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15. (雅安中考)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y_1=x+b$与反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图象交于A,B两点,其中点A、点B的横坐标分别是－4和3.一次函数$y_1=x+b$与y轴交于点P.
(1)当$y_1＞y_2$时,直接写出x的取值范围;
(2)求出一次函数和反比例函数的表达式;
(3)将直线AB向左平移2个单位长度,与反比例函数在第一象限的图象交于点C,求$△ PBC$的面积.
(1)当$y_1＞y_2$时,直接写出x的取值范围;
(2)求出一次函数和反比例函数的表达式;
(3)将直线AB向左平移2个单位长度,与反比例函数在第一象限的图象交于点C,求$△ PBC$的面积.
答案
15. 解:(1) 由函数图象可知,当$-4＜x＜0$ 或 $x＞3$ 时,一次函数的图象在反比例函数图象的上方,即 $y_1＞y_2$,所以当 $y_1＞y_2$ 时, $x$ 的取值范围是 $-4＜x＜0$ 或 $x＞3$; (2) 将 $x=3$ 代入反比例函数表达式得 $y=\frac{k}{3}, \therefore$ 点 $B$ 坐标为 $(3,\frac{k}{3})$,同理可得,点 $A$ 的坐标为 $(-4,-\frac{k}{4})$. 将 $A,B$ 坐标代入一次函数表达式得 $\begin{cases}3+b=\frac{k}{3},\\-4+b=-\frac{k}{4},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=12,\\b=1,\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为 $y_1=x+1$,反比例函数的表达式为 $y_2=\frac{12}{x}$; (3) $\because$ 一次函数为 $y_1=x+1, \therefore P(0,1)$. 又 $\because B(3,4), \therefore BP=\sqrt{(3-0)^2+(4-1)^2}=3\sqrt{2}. \because$ 直线 $y_1=x+1$ 与 $x$ 轴夹角为 $45°, \therefore$ 当直线 $AB$ 向左平移 2 个单位长度时,两平行线的距离 $h$ 为 $\frac{\sqrt{2}}{2} × 2=\sqrt{2}. \therefore C$ 到 $PB$ 的距离为 $\sqrt{2}, \therefore S_{△ PBC}=\frac{1}{2}BP · h=\frac{1}{2} × 3\sqrt{2} × \sqrt{2}=3$.
解析
【分析】
(1) 求$y_1＞y_2$的$x$取值范围时，可直接观察图像：一次函数图像在反比例函数图像上方对应的$x$区间就是所求范围，注意反比例函数图像在$x=0$处断开，因此要以交点横坐标$-4$、$3$和$x=0$为界分两段分析。
(2) 求函数表达式用待定系数法：点$A$、$B$同时在两个函数图像上，将两点横坐标分别代入反比例函数解析式，得到含$k$的点坐标，再代入一次函数解析式即可得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组得到参数值即可。
(3) 求$△ PBC$的面积时，先求出$P$、$B$两点坐标，计算出底$BP$的长度；直线平移后与原直线平行，结合原直线倾斜角为$45°$，算出两条平行线的垂直距离即三角形的高，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 观察函数图像，一次函数图像在反比例函数图像上方的区间为$-4＜x＜0$和$x＞3$，即此时$y_1＞y_2$。
(2)
∵点$A$、$B$是两个函数的交点，横坐标分别为$-4$、$3$，
将$x=3$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{3}$，即$B(3,\frac{k}{3})$；
将$x=-4$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得$y=-\frac{k}{4}$，即$A(-4,-\frac{k}{4})$。
将$A$、$B$坐标代入$y_1=x+b$，得方程组：
$\begin{cases}3+b=\frac{k}{3}\\-4+b=-\frac{k}{4}\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=12\\b=1\end{cases}$
∴一次函数表达式为$y_1=x+1$，反比例函数表达式为$y_2=\frac{12}{x}$。
(3) 对$y_1=x+1$，令$x=0$，得$y=1$，即$P(0,1)$；
将$x=3$代入$y_1=x+1$，得$y=4$，即$B(3,4)$。
由勾股定理得$BP=\sqrt{(3-0)^2+(4-1)^2}=3\sqrt{2}$。
∵直线$y=x+1$与$x$轴夹角为$45°$，向左平移2个单位后，两平行线的垂直距离$h=2×\sin45°=\sqrt{2}$，即点$C$到直线$PB$的高为$\sqrt{2}$。
∴$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}× BP× h=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{2}=3$。
【答案】
(1) $-4＜x＜0$或$x＞3$；
