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1. 如图，已知△ABC的六个元素，则在甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的是 （
A.甲和乙
B.乙和丙
C.只有乙
D.只有丙
B
）A.甲和乙
B.乙和丙
C.只有乙
D.只有丙
答案
在甲中,边长为a,c的边的夹角不是50°,所以甲不符合题意;在乙中,两边长分别为a,c且夹角为50°,符合“SAS”,所以乙符合题意;在丙中,两角分别是50°,72°,且72°角所对的边的长是a,符合“AAS”,所以丙符合题意.
解析
【分析】
要判断甲、乙、丙是否与△ABC全等，需结合全等三角形的判定定理（SAS、AAS、ASA、SSS），先明确△ABC的边角对应关系，再逐个比对三个三角形的边角对应是否符合判定条件即可。首先明确△ABC的信息：∠B=50°，夹∠B的两条边为BC=a、AB=c；∠A=72°，其对边为BC=a；∠C=58°。
【解析】
1. 分析甲三角形：甲中边长为a、c的边的夹角不是50°，50°角是边c的对角，不满足全等三角形的判定条件，因此甲与△ABC不全等；
2. 分析乙三角形：乙中两边长分别为a、c，且两边的夹角为50°，与△ABC中“边a、c夹50°角”的边角关系完全对应，符合SAS全等判定定理，因此乙与△ABC全等；
3. 分析丙三角形：丙中两个内角分别为50°、72°，且72°角所对的边长为a，与△ABC中“72°角对边为a”的边角关系对应，符合AAS全等判定定理，因此丙与△ABC全等。
综上，和△ABC全等的是乙和丙。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形判定；SAS判定；AAS判定
【点评】
本题重点考查全等三角形判定定理的实际应用，解题关键是准确匹配边与角的对应位置，切勿混淆夹角与对角的对应关系，否则容易出现判断失误。
【难度系数】
0.7
要判断甲、乙、丙是否与△ABC全等，需结合全等三角形的判定定理（SAS、AAS、ASA、SSS），先明确△ABC的边角对应关系，再逐个比对三个三角形的边角对应是否符合判定条件即可。首先明确△ABC的信息：∠B=50°，夹∠B的两条边为BC=a、AB=c；∠A=72°，其对边为BC=a；∠C=58°。
【解析】
1. 分析甲三角形：甲中边长为a、c的边的夹角不是50°，50°角是边c的对角，不满足全等三角形的判定条件，因此甲与△ABC不全等；
2. 分析乙三角形：乙中两边长分别为a、c，且两边的夹角为50°，与△ABC中“边a、c夹50°角”的边角关系完全对应，符合SAS全等判定定理，因此乙与△ABC全等；
3. 分析丙三角形：丙中两个内角分别为50°、72°，且72°角所对的边长为a，与△ABC中“72°角对边为a”的边角关系对应，符合AAS全等判定定理，因此丙与△ABC全等。
综上，和△ABC全等的是乙和丙。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形判定；SAS判定；AAS判定
【点评】
本题重点考查全等三角形判定定理的实际应用，解题关键是准确匹配边与角的对应位置，切勿混淆夹角与对角的对应关系，否则容易出现判断失误。
【难度系数】
0.7
2. 新趋势·条件开放 如图,点B,F,C,E在一条直线上,AB//ED,AC//FD,要使△ABC≌△DEF,只需添加一个条件,则这个条件可以是
AB = DE(答案不唯一)
.答案
∵ AB//ED,
∴ ∠B = ∠E.
∵ AC//DF,
∴ ∠ACB = ∠DFE. 在△ABC 和△DEF 中,$\begin{cases} ∠ACB = ∠DFE, \\ ∠B = ∠E, \\ AB = DE, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEF(AAS).
