作为后一问的推理依据。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明线段相等，优先考虑证明线段所在的三角形全等。本题中BE在△BDE中，AC在△ADC中，已知AD⊥BC可得两个直角相等，再结合题目给出的∠DEB=∠DCA、DE=DC，满足ASA全等判定的条件，证得三角形全等后即可推出对应边BE=AC。
(2) 数量关系推导：已知MC//BE，F是BC中点，可通过ASA证明△BFE和△CFM全等，得到BE=MC，结合(1)的结论BE=AC，即可推出AC=MC；位置关系推导：要证垂直，只需证∠ACM=90°，利用直角三角形两锐角互余，结合全等对应角相等、平行线的性质做角的等量代换，即可证得∠ACD+∠MCF=90°，得到AC⊥MC。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD⊥BC，
∴ ∠BDE = ∠ADC = 90°。
在△BDE和△ADC中，
$\begin{cases} ∠DEB = ∠DCA, \\ DE = DC, \\ ∠BDE = ∠ADC, \end{cases}$
∴ △BDE≌△ADC(ASA)，
∴ BE = AC。
(2) 解：AC⊥MC且AC = MC，证明如下：
∵ MC//BE，
∴ ∠EBF = ∠MCF。
∵ F为BC的中点，
∴ BF = CF。
在△BFE和△CFM中，
$\begin{cases} ∠EBF = ∠MCF, \\ BF = CF, \\ ∠BFE = ∠CFM, \end{cases}$
∴ △BFE≌△CFM(ASA)，
∴ BE = MC，
结合(1)的结论BE=AC，可得AC = MC。
∵ 在Rt△BDE中，∠DEB + ∠DBE = 90°，
又
∵ ∠DEB = ∠DCA，∠EBF = ∠MCF，
∴ ∠MCF + ∠ACD = 90°，即∠ACM=90°，
∴ AC⊥MC。
【答案】
(1) BE=AC，证明成立；
(2) AC⊥MC且AC=MC。
【知识点】
ASA判定全等、全等三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查全等三角形判定与性质的综合应用，解题时可从结论倒推所需条件，同时注意前后小问的关联，前一问的结论可直接作为后一问的推理依据。
【难度系数】
0.7
11. 推理能力 用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成四边形ABCD. 把一个含$60°$角的三角板与这个四边形叠合,使三角板的$60°$角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合. 将该三角板绕点A逆时针方向旋转.
(1)当三角板的两边分别与四边形的两边BC,CD相交于点E,F时(如图1所示),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论? 并证明你的结论.
(2)当三角板分别与四边形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图2所示),你在(1)中得到的结论还成立吗? 请说明理由.
(1)当三角板的两边分别与四边形的两边BC,CD相交于点E,F时(如图1所示),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论? 并证明你的结论.
(2)当三角板分别与四边形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图2所示),你在(1)中得到的结论还成立吗? 请说明理由.
答案
解:(1)$BE = CF$. 证明如下.
∵ ∠BAE + ∠EAC = ∠CAF + ∠EAC = 60°,
∴ ∠BAE = ∠CAF.
在△ABE和△ACF中,$\begin{cases} ∠BAE = ∠CAF, \\ AB = AC, \\ ∠B = ∠ACF = 60°, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ACF(ASA),
∴ BE = CF.
(2)$BE = CF$仍然成立. 理由如下:
∵ ∠ACE = ∠B + ∠BAC = 120°,∠ADF = ∠ACD + ∠CAD = 120°,
∴ ∠ACE = ∠ADF.
∵ ∠CAE + ∠EAD = ∠EAD + ∠DAF = 60°,
∴ ∠CAE = ∠DAF.
在△ACE和△ADF中,$\begin{cases} ∠ACE = ∠ADF, \\ AC = AD, \\ ∠CAE = ∠DAF, \end{cases}$
∴ △ACE≌△ADF(ASA),
∴ CE = DF.
∵ BC = CD,
∴ BC + CE = CD + DF,
∴ BE = CF.
∵ ∠BAE + ∠EAC = ∠CAF + ∠EAC = 60°,
∴ ∠BAE = ∠CAF.
在△ABE和△ACF中,$\begin{cases} ∠BAE = ∠CAF, \\ AB = AC, \\ ∠B = ∠ACF = 60°, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ACF(ASA),
∴ BE = CF.
(2)$BE = CF$仍然成立. 理由如下:
∵ ∠ACE = ∠B + ∠BAC = 120°,∠ADF = ∠ACD + ∠CAD = 120°,
∴ ∠ACE = ∠ADF.
∵ ∠CAE + ∠EAD = ∠EAD + ∠DAF = 60°,
∴ ∠CAE = ∠DAF.
在△ACE和△ADF中,$\begin{cases} ∠ACE = ∠ADF, \\ AC = AD, \\ ∠CAE = ∠DAF, \end{cases}$
∴ △ACE≌△ADF(ASA),
∴ CE = DF.
