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23. 如图,(1)用数对表示出下面地点的位置；
学校:( , );公园:( , ).
(2)小明家在学校以西100米,再往北200米处;小红家在学校以东300米处.在图中分别标出他们两家的位置.
学校:( , );公园:( , ).
(2)小明家在学校以西100米,再往北200米处;小红家在学校以东300米处.在图中分别标出他们两家的位置.
答案
23.(1)(3,3) (5,1)
(2)如图所示.
解析
【分析】
解题时首先回忆数对的表示规则：数对的第一个数对应列数（即横轴上的数值，从左向右递增），第二个数对应行数（即纵轴上的数值，从下向上递增），据此可直接读出学校和公园的数对。解决第二问时，先明确“上北下南、左西右东”的方向规则，且图中1格对应实际距离100米，先根据给出的距离换算出需要移动的格数，再以学校位置为起点对应方向移动，得到小明家和小红家的位置后标注即可。
【解析】
(1) 数对表示位置时，先写列数再写行数：
观察图可知，学校在第3列、第3行，用数对表示为$\boldsymbol{(3,3)}$；
公园在第5列、第1行，用数对表示为$\boldsymbol{(5,1)}$。
(2) 图中1格代表实际距离100米，方向为上北下南左西右东：
① 小明家：学校以西100米即向左移动1格，列数变为$3-1=2$；再往北200米即向上移动2格，行数变为$3+2=5$，因此小明家位置为$(2,5)$。
② 小红家：学校以东300米即向右移动3格，列数变为$3+3=6$，行数不变仍为3，因此小红家位置为$(6,3)$。
在图中对应数对位置标注两家即可。
【答案】
(1)$(3,3)$ $(5,1)$
(2)如图所示。
【知识点】
用数对表示位置；位置与方向；比例尺应用
【点评】
本题是位置类基础题，重点考查数对的读写规则和根据方向、距离确定位置的能力，只要牢记数对“先列后行”的规则，结合方向和比例尺换算移动格数，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆数对的表示规则：数对的第一个数对应列数（即横轴上的数值，从左向右递增），第二个数对应行数（即纵轴上的数值，从下向上递增），据此可直接读出学校和公园的数对。解决第二问时，先明确“上北下南、左西右东”的方向规则，且图中1格对应实际距离100米，先根据给出的距离换算出需要移动的格数，再以学校位置为起点对应方向移动，得到小明家和小红家的位置后标注即可。
【解析】
(1) 数对表示位置时，先写列数再写行数：
观察图可知，学校在第3列、第3行，用数对表示为$\boldsymbol{(3,3)}$；
公园在第5列、第1行，用数对表示为$\boldsymbol{(5,1)}$。
(2) 图中1格代表实际距离100米，方向为上北下南左西右东：
① 小明家：学校以西100米即向左移动1格，列数变为$3-1=2$；再往北200米即向上移动2格，行数变为$3+2=5$，因此小明家位置为$(2,5)$。
② 小红家：学校以东300米即向右移动3格，列数变为$3+3=6$，行数不变仍为3，因此小红家位置为$(6,3)$。
在图中对应数对位置标注两家即可。
【答案】
(1)$(3,3)$ $(5,1)$
(2)如图所示。
【知识点】
用数对表示位置；位置与方向；比例尺应用
【点评】
本题是位置类基础题，重点考查数对的读写规则和根据方向、距离确定位置的能力，只要牢记数对“先列后行”的规则，结合方向和比例尺换算移动格数，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
24. 在平面直角坐标系中,给出如下定义:点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”,点Q到x轴、y轴的距离相等时,称点Q为“完美点”.
(1)点A(-3,5)的“长距”为
(2)若点B(4−2a,−2)是“完美点”,求a的值;
(3)若点C(−2,3b−2)的“长距”为4,且点C在第二象限内,点D的坐标为(9−2b,−5),试说明点D是“完美点”.
(1)点A(-3,5)的“长距”为
5
;(2)若点B(4−2a,−2)是“完美点”,求a的值;
(3)若点C(−2,3b−2)的“长距”为4,且点C在第二象限内,点D的坐标为(9−2b,−5),试说明点D是“完美点”.
答案
24.解:(1)5
(2)$\because$点$B(4-2a,-2)$是“完美点”,
$\therefore |4-2a|=|-2|$,
$4-2a=2$或$4-2a=-2$,
解得$a=1$或$a=3$.
(3)$\because$点$C(-2,3b-2)$的“长距”为4,且点$C$在第二象限内,
$\therefore 3b-2=4$,解得$b=2$.
