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【例1】对于实数$a$,$b$,定义运算“$\otimes$”为$a\otimes b = b^2 - ab$.例如：$3\otimes 2 = 2^2 - 3×2 = -2$.关于$x$的方程$(k-3)\otimes x = k -1$的根的情况，下列说法正确的是（）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
【点拨】方程$(k-3)\otimes x = k -1$可化为$x^2 - (k-3)x -k +1 =0$，$\therefore \Delta = [-(k-3)]^2 -4×1×(-k+1)=(k-1)^2 +4＞0$，$\therefore$关于$x$的方程$(k-3)\otimes x = k -1$有两个不相等的实数根.
【答案】A
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
【点拨】方程$(k-3)\otimes x = k -1$可化为$x^2 - (k-3)x -k +1 =0$，$\therefore \Delta = [-(k-3)]^2 -4×1×(-k+1)=(k-1)^2 +4＞0$，$\therefore$关于$x$的方程$(k-3)\otimes x = k -1$有两个不相等的实数根.
【答案】A
答案
A
解析
【分析】
本题是新定义运算结合一元二次方程根的判别式的综合题，解题思路如下：第一步先根据题干给出的“⊗”运算规则，将方程左侧的$(k-3)\otimes x$转化为常规代数式，再将方程整理为一元二次方程的一般形式；第二步回忆一元二次方程根的情况与判别式$\Delta$的关系，计算该方程的判别式，通过配方结合平方的非负性判断$\Delta$的正负，即可得出根的情况。
【解析】
根据定义的运算规则$a\otimes b = b^2 - ab$，其中$a=k-3$，$b=x$，可得：
$(k-3)\otimes x = x^2 - (k-3)x$
代入原方程得：
$x^2 - (k-3)x = k -1$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - (k-3)x -k +1 = 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=1$，$b=-(k-3)$，$c=-k+1$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta &= [-(k-3)]^2 - 4×1×(-k+1) \\&= k^2 -6k +9 +4k -4 \\&= k^2 -2k +5 \\&= (k-1)^2 +4\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(k-1)^2≥0$
∴ $(k-1)^2 +4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta＞0$
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算、一元二次方程根的判别式、完全平方的非负性
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程的知识结合，既考查了对新运算规则的转化能力，也考查了根的判别式的应用，解题核心是准确将新运算转化为常规代数式，再结合判别式的性质判断根的情况，属于常见的基础综合题型。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算结合一元二次方程根的判别式的综合题，解题思路如下：第一步先根据题干给出的“⊗”运算规则，将方程左侧的$(k-3)\otimes x$转化为常规代数式，再将方程整理为一元二次方程的一般形式；第二步回忆一元二次方程根的情况与判别式$\Delta$的关系，计算该方程的判别式，通过配方结合平方的非负性判断$\Delta$的正负，即可得出根的情况。
【解析】
根据定义的运算规则$a\otimes b = b^2 - ab$，其中$a=k-3$，$b=x$，可得：
$(k-3)\otimes x = x^2 - (k-3)x$
代入原方程得：
$x^2 - (k-3)x = k -1$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - (k-3)x -k +1 = 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=1$，$b=-(k-3)$，$c=-k+1$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta &= [-(k-3)]^2 - 4×1×(-k+1) \\&= k^2 -6k +9 +4k -4 \\&= k^2 -2k +5 \\&= (k-1)^2 +4\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(k-1)^2≥0$
∴ $(k-1)^2 +4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta＞0$
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算、一元二次方程根的判别式、完全平方的非负性
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程的知识结合，既考查了对新运算规则的转化能力，也考查了根的判别式的应用，解题核心是准确将新运算转化为常规代数式，再结合判别式的性质判断根的情况，属于常见的基础综合题型。
【难度系数】
0.7
【例2】(2025—2026高安检测)若关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^2 - x + 2 = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是.
【点拨】由题意，得$(-1)^2 - 4(k-1)×2＞0$，且$k-1≠0$，解得$k＜\frac{9}{8}$且$k≠1$.
【解】$k＜\frac{9}{8}$且$k≠1$
【点拨】由题意，得$(-1)^2 - 4(k-1)×2＞0$，且$k-1≠0$，解得$k＜\frac{9}{8}$且$k≠1$.
