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【例】用公式法解方程：$2x^2 - 4x - 1 = 0.$
【点拨】先确定$a,b,c$的值，再求$b^2 - 4ac$的值，判断出$b^2 - 4ac ＞ 0$，然后将$a,b,c$的值代入求根公式即可.
【解】$\because a=2,b=-4,c=-1,$
$\therefore \Delta = (-4)^2 - 4×2×(-1) = 16 + 8 = 24＞0,\therefore$此方程有两个不相等的实数根，
$\therefore x = \frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2} = \frac{4\pm2\sqrt{6}}{4},$
$\therefore x_1 = \frac{2+\sqrt{6}}{2},x_2 = \frac{2-\sqrt{6}}{2}.$
【点拨】先确定$a,b,c$的值，再求$b^2 - 4ac$的值，判断出$b^2 - 4ac ＞ 0$，然后将$a,b,c$的值代入求根公式即可.
【解】$\because a=2,b=-4,c=-1,$
$\therefore \Delta = (-4)^2 - 4×2×(-1) = 16 + 8 = 24＞0,\therefore$此方程有两个不相等的实数根，
$\therefore x = \frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2} = \frac{4\pm2\sqrt{6}}{4},$
$\therefore x_1 = \frac{2+\sqrt{6}}{2},x_2 = \frac{2-\sqrt{6}}{2}.$
答案
解：
∵a=2，b=-4，c=-1，
∴Δ=(-4)² - 4×2×(-1)=16+8=24＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴$x = \frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2} = \frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}$，
∴$x₁=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，$x₂=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$。
∵a=2，b=-4，c=-1，
∴Δ=(-4)² - 4×2×(-1)=16+8=24＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴$x = \frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2} = \frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}$，
∴$x₁=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，$x₂=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$。
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的思路非常清晰：首先确认方程为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，第一步先准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，需特别注意系数的正负号；第二步计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的取值判断方程根的情况，仅当$\Delta≥0$时方程有实数根；第三步若方程有实根，将$a、b、\Delta$的值代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，最后化简得到最简结果即可。
【解析】
已知方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$为一元二次方程的一般形式，
$\because a=2，b=-4，c=-1$，
$\therefore \Delta = (-4)^2 - 4×2×(-1)=16+8=24＞0$，
$\therefore$此方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x = \frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2} = \frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}$，
化简得两个根：$x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
1.公式法解一元二次方程 2.根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础常规题，解题核心是准确识别系数$a、b、c$的符号，计算判别式和代入求根公式时要注意运算准确性，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程的思路非常清晰：首先确认方程为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，第一步先准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，需特别注意系数的正负号；第二步计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的取值判断方程根的情况，仅当$\Delta≥0$时方程有实数根；第三步若方程有实根，将$a、b、\Delta$的值代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，最后化简得到最简结果即可。
【解析】
已知方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$为一元二次方程的一般形式，
$\because a=2，b=-4，c=-1$，
$\therefore \Delta = (-4)^2 - 4×2×(-1)=16+8=24＞0$，
$\therefore$此方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x = \frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2} = \frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}$，
化简得两个根：$x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
1.公式法解一元二次方程 2.根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础常规题，解题核心是准确识别系数$a、b、c$的符号，计算判别式和代入求根公式时要注意运算准确性，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.8
1. (2025—2026 赣州于都期中)在用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了$a,b,c$得到$x=$
$$，则她求解的一元二次方程是（
A.$2x^2-3x-1=0$
B.$2x^2+4x-1=0$
C.$-x^2-3x+2=0$
D.$3x^2-2x+1=0$
$$，则她求解的一元二次方程是（A
）A.$2x^2-3x-1=0$
B.$2x^2+4x-1=0$
C.$-x^2-3x+2=0$
D.$3x^2-2x+1=0$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程求根公式的结构：求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$中，分母为$2a$，分子首项为$-b$，根号内的式子为判别式$b^2-4ac$。我们只需将题目给出的代入后的式子和求根公式逐项对应，求出$a、b、c$的取值，再代入一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对比选项即可得到答案。