解析
【分析】
首先从已知的平行条件入手，根据平行线的性质可推导出两组对应角相等：由AB//ED可得∠B=∠E，由AC//FD可得∠ACB=∠DFE。此时两个三角形已经满足两组角对应相等，结合全等三角形的判定定理（AAS、ASA），只需再补充一组对应边相等的条件，即可证明△ABC≌△DEF。
【解析】
∵ AB//ED，
∴ ∠B = ∠E（两直线平行，同位角相等）。
∵ AC//DF，
∴ ∠ACB = ∠DFE（两直线平行，同位角相等）。
若添加条件AB=DE，在△ABC 和△DEF 中：
$\begin{cases} ∠B = ∠E \\ ∠ACB = ∠DFE \\ AB = DE \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEF(AAS)。
（注：添加BC=EF可通过ASA判定全等，添加AC=DF可通过AAS判定全等，添加BF=CE可推导得到BC=EF，均符合要求）
【答案】
AB=DE（答案不唯一，BC=EF、AC=DF、BF=CE等合理即可）
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题为条件开放类题目，需要先根据已知条件推导出已满足的全等条件，再结合全等判定定理补充缺失的条件，解题时要注意对应边匹配，避免出现边不对应的错误，很好地考查了基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先从已知的平行条件入手，根据平行线的性质可推导出两组对应角相等：由AB//ED可得∠B=∠E，由AC//FD可得∠ACB=∠DFE。此时两个三角形已经满足两组角对应相等，结合全等三角形的判定定理（AAS、ASA），只需再补充一组对应边相等的条件，即可证明△ABC≌△DEF。
【解析】
∵ AB//ED，
∴ ∠B = ∠E（两直线平行，同位角相等）。
∵ AC//DF，
∴ ∠ACB = ∠DFE（两直线平行，同位角相等）。
若添加条件AB=DE，在△ABC 和△DEF 中：
$\begin{cases} ∠B = ∠E \\ ∠ACB = ∠DFE \\ AB = DE \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEF(AAS)。
（注：添加BC=EF可通过ASA判定全等，添加AC=DF可通过AAS判定全等，添加BF=CE可推导得到BC=EF，均符合要求）
【答案】
AB=DE（答案不唯一，BC=EF、AC=DF、BF=CE等合理即可）
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题为条件开放类题目，需要先根据已知条件推导出已满足的全等条件，再结合全等判定定理补充缺失的条件，解题时要注意对应边匹配，避免出现边不对应的错误，很好地考查了基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3. [2025南通启东期中改编] 已知:如图,AB平分∠CAD.(要求:不添加辅助线)
(1)若要用“SAS”判定△ABC≌△ABD,则还需要添加的条件是
(2)若要用“ASA”判定△ABC≌△ABD,则还需要添加的条件是
(3)若要用“AAS”判定△ABC≌△ABD,则还需要添加的条件是
(1)若要用“SAS”判定△ABC≌△ABD,则还需要添加的条件是
AC = AD
;(2)若要用“ASA”判定△ABC≌△ABD,则还需要添加的条件是
∠ABC = ∠ABD
;(3)若要用“AAS”判定△ABC≌△ABD,则还需要添加的条件是
∠C = ∠D
.答案
(1)AC=AD;(2)∠ABC=∠ABD;(3)∠C=∠D
解析
【分析】
首先根据已知条件“AB平分∠CAD”，结合角平分线的定义可得∠CAB=∠DAB，同时△ABC和△ABD有公共边AB=AB，即已经具备一组角相等、一组边相等的条件。接下来对应三种全等判定定理的要求，补充缺失的条件即可：
1. SAS判定需要“两边及其夹角对应相等”，已有夹角∠CAB=∠DAB、夹边之一AB=AB，只需补充夹角的另一组对应边相等；
2. ASA判定需要“两角及其夹边对应相等”，已有夹边AB=AB、其中一个角∠CAB=∠DAB，只需补充夹边AB的另一组对应角相等；
3. AAS判定需要“两角及其中一角的对边对应相等”，已有一组角∠CAB=∠DAB、对边AB=AB，只需补充剩下的一组对应角相等。
【解析】
∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB，又AB是△ABC和△ABD的公共边，
∴AB=AB。
(1) 用“SAS”判定全等：
SAS要求两边及夹角对应相等，现有夹角∠CAB=∠DAB、边AB=AB，因此需添加AC=AD，此时：
$\{\begin{array}{l}AC=AD\\∠ CAB=∠ DAB\\AB=AB\end{array} $，满足SAS判定条件。
(2) 用“ASA”判定全等：
ASA要求两角及夹边对应相等，现有夹边AB=AB、角∠CAB=∠DAB，因此需添加∠ABC=∠ABD，此时：
$\{\begin{array}{l}∠ CAB=∠ DAB\\AB=AB\\∠ ABC=∠ ABD\end{array} $，满足ASA判定条件。
(3) 用“AAS”判定全等：
AAS要求两角及其中一角的对边对应相等，现有角∠CAB=∠DAB、对边AB=AB，因此需添加∠C=∠D，此时：
$\{\begin{array}{l}∠ C=∠ D\\∠ CAB=∠ DAB\\AB=AB\end{array} $，满足AAS判定条件。
【答案】
(1)AC=AD；(2)∠ABC=∠ABD；(3)∠C=∠D
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题时需先梳理已知的边角条件，再结合对应判定定理的要求准确补充缺失条件，要注意区分不同判定定理中边角的顺序和对应关系，避免混淆判定规则。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件“AB平分∠CAD”，结合角平分线的定义可得∠CAB=∠DAB，同时△ABC和△ABD有公共边AB=AB，即已经具备一组角相等、一组边相等的条件。接下来对应三种全等判定定理的要求，补充缺失的条件即可：
1. SAS判定需要“两边及其夹角对应相等”，已有夹角∠CAB=∠DAB、夹边之一AB=AB，只需补充夹角的另一组对应边相等；
2. ASA判定需要“两角及其夹边对应相等”，已有夹边AB=AB、其中一个角∠CAB=∠DAB，只需补充夹边AB的另一组对应角相等；
3. AAS判定需要“两角及其中一角的对边对应相等”，已有一组角∠CAB=∠DAB、对边AB=AB，只需补充剩下的一组对应角相等。
【解析】
∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB，又AB是△ABC和△ABD的公共边，
∴AB=AB。
(1) 用“SAS”判定全等：
SAS要求两边及夹角对应相等，现有夹角∠CAB=∠DAB、边AB=AB，因此需添加AC=AD，此时：
$\{\begin{array}{l}AC=AD\\∠ CAB=∠ DAB\\AB=AB\end{array} $，满足SAS判定条件。
(2) 用“ASA”判定全等：
ASA要求两角及夹边对应相等，现有夹边AB=AB、角∠CAB=∠DAB，因此需添加∠ABC=∠ABD，此时：
$\{\begin{array}{l}∠ CAB=∠ DAB\\AB=AB\\∠ ABC=∠ ABD\end{array} $，满足ASA判定条件。
(3) 用“AAS”判定全等：
AAS要求两角及其中一角的对边对应相等，现有角∠CAB=∠DAB、对边AB=AB，因此需添加∠C=∠D，此时：
$\{\begin{array}{l}∠ C=∠ D\\∠ CAB=∠ DAB\\AB=AB\end{array} $，满足AAS判定条件。
【答案】
(1)AC=AD；(2)∠ABC=∠ABD；(3)∠C=∠D
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题时需先梳理已知的边角条件，再结合对应判定定理的要求准确补充缺失条件，要注意区分不同判定定理中边角的顺序和对应关系，避免混淆判定规则。
【难度系数】
0.8
4. [2026徐州期中]已知:如图,$AC=CD,∠B=∠E=90°,AC⊥CD$,则下列不一定正确的结论是（
A.$∠A$与$∠D$互为余角
B.$∠A=∠2$
C.$△ABC≌△CED$
D.$∠1=∠2$
D
）A.$∠A$与$∠D$互为余角
B.$∠A=∠2$
C.$△ABC≌△CED$
D.$∠1=∠2$
答案
∵ AC ⊥ CD,
∴ ∠1 + ∠2 = 90°.
∵ ∠B = 90°,
∴ ∠1 + ∠A = 90°,
∴ ∠A = ∠2. 又
∵ AC = CD, ∠B = ∠E = 90°,
∴ △ABC≌△CED(AAS),故 B,C 选项正确.