【解】$k＜\frac{9}{8}$且$k≠1$
答案
解：
∵ 方程$(k-1)x^2 - x + 2 = 0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即 $k-1 ≠ 0$，
解得 $k ≠ 1$。
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta ＞ 0$，
$\Delta = (-1)^2 - 4(k-1)×2 = 1 - 8(k-1)$，
即 $1 - 8(k-1) ＞ 0$，
化简得 $9 - 8k ＞ 0$，
解得 $k ＜ \frac{9}{8}$。
综上，$k$的取值范围是 $k ＜ \frac{9}{8}$ 且 $k ≠ 1$。
∵ 方程$(k-1)x^2 - x + 2 = 0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即 $k-1 ≠ 0$，
解得 $k ≠ 1$。
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta ＞ 0$，
$\Delta = (-1)^2 - 4(k-1)×2 = 1 - 8(k-1)$，
即 $1 - 8(k-1) ＞ 0$，
化简得 $9 - 8k ＞ 0$，
解得 $k ＜ \frac{9}{8}$。
综上，$k$的取值范围是 $k ＜ \frac{9}{8}$ 且 $k ≠ 1$。
解析
【分析】
要解决这道题，需同时满足两个核心条件：① 题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程退化为一次方程，不可能有两个实数根；② 方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，此时判别式Δ＞0。我们先分别根据这两个条件列出不等式，求解后取两个解集的公共部分，就是k的取值范围。
【解析】
∵ 方程$(k-1)x^2 - x + 2 = 0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即 $k-1 ≠ 0$，
解得 $k ≠ 1$。
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta ＞ 0$，
计算判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4(k-1)×2 = 1 - 8(k-1)$，
即 $1 - 8(k-1) ＞ 0$，
化简得 $9 - 8k ＞ 0$，
解得 $k ＜ \frac{9}{8}$。
综上，$k$的取值范围是 $k ＜ \frac{9}{8}$ 且 $k ≠ 1$。
【答案】
$k＜\frac{9}{8}$且$k≠1$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式应用的常见题型，易错点为忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，解题时需先确定方程的类型，再结合根的情况列不等式求解，最后取多个限制条件的公共解集。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需同时满足两个核心条件：① 题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程退化为一次方程，不可能有两个实数根；② 方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，此时判别式Δ＞0。我们先分别根据这两个条件列出不等式，求解后取两个解集的公共部分，就是k的取值范围。
【解析】
∵ 方程$(k-1)x^2 - x + 2 = 0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即 $k-1 ≠ 0$，
解得 $k ≠ 1$。
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta ＞ 0$，
计算判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4(k-1)×2 = 1 - 8(k-1)$，
即 $1 - 8(k-1) ＞ 0$，
化简得 $9 - 8k ＞ 0$，
解得 $k ＜ \frac{9}{8}$。
综上，$k$的取值范围是 $k ＜ \frac{9}{8}$ 且 $k ≠ 1$。
【答案】
$k＜\frac{9}{8}$且$k≠1$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式应用的常见题型，易错点为忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，解题时需先确定方程的类型，再结合根的情况列不等式求解，最后取多个限制条件的公共解集。
【难度系数】
0.7
1. 一元二次方程$x^2 -5x +2=0$根的判别式的值是 （
A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
C
）A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的计算，解题思路如下：第一步，先回忆一元二次方程根的判别式公式：对于一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$；第二步，从给定的方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数要带上前面的符号；第三步，将三个系数代入判别式公式，正确计算出结果即可匹配选项。
【解析】
首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式公式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
对于方程$x^2 -5x +2=0$，对应可得：$a=1$，$b=-5$，$c=2$。
将系数代入判别式公式计算：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 = 17$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程各项系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对根的判别式公式的掌握与应用能力，解题的易错点在于提取一次项系数时容易遗漏负号，或计算时出现算术错误，只要熟记公式、准确提取系数、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程根的判别式的计算，解题思路如下：第一步，先回忆一元二次方程根的判别式公式：对于一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$；第二步，从给定的方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数要带上前面的符号；第三步，将三个系数代入判别式公式，正确计算出结果即可匹配选项。
【解析】
首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式公式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
对于方程$x^2 -5x +2=0$，对应可得：$a=1$，$b=-5$，$c=2$。