$\therefore 9-2b=5$,
$\therefore$点$D$的坐标为$(5,-5)$.
$\therefore$点$D$到$x$轴、$y$轴的距离都是$5$,
$\therefore$点$D$是“完美点”.
(2)$\because$点$B(4-2a,-2)$是“完美点”,
$\therefore |4-2a|=|-2|$,
$4-2a=2$或$4-2a=-2$,
解得$a=1$或$a=3$.
(3)$\because$点$C(-2,3b-2)$的“长距”为4,且点$C$在第二象限内,
$\therefore 3b-2=4$,解得$b=2$.
$\therefore 9-2b=5$,
$\therefore$点$D$的坐标为$(5,-5)$.
$\therefore$点$D$到$x$轴、$y$轴的距离都是$5$,
$\therefore$点$D$是“完美点”.
解析
【分析】
(1) 首先明确“长距”的定义：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，取两个距离的较大值即为长距，只需计算点A到两轴的距离再取较大值即可。
(2) “完美点”的核心特征是点到x轴、y轴的距离相等，即点的横坐标绝对值等于纵坐标绝对值，据此列出关于a的绝对值方程求解即可。
(3) 先结合点C在第二象限的特征判断其纵坐标为正，再根据“长距为4”的条件确定纵坐标的数值，求出b后代入得到点D的坐标，验证点D的横、纵坐标绝对值是否相等，即可判断是否为完美点。
【解析】
(1) 点A(-3,5)到x轴的距离为$|5|=5$，到y轴的距离为$|-3|=3$，较大值为5，因此点A的“长距”为5。
(2) $\because$点$B(4-2a,-2)$是“完美点”，
$\therefore |4-2a|=|-2|$，
即$4-2a=2$或$4-2a=-2$，
解得$a=1$或$a=3$。
(3) $\because$点$C(-2,3b-2)$在第二象限内，$\therefore 3b-2＞0$，
点C到y轴的距离为$|-2|=2$，又它的“长距”为4，
$\therefore 3b-2=4$，解得$b=2$，
$\therefore 9-2b=9-2×2=5$，即点D的坐标为$(5,-5)$，
点D到x轴的距离为$|-5|=5$，到y轴的距离为$|5|=5$，两者相等，
$\therefore$点D是“完美点”。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{a=1}$或$\boxed{a=3}$；(3) 点D是“完美点”，证明如上。
【知识点】
新定义问题，绝对值的性质，平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题以新定义为载体考查平面直角坐标系基础内容，解题核心是准确理解两个新定义的含义，将陌生的新定义问题转化为已学的绝对值运算、坐标性质类常规问题求解，侧重考查对新概念的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确“长距”的定义：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，取两个距离的较大值即为长距，只需计算点A到两轴的距离再取较大值即可。
(2) “完美点”的核心特征是点到x轴、y轴的距离相等，即点的横坐标绝对值等于纵坐标绝对值，据此列出关于a的绝对值方程求解即可。
(3) 先结合点C在第二象限的特征判断其纵坐标为正，再根据“长距为4”的条件确定纵坐标的数值，求出b后代入得到点D的坐标，验证点D的横、纵坐标绝对值是否相等，即可判断是否为完美点。
【解析】
(1) 点A(-3,5)到x轴的距离为$|5|=5$，到y轴的距离为$|-3|=3$，较大值为5，因此点A的“长距”为5。
(2) $\because$点$B(4-2a,-2)$是“完美点”，
$\therefore |4-2a|=|-2|$，
即$4-2a=2$或$4-2a=-2$，
解得$a=1$或$a=3$。
(3) $\because$点$C(-2,3b-2)$在第二象限内，$\therefore 3b-2＞0$，
点C到y轴的距离为$|-2|=2$，又它的“长距”为4，
$\therefore 3b-2=4$，解得$b=2$，
$\therefore 9-2b=9-2×2=5$，即点D的坐标为$(5,-5)$，
点D到x轴的距离为$|-5|=5$，到y轴的距离为$|5|=5$，两者相等，
$\therefore$点D是“完美点”。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{a=1}$或$\boxed{a=3}$；(3) 点D是“完美点”，证明如上。
【知识点】
新定义问题，绝对值的性质，平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题以新定义为载体考查平面直角坐标系基础内容，解题核心是准确理解两个新定义的含义，将陌生的新定义问题转化为已学的绝对值运算、坐标性质类常规问题求解，侧重考查对新概念的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
