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7.若关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个相等的实数根，则m的值是（
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
C
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta=0$；接下来确定给定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入判别式等于0的等式，解关于$m$的一元一次方程即可得到$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，根的情况与判别式的对应关系为：
$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根
$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根
$\Delta＜0$时，方程没有实数根
本题中方程$x^2-2x+m=0$的二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=m$，已知方程有两个相等的实数根，因此$\Delta=0$，代入得：
$(-2)^2 - 4×1× m = 0$
计算化简：$4 - 4m = 0$
移项求解得：$4m=4$，即$m=1$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系，牢记判别式三种取值对应的根的情况，即可快速列式求解。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta=0$；接下来确定给定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入判别式等于0的等式，解关于$m$的一元一次方程即可得到$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，根的情况与判别式的对应关系为：
$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根
$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根
$\Delta＜0$时，方程没有实数根
本题中方程$x^2-2x+m=0$的二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=m$，已知方程有两个相等的实数根，因此$\Delta=0$，代入得：
$(-2)^2 - 4×1× m = 0$
计算化简：$4 - 4m = 0$
移项求解得：$4m=4$，即$m=1$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系，牢记判别式三种取值对应的根的情况，即可快速列式求解。
【难度系数】
0.8
8.若关于$x$的方程$mx^2 + 2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，则$m$的取值范围是（
A.$m ＜ -1$
B.$m ＞ -1$且$m ≠ 0$
C.$m ＞ -1$
D.$m ≥ -1$且$m ≠ 0$
B
）A.$m ＜ -1$
B.$m ＞ -1$且$m ≠ 0$
C.$m ＞ -1$
D.$m ≥ -1$且$m ≠ 0$
答案
B
解析
【分析】
要确定m的取值范围，首先根据“方程有两个不相等的实数根”可判断该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次结合一元二次方程根的判别式的性质，当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，代入对应系数计算判别式并解不等式，最后综合两个条件即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$mx^2 + 2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根
∴ 该方程为一元二次方程，首先满足二次项系数不为0，即$m ≠ 0$
一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=m$，$b=2$，$c=-1$
代入得：$\Delta = 2^2 - 4 × m × (-1) = 4 + 4m$
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta ＞ 0$
即$4 + 4m ＞ 0$，解得$m ＞ -1$
综合两个条件，得m的取值范围是$m ＞ -1$且$m ≠ 0$
故选B
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题的易错点是容易遗漏二次项系数不为0的条件，解题时要注意：若题干明确说明方程有两个实数根，说明该方程是一元二次方程，需同时满足判别式符合要求、二次项系数不为0两个条件。
【难度系数】
0.6
要确定m的取值范围，首先根据“方程有两个不相等的实数根”可判断该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次结合一元二次方程根的判别式的性质，当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，代入对应系数计算判别式并解不等式，最后综合两个条件即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$mx^2 + 2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根
∴ 该方程为一元二次方程，首先满足二次项系数不为0，即$m ≠ 0$
一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=m$，$b=2$，$c=-1$
代入得：$\Delta = 2^2 - 4 × m × (-1) = 4 + 4m$
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta ＞ 0$
即$4 + 4m ＞ 0$，解得$m ＞ -1$
综合两个条件，得m的取值范围是$m ＞ -1$且$m ≠ 0$
故选B
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题的易错点是容易遗漏二次项系数不为0的条件，解题时要注意：若题干明确说明方程有两个实数根，说明该方程是一元二次方程，需同时满足判别式符合要求、二次项系数不为0两个条件。
【难度系数】
0.6
9.已知关于$x$的方程$2x^2 -2x +2k -1=0$有实数根，则$k$的取值范围是（