将系数代入判别式公式计算：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 = 17$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程各项系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对根的判别式公式的掌握与应用能力，解题的易错点在于提取一次项系数时容易遗漏负号，或计算时出现算术错误，只要熟记公式、准确提取系数、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
2. 一元二次方程$x^2 - 2x - c = 0$能用公式法求解的前提是 （
A.$c=1$
B.$c≥1$
C.$c≥-1$
D.$c≤-1$
C
）A.$c=1$
B.$c≥1$
C.$c≥-1$
D.$c≤-1$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程能用公式法求解的核心前提：方程有实数根，即根的判别式Δ≥0。接下来我们只需要找出给定方程的各项系数，代入判别式公式列出关于c的不等式，解不等式就能得到c的取值范围，对应选项选出答案即可。注意计算判别式时要准确识别常数项的符号，避免出错。
【解析】
一元二次方程能用公式法求解的前提是根的判别式$\Delta ≥ 0$。
对于方程$x^2 - 2x - c = 0$，其二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项为$-c$，代入判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × (-c) = 4 + 4c$
令$\Delta ≥ 0$，即：
$4 + 4c ≥ 0$
解这个不等式：
$4c ≥ -4$
$c ≥ -1$
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 公式法解一元二次方程
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，重点考查一元二次方程公式法求解的适用条件，解题的关键是正确识别方程各项系数，准确计算判别式，列不等式求解时注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程能用公式法求解的核心前提：方程有实数根，即根的判别式Δ≥0。接下来我们只需要找出给定方程的各项系数，代入判别式公式列出关于c的不等式，解不等式就能得到c的取值范围，对应选项选出答案即可。注意计算判别式时要准确识别常数项的符号，避免出错。
【解析】
一元二次方程能用公式法求解的前提是根的判别式$\Delta ≥ 0$。
对于方程$x^2 - 2x - c = 0$，其二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项为$-c$，代入判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × (-c) = 4 + 4c$
令$\Delta ≥ 0$，即：
$4 + 4c ≥ 0$
解这个不等式：
$4c ≥ -4$
$c ≥ -1$
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 公式法解一元二次方程
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，重点考查一元二次方程公式法求解的适用条件，解题的关键是正确识别方程各项系数，准确计算判别式，列不等式求解时注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.8
3. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（
A.$x^2 +1=0$
B.$x^2 -2x +1=0$
C.$x^2 +x +1=0$
D.$x^2 +x -1=0$
D
）A.$x^2 +1=0$
B.$x^2 -2x +1=0$
C.$x^2 +x +1=0$
D.$x^2 +x -1=0$
答案
D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的判别式的相关规则：对于标准形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），判别式$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。接下来只需逐个计算四个选项方程的判别式，筛选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，逐个分析选项：
A. 方程$x^2+1=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=1$，$\Delta = 0^2 - 4×1×1 = -4 ＜ 0$，无实数根，不符合要求；
B. 方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$，$\Delta = (-2)^2 - 4×1×1 = 0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
C. 方程$x^2+x+1=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=1$，$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = -3 ＜ 0$，无实数根，不符合要求；
D. 方程$x^2+x-1=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=-1$，$\Delta = 1^2 - 4×1×(-1) = 5 ＞ 0$，有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心是对根的判别式的直接应用，只要牢记判别式取值与方程根的情况的对应关系，准确计算判别式的值就能快速得出答案，是对基础知识点掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的判别式的相关规则：对于标准形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），判别式$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。接下来只需逐个计算四个选项方程的判别式，筛选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，逐个分析选项：
A. 方程$x^2+1=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=1$，$\Delta = 0^2 - 4×1×1 = -4 ＜ 0$，无实数根，不符合要求；
B. 方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$，$\Delta = (-2)^2 - 4×1×1 = 0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
C. 方程$x^2+x+1=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=1$，$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = -3 ＜ 0$，无实数根，不符合要求；