∵ BC = CD,
∴ BC + CE = CD + DF,
∴ BE = CF.
解析
【分析】
(1) 要探究BE和CF的数量关系，可通过证明两条边所在的三角形全等推导：首先由全等的等边三角形性质，可得AB=AC，∠B=∠ACF=60°；再结合三角板60°角的特征，∠BAC=∠EAF=60°，两个角同时减去公共角∠EAC，即可得到相等的∠BAE=∠CAF，满足“角边角”的全等判定条件，证△ABE≌△ACF后即可得到边的关系。
(2) 判断结论是否成立，仍沿用全等证明的思路：首先由等边三角形性质得AC=AD，结合外角性质可推出∠ACE=∠ADF=120°；再由∠CAD=∠EAF=60°，两个角同时加上公共角∠EAD，可得∠CAE=∠DAF，证△ACE≌△ADF得到CE=DF，结合BC=CD，利用等式的性质即可推出BE=CF。
【解析】
(1) $BE = CF$，证明如下：
∵ $∠ BAE + ∠ EAC = ∠ CAF + ∠ EAC = 60°$,
∴ $∠ BAE = ∠ CAF$.
在$△ ABE$和$△ ACF$中,
$\begin{cases} ∠ BAE = ∠ CAF, \\ AB = AC, \\ ∠ B = ∠ ACF = 60°, \end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ACF$（ASA）,
∴ $BE = CF$.
(2) $BE = CF$仍然成立，理由如下：
∵ $∠ ACE = ∠ B + ∠ BAC = 60°+60°=120°$，$∠ ADF = ∠ ACD + ∠ CAD = 60°+60°=120°$,
∴ $∠ ACE = ∠ ADF$.
∵ $∠ CAE + ∠ EAD = ∠ EAD + ∠ DAF = 60°$,
∴ $∠ CAE = ∠ DAF$.
在$△ ACE$和$△ ADF$中,
$\begin{cases} ∠ ACE = ∠ ADF, \\ AC = AD, \\ ∠ CAE = ∠ DAF, \end{cases}$
∴ $△ ACE ≌ △ ADF$（ASA）,
∴ $CE = DF$.
∵ $BC = CD$,
∴ $BC + CE = CD + DF$,
即 $BE = CF$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{BE=CF}$；(2) $\boldsymbol{BE=CF}$仍然成立。
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质
【点评】
本题是几何动态探究题，将等边三角形、旋转与全等三角形相结合，需要学生从动态变化中找到不变的边角等量关系，第一问是基础的全等证明，第二问是图形变式后的类比探究，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要探究BE和CF的数量关系，可通过证明两条边所在的三角形全等推导：首先由全等的等边三角形性质，可得AB=AC，∠B=∠ACF=60°；再结合三角板60°角的特征，∠BAC=∠EAF=60°，两个角同时减去公共角∠EAC，即可得到相等的∠BAE=∠CAF，满足“角边角”的全等判定条件，证△ABE≌△ACF后即可得到边的关系。
(2) 判断结论是否成立，仍沿用全等证明的思路：首先由等边三角形性质得AC=AD，结合外角性质可推出∠ACE=∠ADF=120°；再由∠CAD=∠EAF=60°，两个角同时加上公共角∠EAD，可得∠CAE=∠DAF，证△ACE≌△ADF得到CE=DF，结合BC=CD，利用等式的性质即可推出BE=CF。
【解析】
(1) $BE = CF$，证明如下：
∵ $∠ BAE + ∠ EAC = ∠ CAF + ∠ EAC = 60°$,
∴ $∠ BAE = ∠ CAF$.
在$△ ABE$和$△ ACF$中,
$\begin{cases} ∠ BAE = ∠ CAF, \\ AB = AC, \\ ∠ B = ∠ ACF = 60°, \end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ACF$（ASA）,
∴ $BE = CF$.
(2) $BE = CF$仍然成立，理由如下：
∵ $∠ ACE = ∠ B + ∠ BAC = 60°+60°=120°$，$∠ ADF = ∠ ACD + ∠ CAD = 60°+60°=120°$,
∴ $∠ ACE = ∠ ADF$.
∵ $∠ CAE + ∠ EAD = ∠ EAD + ∠ DAF = 60°$,
∴ $∠ CAE = ∠ DAF$.
在$△ ACE$和$△ ADF$中,
$\begin{cases} ∠ ACE = ∠ ADF, \\ AC = AD, \\ ∠ CAE = ∠ DAF, \end{cases}$
∴ $△ ACE ≌ △ ADF$（ASA）,
∴ $CE = DF$.
∵ $BC = CD$,
∴ $BC + CE = CD + DF$,
即 $BE = CF$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{BE=CF}$；(2) $\boldsymbol{BE=CF}$仍然成立。
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质
【点评】
本题是几何动态探究题，将等边三角形、旋转与全等三角形相结合，需要学生从动态变化中找到不变的边角等量关系，第一问是基础的全等证明，第二问是图形变式后的类比探究，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
