1.如图,抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B的坐标为$(3,0)$,顶点C的坐标为$(1,4)$.
(1)求抛物线和直线BD的表达式;
(2)点P是线段BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,求线段PM长度的最大值.

(1)由题意得,抛物线$y=ax^2+bx+c$可转化为$y=a(x-1)^2+4$,将点$B(3,0)$的坐标代入,得$0=a(3-1)^2+4$,解得$a=-1$,
∴抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3$.
令$x=0$,则$y=3$,
∴点D的坐标为$(0,3)$.
设直线BD的表达式为$y=kx+3$.将点$B(3,0)$的坐标代入,得$0=3k+3$,解得$k=-1$,
∴直线BD的表达式为$y=-x+3$.
(2)设点P的横坐标为m,则$P(m,-m+3)$,$M(m,-m^2+2m+3)$,
∴$PM=-m^2+2m+3-(-m+3)=-m^2+3m=-(m-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$.
∵点P在线段BD上,
∴$0≤ m≤ 3$.
又
∵$-1＜0$,
∴当$m=\dfrac{3}{2}$时,线段PM长度有最大值,最大值为$\dfrac{9}{4}$.

2.[2026济宁模拟]如图，抛物线$y=-x^2+bx+c$经过$A(-1,0),C(0,3)$两点，并交$x$轴于另一点$B$，点$M$是抛物线的顶点，直线$AM$与$y$轴交于点$D$.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点$H$是$x$轴上一动点，分别连接$MH,DH$，求$MH+DH$的最小值.

(1)
∵抛物线$y=-x^2+bx+c$经过$A(-1,0)$,$C(0,3)$两点,
∴$\begin{cases}-1-b+c=0,\\c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=3.\end{cases}$
∴该抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+3$.
(2)
∵$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,
∴顶点M的坐标为$(1,4)$.
设直线AM的表达式为$y=kx+d$,
则$\begin{cases}k+d=4,\\-k+d=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\d=2,\end{cases}$
∴直线AM的表达式为$y=2x+2$.
当$x=0$时,$y=2$,
∴$D(0,2)$.
作点D关于x轴的对称点$D'(0,-2)$,连接$D'M$,$D'H$,如图,则$DH=D'H$,
∴$MH+DH=MH+D'H≥ D'M$,即$MH+DH$的最小值为$D'M$的长.
∵$D'M=\sqrt{(1-0)^2+(4+2)^2}=\sqrt{37}$,
∴$MH+DH$的最小值为$\sqrt{37}$.
点技巧 线段之和最小问题:这类问题一般是“将军饮马”中“两定点,定线上一动点”,求解时作对称点,将求和的两条线段转化到一条线段上.

3. 如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交于$A(-2,0)$和$B(6,0)$两点,与$y$轴交于点$C(0,6)$,点$D$为线段$BC$上一动点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)求$△ AOD$周长的最小值.

(1)由题意得,二次函数的表达式可转化为$y=a(x+2)(x-6)$,将$C(0,6)$的坐标代入上式,得$6=a×(0+2)×(0-6)$,解得$a=-\dfrac{1}{2}$.
∴二次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)(x-6)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+6$.
(2)如图,作点O关于直线BC的对称点E,连接AE,交BC于点$D'$,连接EC,EB,ED,则$DO=DE$.
∵$B(6,0)$,$C(0,6)$,
∴$OB=OC=6$.易得四边形OBEC为正方形,
∴$BE=6$,$∠ ABE=90°$.
∵$A(-2,0)$,
∴$OA=2$.
∴$AB=AO+OB=8$.
∴$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$.
∵$△ AOD$的周长$=DA+DO+AO$,
∴$△ AOD$的周长$=DA+DE+2$.
又
∵$DA+DE≥ AE$,
∴当点D与$D'$重合时,$△ AOD$的周长最小,且最小为$AE+2$.
∴$△ AOD$周长的最小值为$10+2=12$.