D. 方程$x^2+x-1=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=-1$，$\Delta = 1^2 - 4×1×(-1) = 5 ＞ 0$，有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心是对根的判别式的直接应用，只要牢记判别式取值与方程根的情况的对应关系，准确计算判别式的值就能快速得出答案，是对基础知识点掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.8
4. 下列方程中,无实数根的是 (
A.$x^2 - x - 2 = 0$
B.$3x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$(x - 2)^2 = 0$
D.$(x - 2)^2 = 10$
B
)A.$x^2 - x - 2 = 0$
B.$3x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$(x - 2)^2 = 0$
D.$(x - 2)^2 = 10$
答案
B
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有实数根，核心依据是根的判别式与根的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时方程有实数根，$\Delta＜0$时无实数根；对于形如$(x-m)^2=k$的特殊形式一元二次方程，也可直接根据平方的非负性判断：$k≥0$时有实根，$k＜0$时无实根。解题时只需逐个分析每个选项的判别式或直接求解，最终选出无实根的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：方程$x^2 - x - 2 = 0$是一般形式，其中$a=1,b=-1,c=-2$，
计算判别式：$\Delta=(-1)^2-4×1×(-2)=1+8=9＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，不符合要求。
2. 选项B：方程$3x^2 - 2x + 1 = 0$是一般形式，其中$a=3,b=-2,c=1$，
计算判别式：$\Delta=(-2)^2-4×3×1=4-12=-8＜0$，因此方程没有实数根，符合要求。
3. 选项C：方程$(x - 2)^2 = 0$，直接开平方可得$x_1=x_2=2$，有两个相等的实数根，不符合要求。
4. 选项D：方程$(x - 2)^2 = 10$，右边$10＞0$，开平方得$x-2=\pm\sqrt{10}$，即$x=2\pm\sqrt{10}$，有两个不相等的实数根，不符合要求。
综上，无实数根的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程实数根的判断方法，既可以通过计算判别式快速判断，也可以对特殊结构的方程用直接开平方法分析，熟练掌握判别式和根的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有实数根，核心依据是根的判别式与根的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时方程有实数根，$\Delta＜0$时无实数根；对于形如$(x-m)^2=k$的特殊形式一元二次方程，也可直接根据平方的非负性判断：$k≥0$时有实根，$k＜0$时无实根。解题时只需逐个分析每个选项的判别式或直接求解，最终选出无实根的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：方程$x^2 - x - 2 = 0$是一般形式，其中$a=1,b=-1,c=-2$，
计算判别式：$\Delta=(-1)^2-4×1×(-2)=1+8=9＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，不符合要求。
2. 选项B：方程$3x^2 - 2x + 1 = 0$是一般形式，其中$a=3,b=-2,c=1$，
计算判别式：$\Delta=(-2)^2-4×3×1=4-12=-8＜0$，因此方程没有实数根，符合要求。
3. 选项C：方程$(x - 2)^2 = 0$，直接开平方可得$x_1=x_2=2$，有两个相等的实数根，不符合要求。
4. 选项D：方程$(x - 2)^2 = 10$，右边$10＞0$，开平方得$x-2=\pm\sqrt{10}$，即$x=2\pm\sqrt{10}$，有两个不相等的实数根，不符合要求。
综上，无实数根的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程实数根的判断方法，既可以通过计算判别式快速判断，也可以对特殊结构的方程用直接开平方法分析，熟练掌握判别式和根的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5. (教材变式)关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k-1=0$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
答案
A
解析
【分析】要判断一元二次方程根的情况，核心方法是利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。解题时先确定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入判别式化简后，根据化简结果的符号就能判断根的情况。
【解析】对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2+(2k+1)x+k-1=0$中，$a=1$，$b=2k+1$，$c=k-1$，代入判别式计算：
$\begin{aligned}\Delta&=(2k+1)^2 - 4×1×(k-1)\\&=4k^2+4k+1 -4k +4\\&=4k^2 +5\end{aligned}$
∵ 无论$k$取何值，都有$k^2≥0$，
∴ $4k^2≥0$，可得$\Delta=4k^2+5≥5＞0$，
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式；完全平方公式；非负数的性质
【点评】本题是根的判别式的基础应用题型，解题关键是准确识别方程各项系数，代入公式后正确化简，结合平方数的非负性判断判别式符号即可，计算时注意去括号的符号规则。
【难度系数】0.8
【解析】对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2+(2k+1)x+k-1=0$中，$a=1$，$b=2k+1$，$c=k-1$，代入判别式计算：
$\begin{aligned}\Delta&=(2k+1)^2 - 4×1×(k-1)\\&=4k^2+4k+1 -4k +4\\&=4k^2 +5\end{aligned}$
∵ 无论$k$取何值，都有$k^2≥0$，
∴ $4k^2≥0$，可得$\Delta=4k^2+5≥5＞0$，
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式；完全平方公式；非负数的性质
【点评】本题是根的判别式的基础应用题型，解题关键是准确识别方程各项系数，代入公式后正确化简，结合平方数的非负性判断判别式符号即可，计算时注意去括号的符号规则。
【难度系数】0.8
6. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + (m + 3)x + m + 1 = 0 $。
(1) 若$ x = 1 $是方程的一个根，求实数$ m $的值。
(2) 求证：方程总有两个不相等的实数根。
(1) 若$ x = 1 $是方程的一个根，求实数$ m $的值。
(2) 求证：方程总有两个不相等的实数根。
答案
解:(1)根据题意,得 $1^2+(m+3) · 1+m+1=0$,
解得 $m=-\frac{5}{2}$.