A.$k≤ \frac{1}{4}$
B.$k＜\frac{1}{4}$
C.$k≤ \frac{3}{4}$
D.$k＞\frac{3}{4}$
C
）A.$k≤ \frac{1}{4}$
B.$k＜\frac{1}{4}$
C.$k≤ \frac{3}{4}$
D.$k＞\frac{3}{4}$
答案
C
解析
【分析】
本题是已知一元二次方程有实数根求参数取值范围的问题，解题核心是运用一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta = b^2-4ac≥0$时，方程有实数根。我们先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
已知方程$2x^2 -2x +2k -1=0$是一元二次方程，其中$a=2$，$b=-2$，$c=2k-1$。
因为方程有实数根，所以根的判别式$\Delta≥0$，即：
$\Delta = (-2)^2 - 4×2×(2k-1) ≥0$
计算得：
$4 - 8(2k-1) ≥0$
展开括号：
$4 -16k +8 ≥0$
合并同类项：
$12 -16k ≥0$
移项得：
$16k ≤12$
两边同时除以16，化简得：
$k ≤ \frac{3}{4}$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时要注意“有实数根”对应判别式大于等于0，计算过程中要注意符号运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题是已知一元二次方程有实数根求参数取值范围的问题，解题核心是运用一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta = b^2-4ac≥0$时，方程有实数根。我们先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
已知方程$2x^2 -2x +2k -1=0$是一元二次方程，其中$a=2$，$b=-2$，$c=2k-1$。
因为方程有实数根，所以根的判别式$\Delta≥0$，即：
$\Delta = (-2)^2 - 4×2×(2k-1) ≥0$
计算得：
$4 - 8(2k-1) ≥0$
展开括号：
$4 -16k +8 ≥0$
合并同类项：
$12 -16k ≥0$
移项得：
$16k ≤12$
两边同时除以16，化简得：
$k ≤ \frac{3}{4}$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时要注意“有实数根”对应判别式大于等于0，计算过程中要注意符号运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
(2025—2026 南昌东湖区检测)若关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^2 +4x +1=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是（
A.$k＜5$
B.$k＜5$且$k≠1$
C.$k≤5$且$k≠1$
D.$k＞5$
B
）A.$k＜5$
B.$k＜5$且$k≠1$
C.$k≤5$且$k≠1$
D.$k＞5$
答案
B
解析
【分析】
要确定k的取值范围，需结合两个核心条件分析：①一元二次方程的二次项系数不能为0，否则方程不属于二次方程；②方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。分别根据两个条件列出不等式求解后，取两个解集的公共部分即可得到最终取值范围。
【解析】
解：
∵方程$(k-1)x^2 +4x +1=0$是一元二次方程
∴二次项系数不为0，即$k-1≠0$，解得$k≠1$
又
∵方程有两个不相等的实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$，其中$a=k-1$，$b=4$，$c=1$
代入得：$\Delta = 4^2 - 4×(k-1)×1 ＞ 0$
化简计算：
$16 -4(k-1) ＞0$
$16 -4k +4 ＞0$
$20 -4k ＞0$
移项得$4k ＜20$，解得$k ＜5$
综上，k的取值范围是$k ＜5$且$k≠1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含限制条件，解题时要注意结合所有限制条件求解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要确定k的取值范围，需结合两个核心条件分析：①一元二次方程的二次项系数不能为0，否则方程不属于二次方程；②方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。分别根据两个条件列出不等式求解后，取两个解集的公共部分即可得到最终取值范围。
【解析】
解：
∵方程$(k-1)x^2 +4x +1=0$是一元二次方程
∴二次项系数不为0，即$k-1≠0$，解得$k≠1$
又
∵方程有两个不相等的实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$，其中$a=k-1$，$b=4$，$c=1$
代入得：$\Delta = 4^2 - 4×(k-1)×1 ＞ 0$
化简计算：
$16 -4(k-1) ＞0$
$16 -4k +4 ＞0$
$20 -4k ＞0$
移项得$4k ＜20$，解得$k ＜5$
综上，k的取值范围是$k ＜5$且$k≠1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含限制条件，解题时要注意结合所有限制条件求解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
变式题2 有实数根→无实数根
已知关于x的一元二次方程$2x^2 + x - m = 0$没有实数根，m的取值范围是
已知关于x的一元二次方程$2x^2 + x - m = 0$没有实数根，m的取值范围是
$m＜-\frac{1}{8}$
答案
$m＜-\frac{1}{8}$
解析
【分析】
要解决这道题，需用到一元二次方程根的判别式与根的数量的对应关系。首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，当判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。我们先从给定方程中找出对应系数a、b、c，再根据“无实数根”的条件列关于m的不等式，最后解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：已知一元二次方程$2x^2 + x - m = 0$没有实数根，
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-m$，