【解析】
1. 回忆一元二次方程求根公式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$\boldsymbol{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$。
2. 将题干给出的式子$x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×2×(-1)}}{2×2}$和求根公式逐项对比：
分母对应：$2a=2×2$，解得$a=2$；
分子首项对应：$-b=3$，解得$b=-3$；
根号内常数项对应：$4ac=4×2×(-1)$，结合已得$a=2$，解得$c=-1$。
3. 将$a=2、b=-3、c=-1$代入一元二次方程一般式，得$2x^2-3x-1=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题侧重考查对求根公式结构的掌握程度，只要明确求根公式各部分和方程系数的对应关系，就能快速解题，是公式法解一元二次方程的基础考查题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一元二次方程求根公式的结构：求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$中，分母为$2a$，分子首项为$-b$，根号内的式子为判别式$b^2-4ac$。我们只需将题目给出的代入后的式子和求根公式逐项对应，求出$a、b、c$的取值，再代入一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对比选项即可得到答案。
【解析】
1. 回忆一元二次方程求根公式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$\boldsymbol{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$。
2. 将题干给出的式子$x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×2×(-1)}}{2×2}$和求根公式逐项对比：
分母对应：$2a=2×2$，解得$a=2$；
分子首项对应：$-b=3$，解得$b=-3$；
根号内常数项对应：$4ac=4×2×(-1)$，结合已得$a=2$，解得$c=-1$。
3. 将$a=2、b=-3、c=-1$代入一元二次方程一般式，得$2x^2-3x-1=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题侧重考查对求根公式结构的掌握程度，只要明确求根公式各部分和方程系数的对应关系，就能快速解题，是公式法解一元二次方程的基础考查题型。
【难度系数】
0.8
2. 一元二次方程$x^2 + x - 1 = 0$的根是（
A.$x=1-\sqrt{5}$
B.$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
C.$x=-1+\sqrt{5}$
D.$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
D
）A.$x=1-\sqrt{5}$
B.$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
C.$x=-1+\sqrt{5}$
D.$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查用公式法求解一元二次方程的根，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，第一步先从给定方程中找出对应$a、b、c$的取值；第二步计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断方程根的情况；第三步若$\Delta≥0$，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，再匹配选项即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 + x - 1 = 0$，
可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-1$，
先计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
对应选项可知D符合结果。
【答案】
D
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程 2. 根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求根的基础题型，核心考查对求根公式的掌握程度，解题时需要注意准确识别$a、b、c$的符号，避免常数项符号出错导致判别式计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查用公式法求解一元二次方程的根，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，第一步先从给定方程中找出对应$a、b、c$的取值；第二步计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断方程根的情况；第三步若$\Delta≥0$，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，再匹配选项即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 + x - 1 = 0$，
可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-1$，
先计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
对应选项可知D符合结果。
【答案】
D
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程 2. 根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求根的基础题型，核心考查对求根公式的掌握程度，解题时需要注意准确识别$a、b、c$的符号，避免常数项符号出错导致判别式计算错误。
【难度系数】
0.8
3.小颖解一元二次方程$3x^2□x -1=0$时，发现一次项系数部分印刷不清楚，查看参考答案为$x=\frac{3\pm2\sqrt{3}}{3}$，则□代表的为（
A.$+6$
B.$-6$
C.$+3$
D.$+48$
B
）A.$+6$
B.$-6$
C.$+3$
D.$+48$
答案
3.B
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程求根公式求解未知系数。首先设方框代表的一次项系数为b，明确方程中a=3、c=-1，再将已知的根变形为与求根公式分母一致的形式，通过对比分子的对应部分即可求出b的值，也可将已知根代入原方程直接计算得到b，两种方法都需注意符号问题。
【解析】
设印刷不清楚的一次项系数为$b$，则原方程为$3x^2 + bx - 1 = 0$，其中二次项系数$a=3$，常数项$c=-1$。
根据一元二次方程求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入$a、c$的值得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4×3×(-1)}}{2×3}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+12}}{6}$
已知方程的根为$x=\frac{3\pm2\sqrt{3}}{3}$，将其通分改写为分母为6的形式：
$x=\frac{3\pm2\sqrt{3}}{3}=\frac{6\pm4\sqrt{3}}{6}$
对比两个根的表达式，分母相同则分子对应相等：
$-b=6$，解得$b=-6$
验证根号部分：$\sqrt{b^2+12}=\sqrt{(-6)^2+12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，与分子的根号部分一致，符合条件。