(2)证明:$\because \Delta=(m+3)^2-4(m+1)=m^2+2m+5=(m+1)^2+4\ge4＞0$,
$\therefore$方程总有两个不相等的实数根.
解得 $m=-\frac{5}{2}$.
(2)证明:$\because \Delta=(m+3)^2-4(m+1)=m^2+2m+5=(m+1)^2+4\ge4＞0$,
$\therefore$方程总有两个不相等的实数根.
解析
【分析】
（1）第一问已知x=1是方程的根，根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将x=1代入原方程，可得到只含m的一元一次方程，解该方程即可求出m的值。
（2）第二问要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，只需证明判别式Δ恒大于0即可。先根据方程系数写出Δ的表达式，再通过配方变形，结合平方的非负性判断Δ的取值范围，即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x=1$代入原方程，得：
$1^2 + (m+3) × 1 + m + 1 = 0$
整理得$1 + m + 3 + m + 1 = 0$，
合并同类项得$2m + 5 = 0$，
解得$m = -\frac{5}{2}$。
(2) 证明：对于一元二次方程$x^2 + (m + 3)x + m + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=m+3$，$c=m+1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (m+3)^2 - 4 × 1 × (m+1)$，
展开计算得$\Delta = m^2 + 6m + 9 - 4m - 4 = m^2 + 2m + 5$，
配方得$\Delta = (m+1)^2 + 4$。
∵ 无论m取何实数，$(m+1)^2 ≥ 0$，
∴ $(m+1)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
∴ 方程总有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $m=-\frac{5}{2}$；(2) 方程总有两个不相等的实数根，证明如上。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，配方法
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，第一问直接考察根的定义的应用，代入求值即可；第二问核心是利用根的判别式判断方程根的情况，通过配方判断代数式正负是此类题的常用技巧，掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
（1）第一问已知x=1是方程的根，根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将x=1代入原方程，可得到只含m的一元一次方程，解该方程即可求出m的值。
（2）第二问要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，只需证明判别式Δ恒大于0即可。先根据方程系数写出Δ的表达式，再通过配方变形，结合平方的非负性判断Δ的取值范围，即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x=1$代入原方程，得：
$1^2 + (m+3) × 1 + m + 1 = 0$
整理得$1 + m + 3 + m + 1 = 0$，
合并同类项得$2m + 5 = 0$，
解得$m = -\frac{5}{2}$。
(2) 证明：对于一元二次方程$x^2 + (m + 3)x + m + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=m+3$，$c=m+1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (m+3)^2 - 4 × 1 × (m+1)$，
展开计算得$\Delta = m^2 + 6m + 9 - 4m - 4 = m^2 + 2m + 5$，
配方得$\Delta = (m+1)^2 + 4$。
∵ 无论m取何实数，$(m+1)^2 ≥ 0$，
∴ $(m+1)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
∴ 方程总有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $m=-\frac{5}{2}$；(2) 方程总有两个不相等的实数根，证明如上。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，配方法
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，第一问直接考察根的定义的应用，代入求值即可；第二问核心是利用根的判别式判断方程根的情况，通过配方判断代数式正负是此类题的常用技巧，掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