∵ ∠2 + ∠D = 90°,
∴ ∠A + ∠D = 90°,故 A 选项正确.
∵ ∠A = ∠2,∠1 与∠A 不一定相等,
∴ ∠1 不一定等于∠2,故 D 选项不一定正确.
解析
【分析】首先梳理题目已知条件：∠B和∠E均为直角，AC⊥CD，AC=CD。解题时先从角的数量关系入手：根据平角为180°、AC⊥CD可得∠1+∠2=90°，再结合直角三角形两锐角互余，可推出∠A和∠2相等；接着结合已知的AC=CD、∠B=∠E，可判定两个三角形全等，再根据全等的性质和余角的性质逐一判断四个选项，找出不一定成立的结论即可。
【解析】
∵ $AC ⊥ CD$，
∴ $∠ACD=90°$，
∴ $∠1 + ∠2 = 180°-∠ACD=90°$。
∵ $∠B = 90°$，
∴ $∠1 + ∠A = 90°$，根据同角的余角相等，可得$∠A = ∠2$，故B选项正确。
在$△ ABC$和$△ CED$中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠E=90° \\∠A=∠2 \\AC=CD\end{array} $
∴ $△ ABC≌△ CED(\mathrm{AAS})$，故C选项正确。
∵ $∠E=90°$，
∴ $∠2 + ∠D = 90°$，
又
∵$∠A=∠2$，
∴ $∠A + ∠D = 90°$，即∠A与∠D互为余角，故A选项正确。
由已知条件仅能推出$∠A=∠2$，$∠1+∠A=90°$，没有条件证明$∠1=∠A$，因此∠1和∠2不一定相等，故D选项不一定正确。
【答案】D
【知识点】全等三角形的AAS判定；余角的性质；直角三角形的性质
【点评】本题属于基础的几何综合题，解题的关键是先利用垂直和直角的条件推导角的等量关系，再结合边相等判定三角形全等，逐一验证选项即可，注意题目要求选“不一定正确”的结论，避免看错题干失分。
【难度系数】0.7
【解析】
∵ $AC ⊥ CD$，
∴ $∠ACD=90°$，
∴ $∠1 + ∠2 = 180°-∠ACD=90°$。
∵ $∠B = 90°$，
∴ $∠1 + ∠A = 90°$，根据同角的余角相等，可得$∠A = ∠2$，故B选项正确。
在$△ ABC$和$△ CED$中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠E=90° \\∠A=∠2 \\AC=CD\end{array} $
∴ $△ ABC≌△ CED(\mathrm{AAS})$，故C选项正确。
∵ $∠E=90°$，
∴ $∠2 + ∠D = 90°$，
又
∵$∠A=∠2$，
∴ $∠A + ∠D = 90°$，即∠A与∠D互为余角，故A选项正确。
由已知条件仅能推出$∠A=∠2$，$∠1+∠A=90°$，没有条件证明$∠1=∠A$，因此∠1和∠2不一定相等，故D选项不一定正确。
【答案】D
【知识点】全等三角形的AAS判定；余角的性质；直角三角形的性质
【点评】本题属于基础的几何综合题，解题的关键是先利用垂直和直角的条件推导角的等量关系，再结合边相等判定三角形全等，逐一验证选项即可，注意题目要求选“不一定正确”的结论，避免看错题干失分。
【难度系数】0.7
5. [2026南京金陵中学仙林分校月考] 如图,点A,B,C,D在一条直线上,EA//FB,EC//FD,EA=FB.求证:AB=CD.
答案
证明:
∵ EA//FB,
∴ ∠A = ∠FBD.
∵ EC//FD,
∴ ∠D = ∠ECA.
在△EAC 和△FBD 中,$\begin{cases} ∠ECA = ∠D, \\ ∠A = ∠FBD, \\ AE = BF, \end{cases}$
∴ △EAC≌△FBD(AAS),
∴ AC = BD,
∴ AB + BC = BC + CD,
∴ AB = CD.
∵ EA//FB,
∴ ∠A = ∠FBD.
∵ EC//FD,
∴ ∠D = ∠ECA.