根据一元二次方程无实数根的条件：$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，
代入系数得：$1^2 - 4×2×(-m) ＜ 0$，
计算得：$1 + 8m ＜ 0$，
移项得：$8m ＜ -1$，
两边同时除以8，解得：$m ＜ -\frac{1}{8}$。
【答案】
$m＜-\frac{1}{8}$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题时需注意准确提取常数项的符号，避免列不等式时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需用到一元二次方程根的判别式与根的数量的对应关系。首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，当判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。我们先从给定方程中找出对应系数a、b、c，再根据“无实数根”的条件列关于m的不等式，最后解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：已知一元二次方程$2x^2 + x - m = 0$没有实数根，
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-m$，
根据一元二次方程无实数根的条件：$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，
代入系数得：$1^2 - 4×2×(-m) ＜ 0$，
计算得：$1 + 8m ＜ 0$，
移项得：$8m ＜ -1$，
两边同时除以8，解得：$m ＜ -\frac{1}{8}$。
【答案】
$m＜-\frac{1}{8}$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题时需注意准确提取常数项的符号，避免列不等式时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
变式题3 不明确解的个数，需分类讨论
若关于$x$的方程$mx^2 -2x +2=0$有实数根，
则实数$m$的取值范围是
若关于$x$的方程$mx^2 -2x +2=0$有实数根，
则实数$m$的取值范围是
$m≤\frac{1}{2}$
。答案
$m≤\frac{1}{2}$
【解析】分两种情况讨论:①当$m=0$时,原方程为$-2x+2=0$,解得$x=1$,符合题意. ②当$m≠0$时,原方程为一元二次方程.$\because$关于$x$的方程$mx^2 -2x +2=0$有实数根,$\therefore \Delta=(-2)^2 -4m · 2=4-8m≥0$,解得$m≤\frac{1}{2}$,则$m≤\frac{1}{2}$且$m≠0$.综上所述,$m$的取值范围是$m≤\frac{1}{2}$.
【解析】分两种情况讨论:①当$m=0$时,原方程为$-2x+2=0$,解得$x=1$,符合题意. ②当$m≠0$时,原方程为一元二次方程.$\because$关于$x$的方程$mx^2 -2x +2=0$有实数根,$\therefore \Delta=(-2)^2 -4m · 2=4-8m≥0$,解得$m≤\frac{1}{2}$,则$m≤\frac{1}{2}$且$m≠0$.综上所述,$m$的取值范围是$m≤\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题中方程的二次项系数含有参数m，未明确说明是一元二次方程，因此需要分类讨论方程类型：首先考虑m=0时，方程为一元一次方程，判断是否有实根；再考虑m≠0时，方程为一元二次方程，此时有实根需满足根的判别式Δ≥0，求解后将两种情况的结果合并即可得到m的取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
①当$m=0$时，原方程化为一元一次方程：$-2x+2=0$，解得$x=1$，有实数根，符合题意；
②当$m≠0$时，原方程为一元二次方程，已知方程有实数根，根据根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$（其中$a=m$，$b=-2$，$c=2$），代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× m × 2 = 4 - 8m ≥ 0$
解不等式得：$m ≤ \frac{1}{2}$，结合前提$m≠0$，此时$m$的取值范围是$m ≤ \frac{1}{2}$且$m≠0$。
综合①②两种情况，取并集可得$m$的取值范围。
【答案】
$m≤\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 一元二次方程根的判别式
3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是直接默认方程为一元二次方程，忽略$m=0$的情况导致取值范围错误。遇到最高次项系数含参数的方程有实根的问题时，一定要先分类讨论方程的类型，分别求解后再合并结果。
【难度系数】
0.6
本题中方程的二次项系数含有参数m，未明确说明是一元二次方程，因此需要分类讨论方程类型：首先考虑m=0时，方程为一元一次方程，判断是否有实根；再考虑m≠0时，方程为一元二次方程，此时有实根需满足根的判别式Δ≥0，求解后将两种情况的结果合并即可得到m的取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
①当$m=0$时，原方程化为一元一次方程：$-2x+2=0$，解得$x=1$，有实数根，符合题意；
②当$m≠0$时，原方程为一元二次方程，已知方程有实数根，根据根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$（其中$a=m$，$b=-2$，$c=2$），代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× m × 2 = 4 - 8m ≥ 0$
解不等式得：$m ≤ \frac{1}{2}$，结合前提$m≠0$，此时$m$的取值范围是$m ≤ \frac{1}{2}$且$m≠0$。
综合①②两种情况，取并集可得$m$的取值范围。
【答案】
$m≤\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 一元二次方程根的判别式
3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是直接默认方程为一元二次方程，忽略$m=0$的情况导致取值范围错误。遇到最高次项系数含参数的方程有实根的问题时，一定要先分类讨论方程的类型，分别求解后再合并结果。
【难度系数】
0.6
10.已知关于$x$的一元二次方程$kx^2 -4x +4=0$.
(1)若$k$是最小的正整数,求此方程的解.