因此方框代表的数是$-6$，选B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程求根公式 2.二次根式运算 3.等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程求根公式的逆向应用题型，解题核心是熟练掌握求根公式的结构，通过统一形式对比系数或者代入根求解的方法都能得到答案，计算过程中要注意符号问题，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程求根公式求解未知系数。首先设方框代表的一次项系数为b，明确方程中a=3、c=-1，再将已知的根变形为与求根公式分母一致的形式，通过对比分子的对应部分即可求出b的值，也可将已知根代入原方程直接计算得到b，两种方法都需注意符号问题。
【解析】
设印刷不清楚的一次项系数为$b$，则原方程为$3x^2 + bx - 1 = 0$，其中二次项系数$a=3$，常数项$c=-1$。
根据一元二次方程求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入$a、c$的值得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4×3×(-1)}}{2×3}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+12}}{6}$
已知方程的根为$x=\frac{3\pm2\sqrt{3}}{3}$，将其通分改写为分母为6的形式：
$x=\frac{3\pm2\sqrt{3}}{3}=\frac{6\pm4\sqrt{3}}{6}$
对比两个根的表达式，分母相同则分子对应相等：
$-b=6$，解得$b=-6$
验证根号部分：$\sqrt{b^2+12}=\sqrt{(-6)^2+12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，与分子的根号部分一致，符合条件。
因此方框代表的数是$-6$，选B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程求根公式 2.二次根式运算 3.等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程求根公式的逆向应用题型，解题核心是熟练掌握求根公式的结构，通过统一形式对比系数或者代入根求解的方法都能得到答案，计算过程中要注意符号问题，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.7
4. 解方程：
(1) $x^2 - 7x = -12$.
(2) $x^2 - (\sqrt{2} + 1)x + \sqrt{2} = 0$.
(1) $x^2 - 7x = -12$.
(2) $x^2 - (\sqrt{2} + 1)x + \sqrt{2} = 0$.
答案
4.解:(1)原方程可化为 $x^2 - 7x + 12 = 0$.
$\because a=1,b=-7,c=12$,
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4×1×12 = 1$,
$\therefore x = \frac{7\pm\sqrt{1}}{2×1}$, 解得 $x_1=4,x_2=3$.
(2) $\because a=1,b=-(\sqrt{2}+1),c=\sqrt{2}$,
$\therefore \Delta = (-\sqrt{2}-1)^2 - 4×1×\sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2$,
$\therefore x = \frac{(\sqrt{2}+1)\pm\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}}{2×1} = \frac{(\sqrt{2}+1)\pm(\sqrt{2}-1)}{2×1}$,
解得 $x_1=\sqrt{2},x_2=1$.
$\because a=1,b=-7,c=12$,
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4×1×12 = 1$,
$\therefore x = \frac{7\pm\sqrt{1}}{2×1}$, 解得 $x_1=4,x_2=3$.
(2) $\because a=1,b=-(\sqrt{2}+1),c=\sqrt{2}$,
$\therefore \Delta = (-\sqrt{2}-1)^2 - 4×1×\sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2$,
$\therefore x = \frac{(\sqrt{2}+1)\pm\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}}{2×1} = \frac{(\sqrt{2}+1)\pm(\sqrt{2}-1)}{2×1}$,
解得 $x_1=\sqrt{2},x_2=1$.
解析
【分析】
这两道题是用公式法求解一元二次方程的基础题，解题思路可按以下步骤展开：①先把方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，保证等号右侧为0；②准确对应系数$a、b、c$的取值，注意不要遗漏系数的正负号；③计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断方程是否有实数根，若$\Delta≥0$则进入下一步计算；④将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，化简得到方程的根。
【解析】
(1) 原方程整理为一般形式：$x^2 - 7x + 12 = 0$
其中$a=1，b=-7，c=12$
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4×1×12 = 1＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x = \frac{7±\sqrt{1}}{2×1}$
解得$x_1=\frac{7+1}{2}=4，x_2=\frac{7-1}{2}=3$
(2) 方程已是一般形式，其中$a=1，b=-(\sqrt{2}+1)，c=\sqrt{2}$
计算判别式：$\Delta = [ -(\sqrt{2}+1) ]^2 - 4×1×\sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x = \frac{(\sqrt{2}+1)±\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}}{2×1} = \frac{\sqrt{2}+1±(\sqrt{2}-1)}{2}$
解得$x_1=\frac{\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1}{2}=\sqrt{2}，x_2=\frac{\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1}{2}=1$
【答案】
(1) $x_1=3，x_2=4$
(2) $x_1=1，x_2=\sqrt{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程判别式、求根公式应用
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程的基本操作，解题时要注意先将方程化为一般形式，准确识别系数的符号，涉及根式的计算要注意化简，熟练掌握公式法的步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
这两道题是用公式法求解一元二次方程的基础题，解题思路可按以下步骤展开：①先把方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，保证等号右侧为0；②准确对应系数$a、b、c$的取值，注意不要遗漏系数的正负号；③计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断方程是否有实数根，若$\Delta≥0$则进入下一步计算；④将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，化简得到方程的根。