在△EAC 和△FBD 中,$\begin{cases} ∠ECA = ∠D, \\ ∠A = ∠FBD, \\ AE = BF, \end{cases}$
∴ △EAC≌△FBD(AAS),
∴ AC = BD,
∴ AB + BC = BC + CD,
∴ AB = CD.
解析
【分析】
要证明AB=CD，结合点A、B、C、D共线的条件，可得AC=AB+BC，BD=BC+CD，因此只需证AC=BD即可。观察图形可知AC、BD分别是△EAC和△FBD的边，因此可通过证明两个三角形全等得到对应边相等。首先根据平行线的性质，由EA//FB可得同位角∠A=∠FBD，由EC//FD可得同位角∠ECA=∠D，再结合已知EA=FB，即可用“AAS”判定△EAC≌△FBD，得到AC=BD后，两边同时减去公共线段BC，即可推出AB=CD。
【解析】
证明:
∵ EA//FB,
∴ ∠A = ∠FBD.
∵ EC//FD,
∴ ∠D = ∠ECA.
在△EAC 和△FBD 中,
$\begin{cases} ∠ECA = ∠D, \\ ∠A = ∠FBD, \\ AE = BF, \end{cases}$
∴ △EAC≌△FBD(AAS),
∴ AC = BD,
∴ AB + BC = BC + CD,
∴ AB = CD.
【答案】
AB=CD
【知识点】
平行线的性质；AAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是通过全等证明线段相等的基础题，解题关键是利用平行线性质得到全等所需的等角条件，结合已知边相等判定三角形全等后，再通过线段的和差关系推导结论，要注意公共线段在和差转化中的作用。
【难度系数】
0.7
要证明AB=CD，结合点A、B、C、D共线的条件，可得AC=AB+BC，BD=BC+CD，因此只需证AC=BD即可。观察图形可知AC、BD分别是△EAC和△FBD的边，因此可通过证明两个三角形全等得到对应边相等。首先根据平行线的性质，由EA//FB可得同位角∠A=∠FBD，由EC//FD可得同位角∠ECA=∠D，再结合已知EA=FB，即可用“AAS”判定△EAC≌△FBD，得到AC=BD后，两边同时减去公共线段BC，即可推出AB=CD。
【解析】
证明:
∵ EA//FB,
∴ ∠A = ∠FBD.
∵ EC//FD,
∴ ∠D = ∠ECA.
在△EAC 和△FBD 中,
$\begin{cases} ∠ECA = ∠D, \\ ∠A = ∠FBD, \\ AE = BF, \end{cases}$
∴ △EAC≌△FBD(AAS),
∴ AC = BD,
∴ AB + BC = BC + CD,
∴ AB = CD.
【答案】
AB=CD
【知识点】
平行线的性质；AAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是通过全等证明线段相等的基础题，解题关键是利用平行线性质得到全等所需的等角条件，结合已知边相等判定三角形全等后，再通过线段的和差关系推导结论，要注意公共线段在和差转化中的作用。
【难度系数】
0.7
6. ▶教材P22练习T2变式 如图,在△ABC中,AB = AC,BD,CE是△ABC的两条高线.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)求证:BE = CD.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)求证:BE = CD.
答案
证明:(1)
∵ BD,CE 是△ABC 的两条高线,
∴ ∠AEC = ∠ADB = 90°.
在△ABD 和△ACE 中,$\begin{cases} ∠ADB = ∠AEC, \\ ∠A = ∠A, \\ AB = AC, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(AAS).
(2)
∵ △ABD≌△ACE,
∴ AD = AE.
又
∵ AB = AC,
∴ AB - AE = AC - AD,
∴ BE = CD.
∵ BD,CE 是△ABC 的两条高线,
∴ ∠AEC = ∠ADB = 90°.
在△ABD 和△ACE 中,$\begin{cases} ∠ADB = ∠AEC, \\ ∠A = ∠A, \\ AB = AC, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(AAS).
(2)
∵ △ABD≌△ACE,
∴ AD = AE.
又
∵ AB = AC,
∴ AB - AE = AC - AD,
∴ BE = CD.