(2)若该方程有两个不相等的实数根,求$k$的取值范围.
(1)若$k$是最小的正整数,求此方程的解.
(2)若该方程有两个不相等的实数根,求$k$的取值范围.
答案
解:(1)由题意可知,$k=1$,
$\therefore$方程为$x^2 -4x +4=0$,
解得$x_1=x_2=2$.
(2)$\because$方程有两个不相等的实数根,
$\therefore \Delta=(-4)^2 -16k＞0$,且$k≠0$,
$\therefore k$的取值范围为$k＜1$且$k≠0$.
$\therefore$方程为$x^2 -4x +4=0$,
解得$x_1=x_2=2$.
(2)$\because$方程有两个不相等的实数根,
$\therefore \Delta=(-4)^2 -16k＞0$,且$k≠0$,
$\therefore k$的取值范围为$k＜1$且$k≠0$.
解析
【分析】
(1) 先确定最小的正整数为1，得到k=1，将k代入原方程得到标准一元二次方程，再选用合适的方法求解即可；
(2) 首先一元二次方程要求二次项系数不为0，即k≠0，其次方程有两个不相等的实数根，需满足根的判别式Δ＞0，代入系数计算Δ、解不等式，再结合k≠0得到最终取值范围。
【解析】
(1) 因为k是最小的正整数，最小的正整数为1，所以$k=1$，
将$k=1$代入原方程得：$x^2 -4x +4=0$，
因式分解得：$(x-2)^2=0$，
解得：$x_1=x_2=2$。
(2) 已知该方程为一元二次方程，且有两个不相等的实数根，因此需满足两个条件：
① 二次项系数不为0，即$k≠0$；
② 根的判别式$\Delta＞0$，其中$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4× k ×4 = 16-16k$，
列不等式$16-16k＞0$，解得$k＜1$，
结合$k≠0$，可得k的取值范围为$k＜1$且$k≠0$。
【答案】
(1) $x_1=x_2=2$；
(2) $k＜1$且$k≠0$
【知识点】
一元二次方程的定义、解一元二次方程、根的判别式的应用
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，第一问考查基础代入计算，难度较低；第二问需要注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，做题时容易忽略该条件导致取值范围出错。
【难度系数】
0.8
(1) 先确定最小的正整数为1，得到k=1，将k代入原方程得到标准一元二次方程，再选用合适的方法求解即可；
(2) 首先一元二次方程要求二次项系数不为0，即k≠0，其次方程有两个不相等的实数根，需满足根的判别式Δ＞0，代入系数计算Δ、解不等式，再结合k≠0得到最终取值范围。
【解析】
(1) 因为k是最小的正整数，最小的正整数为1，所以$k=1$，
将$k=1$代入原方程得：$x^2 -4x +4=0$，
因式分解得：$(x-2)^2=0$，
解得：$x_1=x_2=2$。
(2) 已知该方程为一元二次方程，且有两个不相等的实数根，因此需满足两个条件：
① 二次项系数不为0，即$k≠0$；
② 根的判别式$\Delta＞0$，其中$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4× k ×4 = 16-16k$，
列不等式$16-16k＞0$，解得$k＜1$，
结合$k≠0$，可得k的取值范围为$k＜1$且$k≠0$。
【答案】
(1) $x_1=x_2=2$；
(2) $k＜1$且$k≠0$
【知识点】
一元二次方程的定义、解一元二次方程、根的判别式的应用
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，第一问考查基础代入计算，难度较低；第二问需要注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，做题时容易忽略该条件导致取值范围出错。
【难度系数】
0.8
11.已知关于$x$的一元二次方程$2x^2 - mx + n = 0$.
(1)当$m - n = 4$时,请判断此方程的根的情况.
(2)若方程有两个相等的实数根,当$n = 2$时,求此时方程的根.
(1)当$m - n = 4$时,请判断此方程的根的情况.
(2)若方程有两个相等的实数根,当$n = 2$时,求此时方程的根.
答案
解:$\Delta=(-m)^2 -4 × 2n=m^2 -8n$.
(1)$\because m-n=4$,$\therefore n=m-4$,$\therefore \Delta=m^2 -8(m-4)=m^2 -8m+32=(m-4)^2 +16$.
$\because (m-4)^2≥0$,$\therefore (m-4)^2 +16＞0$,即$\Delta＞0$,
$\therefore$此方程有两个不相等的实数根.
(2)根据题意,得 $\Delta=m^2 -8n=0$.
$\because n=2$,$\therefore m^2 -16=0$,解得$m_1=4$,$m_2=-4$.