(2) 一次函数：$y=x+1$，反比例函数：$y=\frac{12}{x}$；
(3) $△ PBC$的面积为$3$。
【知识点】
1. 一次函数与反比例函数综合
2. 待定系数法求解析式
3. 函数平移与面积计算
【点评】
本题属于函数综合基础题，兼顾考查读图分析能力、代数运算能力和几何应用能力，解题时结合函数图像性质可有效简化运算，降低难度。
【难度系数】
0.6
(1) 求$y_1＞y_2$的$x$取值范围时，可直接观察图像：一次函数图像在反比例函数图像上方对应的$x$区间就是所求范围，注意反比例函数图像在$x=0$处断开，因此要以交点横坐标$-4$、$3$和$x=0$为界分两段分析。
(2) 求函数表达式用待定系数法：点$A$、$B$同时在两个函数图像上，将两点横坐标分别代入反比例函数解析式，得到含$k$的点坐标，再代入一次函数解析式即可得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组得到参数值即可。
(3) 求$△ PBC$的面积时，先求出$P$、$B$两点坐标，计算出底$BP$的长度；直线平移后与原直线平行，结合原直线倾斜角为$45°$，算出两条平行线的垂直距离即三角形的高，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 观察函数图像，一次函数图像在反比例函数图像上方的区间为$-4＜x＜0$和$x＞3$，即此时$y_1＞y_2$。
(2)
∵点$A$、$B$是两个函数的交点，横坐标分别为$-4$、$3$，
将$x=3$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{3}$，即$B(3,\frac{k}{3})$；
将$x=-4$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得$y=-\frac{k}{4}$，即$A(-4,-\frac{k}{4})$。
将$A$、$B$坐标代入$y_1=x+b$，得方程组：
$\begin{cases}3+b=\frac{k}{3}\\-4+b=-\frac{k}{4}\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=12\\b=1\end{cases}$
∴一次函数表达式为$y_1=x+1$，反比例函数表达式为$y_2=\frac{12}{x}$。
(3) 对$y_1=x+1$，令$x=0$，得$y=1$，即$P(0,1)$；
将$x=3$代入$y_1=x+1$，得$y=4$，即$B(3,4)$。
由勾股定理得$BP=\sqrt{(3-0)^2+(4-1)^2}=3\sqrt{2}$。
∵直线$y=x+1$与$x$轴夹角为$45°$，向左平移2个单位后，两平行线的垂直距离$h=2×\sin45°=\sqrt{2}$，即点$C$到直线$PB$的高为$\sqrt{2}$。
∴$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}× BP× h=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{2}=3$。
【答案】
(1) $-4＜x＜0$或$x＞3$；
(2) 一次函数：$y=x+1$，反比例函数：$y=\frac{12}{x}$；
(3) $△ PBC$的面积为$3$。
【知识点】
1. 一次函数与反比例函数综合
2. 待定系数法求解析式
3. 函数平移与面积计算
【点评】
本题属于函数综合基础题，兼顾考查读图分析能力、代数运算能力和几何应用能力，解题时结合函数图像性质可有效简化运算，降低难度。
【难度系数】
0.6
16. (德阳中考)如图,已知菱形OABC,点C在x轴上,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过菱形的顶点A(3,4),连接OB,OB与反比例函数图象交于点D.
(1) 求反比例函数表达式;
(2) 求直线OB的表达式和点D的坐标.
(1) 求反比例函数表达式;
(2) 求直线OB的表达式和点D的坐标.
答案
16. 解:(1) 把 $A(3,4)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $k=3 × 4=12, \therefore$ 反比例函数表达式为 $y=\frac{12}{x}$; (2) $\because A(3,4), \therefore OA=\sqrt{3^2+4^2}=5. \because$ 四边形 $OABC$ 是菱形, $\therefore AB=OA=5. \therefore B(8,4)$. 设直线 $OB$ 的表达式为 $y=mx(m ≠ 0)$,把 $B(8,4)$ 代入得 $4=8m, \therefore m=\frac{1}{2}. \therefore$ 直线 $OB$ 的表达式为 $y=\frac{1}{2}x. \because$ 点 $D$ 是反比例函数与正比例函数图象的交点, $\therefore$ 联立解析式 $\begin{cases}y=\frac{12}{x},\\y=\frac{1}{2}x,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=2\sqrt{6},\\y=\sqrt{6},\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=-2\sqrt{6},\\y=-\sqrt{6}.\end{cases}$ $\because x＞0, \therefore D(2\sqrt{6},\sqrt{6})$.