解析
【分析】
(1)要证明△ABD≌△ACE，首先根据高线的定义可得两个三角形都含有90°角，即∠ADB=∠AEC，再找到两个三角形的公共角∠A相等，结合已知条件AB=AC，刚好满足“角角边(AAS)”的全等判定条件，即可完成证明。
(2)要证明BE=CD，可先利用第一问的全等结论得到对应边AD=AE，再结合已知AB=AC，将两组等边分别作差，即可推导出BE=CD。
【解析】
(1)
∵ BD，CE是△ABC的两条高线，
∴ ∠AEC = ∠ADB = 90°。
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases}∠ADB = ∠AEC, \\∠A = ∠A, \\AB = AC,\end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(AAS)。
(2)
∵ △ABD≌△ACE，
∴ AD = AE。
又
∵ AB = AC，
∴ AB - AE = AC - AD，
∴ BE = CD。
【答案】
(1) 证明：
∵ BD,CE 是△ABC 的两条高线,
∴ ∠AEC = ∠ADB = 90°.
在△ABD 和△ACE 中,$\begin{cases} ∠ADB = ∠AEC, \\ ∠A = ∠A, \\ AB = AC, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(AAS).
(2) 证明：
∵ △ABD≌△ACE,
∴ AD = AE.
又
∵ AB = AC,
∴ AB - AE = AC - AD,
∴ BE = CD.
【知识点】
AAS判定全等、全等三角形的性质、三角形高线的定义
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用类题目，解题的关键是从已知条件中梳理出全等判定需要的对应角、对应边相等的条件，再结合全等的性质推导线段关系，侧重对基础定理的掌握和运用考察。
【难度系数】
0.85
(1)要证明△ABD≌△ACE，首先根据高线的定义可得两个三角形都含有90°角，即∠ADB=∠AEC，再找到两个三角形的公共角∠A相等，结合已知条件AB=AC，刚好满足“角角边(AAS)”的全等判定条件，即可完成证明。
(2)要证明BE=CD，可先利用第一问的全等结论得到对应边AD=AE，再结合已知AB=AC，将两组等边分别作差，即可推导出BE=CD。
【解析】
(1)
∵ BD，CE是△ABC的两条高线，
∴ ∠AEC = ∠ADB = 90°。
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases}∠ADB = ∠AEC, \\∠A = ∠A, \\AB = AC,\end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(AAS)。
(2)
∵ △ABD≌△ACE，
∴ AD = AE。
又
∵ AB = AC，
∴ AB - AE = AC - AD，
∴ BE = CD。
【答案】
(1) 证明：
∵ BD,CE 是△ABC 的两条高线,
∴ ∠AEC = ∠ADB = 90°.
在△ABD 和△ACE 中,$\begin{cases} ∠ADB = ∠AEC, \\ ∠A = ∠A, \\ AB = AC, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(AAS).
(2) 证明：
∵ △ABD≌△ACE,
∴ AD = AE.
又
∵ AB = AC,
∴ AB - AE = AC - AD,
∴ BE = CD.
【知识点】
AAS判定全等、全等三角形的性质、三角形高线的定义
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用类题目，解题的关键是从已知条件中梳理出全等判定需要的对应角、对应边相等的条件，再结合全等的性质推导线段关系，侧重对基础定理的掌握和运用考察。
【难度系数】
0.85
7. [2026 南通市直学校期中] 如图，某海盗船静止时，转轴 B 到地面的距离 $BD = 15\ \mathrm{m}$. 当海盗船的船头在 A 处时，$AC ⊥ BD$，测得此时点 A 到地面的距离 $AE = 9\ \mathrm{m}$. 当船头从 A 处摆动到 A'处时，$A'B ⊥ AB$，则点 A'到 BD 的距离为多少米？
答案
解:如图,过点A作A'F⊥BD于点F.
∵ AC⊥BD,A'B⊥AB,
∴ ∠FBA' + ∠FBA = ∠CAB + ∠FBA = 90°, ∠A' FB = ∠ACB = 90°,
∴ ∠FBA' = ∠CAB.