当$m=4$时,方程为$2x^2 -4x +2=0$,解得$x_1=x_2=1$;当$m=-4$时,方程为$2x^2 +4x +2=0$,解得$x_1=x_2=-1$.综上所述,此时方程的根为1或-1.
(1)$\because m-n=4$,$\therefore n=m-4$,$\therefore \Delta=m^2 -8(m-4)=m^2 -8m+32=(m-4)^2 +16$.
$\because (m-4)^2≥0$,$\therefore (m-4)^2 +16＞0$,即$\Delta＞0$,
$\therefore$此方程有两个不相等的实数根.
(2)根据题意,得 $\Delta=m^2 -8n=0$.
$\because n=2$,$\therefore m^2 -16=0$,解得$m_1=4$,$m_2=-4$.
当$m=4$时,方程为$2x^2 -4x +2=0$,解得$x_1=x_2=1$;当$m=-4$时,方程为$2x^2 +4x +2=0$,解得$x_1=x_2=-1$.综上所述,此时方程的根为1或-1.
解析
【分析】
判断一元二次方程根的情况的核心依据是根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。
（1）已知$m-n=4$，可将$n$用含$m$的代数式表示，代入判别式表达式后通过配方判断$\Delta$的正负，即可得出根的情况。
（2）方程有两个相等的实数根说明$\Delta=0$，代入$n=2$先求出$m$的取值，再分别将$m$、$n$的值代入原方程求解即可。
【解析】
首先计算该一元二次方程的判别式：$\Delta=(-m)^2 -4×2n=m^2-8n$
（1）$\because m-n=4$，$\therefore n=m-4$
将$n=m-4$代入判别式得：
$\Delta=m^2-8(m-4)=m^2-8m+32=(m-4)^2+16$
$\because$平方数具有非负性，即$(m-4)^2≥0$
$\therefore (m-4)^2+16＞0$，即$\Delta＞0$
$\therefore$此方程有两个不相等的实数根。
（2）$\because$方程有两个相等的实数根，$\therefore \Delta=m^2-8n=0$
当$n=2$时，代入得：$m^2-8×2=0$，即$m^2=16$
解得$m_1=4$，$m_2=-4$
①当$m=4$，$n=2$时，原方程为$2x^2-4x+2=0$
化简得$x^2-2x+1=0$，即$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$
②当$m=-4$，$n=2$时，原方程为$2x^2+4x+2=0$
化简得$x^2+2x+1=0$，即$(x+1)^2=0$，解得$x_1=x_2=-1$
【答案】
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程的根为1或-1。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 配方法的应用
3. 解一元二次方程
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题关键是熟练掌握判别式与方程根的情况的对应关系，第二问求解$m$时要注意正负两种取值，避免漏解。
【难度系数】
0.75
判断一元二次方程根的情况的核心依据是根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。
（1）已知$m-n=4$，可将$n$用含$m$的代数式表示，代入判别式表达式后通过配方判断$\Delta$的正负，即可得出根的情况。
（2）方程有两个相等的实数根说明$\Delta=0$，代入$n=2$先求出$m$的取值，再分别将$m$、$n$的值代入原方程求解即可。
【解析】
首先计算该一元二次方程的判别式：$\Delta=(-m)^2 -4×2n=m^2-8n$
（1）$\because m-n=4$，$\therefore n=m-4$
将$n=m-4$代入判别式得：
$\Delta=m^2-8(m-4)=m^2-8m+32=(m-4)^2+16$
$\because$平方数具有非负性，即$(m-4)^2≥0$
$\therefore (m-4)^2+16＞0$，即$\Delta＞0$
$\therefore$此方程有两个不相等的实数根。
（2）$\because$方程有两个相等的实数根，$\therefore \Delta=m^2-8n=0$
当$n=2$时，代入得：$m^2-8×2=0$，即$m^2=16$
解得$m_1=4$，$m_2=-4$
①当$m=4$，$n=2$时，原方程为$2x^2-4x+2=0$
化简得$x^2-2x+1=0$，即$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$
②当$m=-4$，$n=2$时，原方程为$2x^2+4x+2=0$
化简得$x^2+2x+1=0$，即$(x+1)^2=0$，解得$x_1=x_2=-1$
【答案】
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程的根为1或-1。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 配方法的应用
3. 解一元二次方程
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题关键是熟练掌握判别式与方程根的情况的对应关系，第二问求解$m$时要注意正负两种取值，避免漏解。
【难度系数】
0.75