【解析】
(1) 原方程整理为一般形式：$x^2 - 7x + 12 = 0$
其中$a=1，b=-7，c=12$
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4×1×12 = 1＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x = \frac{7±\sqrt{1}}{2×1}$
解得$x_1=\frac{7+1}{2}=4，x_2=\frac{7-1}{2}=3$
(2) 方程已是一般形式，其中$a=1，b=-(\sqrt{2}+1)，c=\sqrt{2}$
计算判别式：$\Delta = [ -(\sqrt{2}+1) ]^2 - 4×1×\sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x = \frac{(\sqrt{2}+1)±\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}}{2×1} = \frac{\sqrt{2}+1±(\sqrt{2}-1)}{2}$
解得$x_1=\frac{\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1}{2}=\sqrt{2}，x_2=\frac{\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1}{2}=1$
【答案】
(1) $x_1=3，x_2=4$
(2) $x_1=1，x_2=\sqrt{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程判别式、求根公式应用
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程的基本操作，解题时要注意先将方程化为一般形式，准确识别系数的符号，涉及根式的计算要注意化简，熟练掌握公式法的步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
5. 结论开放题 设一元二次方程 $x^2 + bx + c = 0$。在下面的四组条件中选择其中一组 $b,c$ 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程。
①$b=2,c=1$;②$b=3,c=1$;③$b=3,c=-1$;④$b=2,c=2$。
①$b=2,c=1$;②$b=3,c=1$;③$b=3,c=-1$;④$b=2,c=2$。
答案
5.解:(答案不唯一,可以选择条件②或条件③解答)
选择条件②,则一元二次方程为 $x^2 + 3x + 1 = 0$.
$\because a=1,b=3,c=1$,
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1 = 5＞0$,
$\therefore x = \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$,
$\therefore x_1 = \frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2 = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$.
选择条件②,则一元二次方程为 $x^2 + 3x + 1 = 0$.
$\because a=1,b=3,c=1$,
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1 = 5＞0$,
$\therefore x = \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$,
$\therefore x_1 = \frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2 = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$.
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，先回忆一元二次方程有两个不相等实数根的判定条件：判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$（本题中二次项系数$a=1$），先计算四组条件的$\Delta$值，筛选出符合条件的组（②、③均满足$\Delta＞0$）；第二步，任选一组符合要求的参数，用公式法解方程，步骤为：先确定$a、b、c$的取值，计算$\Delta$验证大于0，再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算两根即可。
【解析】
我们选择条件②解答：
对应的一元二次方程为 $x^2 + 3x + 1 = 0$
$\because a=1,b=3,c=1$,
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1 = 5＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得$x = \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2×1}$
$\therefore x_1 = \frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2 = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
（也可选择条件③解答，过程同上述步骤）
【答案】
以选择条件②为例，方程的解为$x_1 = \frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$（答案不唯一）
【知识点】
根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于开放类基础题，既考查了一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，又考查了公式法解方程的基本操作，需要先筛选符合要求的参数再求解，注重对核心基础知识的考察。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步，先回忆一元二次方程有两个不相等实数根的判定条件：判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$（本题中二次项系数$a=1$），先计算四组条件的$\Delta$值，筛选出符合条件的组（②、③均满足$\Delta＞0$）；第二步，任选一组符合要求的参数，用公式法解方程，步骤为：先确定$a、b、c$的取值，计算$\Delta$验证大于0，再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算两根即可。
【解析】
我们选择条件②解答：
对应的一元二次方程为 $x^2 + 3x + 1 = 0$
$\because a=1,b=3,c=1$,
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1 = 5＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得$x = \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2×1}$
$\therefore x_1 = \frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2 = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
（也可选择条件③解答，过程同上述步骤）
【答案】
以选择条件②为例，方程的解为$x_1 = \frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$（答案不唯一）
【知识点】
根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于开放类基础题，既考查了一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，又考查了公式法解方程的基本操作，需要先筛选符合要求的参数再求解，注重对核心基础知识的考察。
【难度系数】
0.7