在△FBA'和△CAB 中,$\begin{cases} ∠FBA' = ∠CAB, \\ ∠A'FB = ∠BCA, \\ A'B = BA, \end{cases}$
∴ △FBA'≌△CAB(AAS),
∴ A'F = BC.
∵ AC⊥BD,BD⊥DE,
∴ AC//DE.
∵ AE⊥DE,BD⊥DE,
∴ CD = AE = 9 m.
∵ BD = 15 m,
∴ BC = BD - CD = 6 m,
∴ A'F = 6 m,即点A'到 BD 的距离为6 m.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确求点A'到BD的距离，需过A'作BD的垂线段A'F，所求即为A'F的长度。首先由海盗船摆动的特征得A'B=AB，结合已知A'B⊥AB、AC⊥BD，利用同角的余角相等可得∠FBA'=∠CAB，再加两组直角相等，即可通过AAS证明△FBA'≌△CAB，推得A'F=BC。接下来求BC的长度：由AC、BD、AE均垂直于水平地面，可得AC//DE，AE、CD均为平行线AC与DE间的垂线段，因此CD=AE=9m，再结合BD=15m，用BD减去CD即可求出BC的长度，也就得到了A'F的长度，即点A'到BD的距离。
【解析】
解：如图，过点A'作A'F⊥BD于点F。
∵ AC⊥BD，A'B⊥AB，
∴ ∠FBA' + ∠FBA = ∠CAB + ∠FBA = 90°，∠A'FB = ∠ACB = 90°，
∴ ∠FBA' = ∠CAB。
在△FBA'和△CAB 中，
$\begin{cases} ∠FBA' = ∠CAB, \\ ∠A'FB = ∠BCA, \\ A'B = BA, \end{cases}$
∴ △FBA'≌△CAB(AAS)，
∴ A'F = BC。
∵ AC⊥BD，BD⊥DE，
∴ AC//DE。
∵ AE⊥DE，BD⊥DE，
∴ CD = AE = 9 m。
∵ BD = 15 m，
∴ BC = BD - CD = 15 - 9 = 6 m，
∴ A'F = 6 m。
【答案】
点A'到BD的距离为$\boxed{6}$米。
【知识点】
AAS证全等；全等三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的综合应用，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，再通过线段的等量关系求解，能很好地锻炼学生的图形分析能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确求点A'到BD的距离，需过A'作BD的垂线段A'F，所求即为A'F的长度。首先由海盗船摆动的特征得A'B=AB，结合已知A'B⊥AB、AC⊥BD，利用同角的余角相等可得∠FBA'=∠CAB，再加两组直角相等，即可通过AAS证明△FBA'≌△CAB，推得A'F=BC。接下来求BC的长度：由AC、BD、AE均垂直于水平地面，可得AC//DE，AE、CD均为平行线AC与DE间的垂线段，因此CD=AE=9m，再结合BD=15m，用BD减去CD即可求出BC的长度，也就得到了A'F的长度，即点A'到BD的距离。
【解析】
解：如图，过点A'作A'F⊥BD于点F。
∵ AC⊥BD，A'B⊥AB，
∴ ∠FBA' + ∠FBA = ∠CAB + ∠FBA = 90°，∠A'FB = ∠ACB = 90°，
∴ ∠FBA' = ∠CAB。
在△FBA'和△CAB 中，
$\begin{cases} ∠FBA' = ∠CAB, \\ ∠A'FB = ∠BCA, \\ A'B = BA, \end{cases}$
∴ △FBA'≌△CAB(AAS)，
∴ A'F = BC。
∵ AC⊥BD，BD⊥DE，
∴ AC//DE。
∵ AE⊥DE，BD⊥DE，
∴ CD = AE = 9 m。
∵ BD = 15 m，
∴ BC = BD - CD = 15 - 9 = 6 m，
∴ A'F = 6 m。
【答案】
点A'到BD的距离为$\boxed{6}$米。
【知识点】
AAS证全等；全等三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的综合应用，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，再通过线段的等量关系求解，能很好地锻炼学生的图形分析能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