解析
【分析】
(1) 求反比例函数表达式只需确定k值，已知反比例函数过点A(3,4)，直接将点坐标代入$y=\frac{k}{x}$即可计算k；
(2) 要得到直线OB的表达式，需先求点B的坐标：先利用勾股定理算出OA的长度，结合菱形四边相等、对边平行的性质，可得$AB=OA=5$，且AB与x轴平行，由此推出B点坐标；再用待定系数法设直线OB的解析式为$y=mx$，代入B点坐标求出m即可得到直线OB的表达式；最后点D是两个函数的交点，联立反比例函数和直线OB的解析式解方程组，结合$x＞0$的条件舍去不符合的解，即可得到D点坐标。
【解析】
(1) 将点A(3,4)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$k=3×4=12$
∴反比例函数表达式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) 由A(3,4)，根据勾股定理得：
$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵四边形OABC是菱形，
∴$AB=OA=5$，且$AB// x$轴，
∴点B的纵坐标与A相同为4，横坐标为$3+5=8$，即B(8,4)。
设直线OB的表达式为$y=mx(m≠0)$，将B(8,4)代入得：
$4=8m$，解得$m=\frac{1}{2}$
∴直线OB的表达式为$y=\frac{1}{2}x$。
联立两个函数解析式得：
$\begin{cases}y=\frac{12}{x}\\y=\frac{1}{2}x\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2\sqrt{6}\\y=\sqrt{6}\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2\sqrt{6}\\y=-\sqrt{6}\end{cases}$
∵$x＞0$，
∴舍去负解，即D点坐标为$(2\sqrt{6},\sqrt{6})$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$；
(2) 直线OB的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x}$，点D的坐标为$\boldsymbol{(2\sqrt{6},\sqrt{6})}$。
【知识点】
反比例函数解析式求解；菱形的性质；函数交点求解
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的基础综合题，主要考查待定系数法求函数解析式的方法，同时结合菱形的性质考查平面直角坐标系内点的坐标计算，解题时需注意自变量的取值范围，避免增解。
【难度系数】
0.7
(1) 求反比例函数表达式只需确定k值，已知反比例函数过点A(3,4)，直接将点坐标代入$y=\frac{k}{x}$即可计算k；
(2) 要得到直线OB的表达式，需先求点B的坐标：先利用勾股定理算出OA的长度，结合菱形四边相等、对边平行的性质，可得$AB=OA=5$，且AB与x轴平行，由此推出B点坐标；再用待定系数法设直线OB的解析式为$y=mx$，代入B点坐标求出m即可得到直线OB的表达式；最后点D是两个函数的交点，联立反比例函数和直线OB的解析式解方程组，结合$x＞0$的条件舍去不符合的解，即可得到D点坐标。
【解析】
(1) 将点A(3,4)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$k=3×4=12$
∴反比例函数表达式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) 由A(3,4)，根据勾股定理得：
$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵四边形OABC是菱形，
∴$AB=OA=5$，且$AB// x$轴，
∴点B的纵坐标与A相同为4，横坐标为$3+5=8$，即B(8,4)。
设直线OB的表达式为$y=mx(m≠0)$，将B(8,4)代入得：
$4=8m$，解得$m=\frac{1}{2}$
∴直线OB的表达式为$y=\frac{1}{2}x$。
联立两个函数解析式得：
$\begin{cases}y=\frac{12}{x}\\y=\frac{1}{2}x\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2\sqrt{6}\\y=\sqrt{6}\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2\sqrt{6}\\y=-\sqrt{6}\end{cases}$
∵$x＞0$，
∴舍去负解，即D点坐标为$(2\sqrt{6},\sqrt{6})$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$；
(2) 直线OB的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x}$，点D的坐标为$\boldsymbol{(2\sqrt{6},\sqrt{6})}$。
【知识点】
反比例函数解析式求解；菱形的性质；函数交点求解
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的基础综合题，主要考查待定系数法求函数解析式的方法，同时结合菱形的性质考查平面直角坐标系内点的坐标计算，解题时需注意自变量的取值范围，避免增解。
【难度系数】
0.7
17.（苏州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y=k_1x+b$的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象交于$A(m,1),B(\frac{2}{3},-3)$两点，与$x$轴、$y$轴交于$C,D$两点.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点$P$是该反比例函数图象上的一点，$△ COP$的面积是$△ AOD$的面积的2倍，求点$P$的坐标.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点$P$是该反比例函数图象上的一点，$△ COP$的面积是$△ AOD$的面积的2倍，求点$P$的坐标.
答案
17. 解:(1) 由条件可得 $-3=\frac{k_2}{\frac{2}{3}}$,解得 $k_2=-2, \therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=-\frac{2}{x}. \because$ 点 $A(m,1)$ 在反比例函数 $y=-\frac{2}{x}$ 的图象上, $\therefore 1=-\frac{2}{m}$,解得 $m=-2. \therefore A(-2,1)$. $\because$ 点 $A(-2,1),B(\frac{2}{3},-3)$ 在一次函数 $y=k_1x+b$ 的图象上, $\therefore \begin{cases}1=-2k_1+b,\\-3=\frac{2}{3}k_1+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=-\frac{3}{2},\\b=-2.\end{cases}$ $\therefore y=-\frac{3}{2}x-2$; (2) 由(1)得,一次函数的表达式为 $y=-\frac{3}{2}x-2$, 令 $x=0$, 则 $y=-2$; 令 $y=0$, 则 $x=-\frac{4}{3}, \therefore C(-\frac{4}{3},0),D(0,-2)$. $\therefore OC=\frac{4}{3},OD=2. \therefore S_{△ AOD}=\frac{1}{2} · OD · |x_A|=\frac{1}{2} × 2 × 2=2. \therefore S_{△ COP}=2S_{△ AOD}=4. \therefore S_{△ COP}=\frac{1}{2} · OC · |y_P|=\frac{1}{2} × \frac{4}{3} · |y_P|=4$, 解得 $|y_P|=6. \therefore$ 当 $y_P=6$ 时, $x_P=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$; 当 $y_P=-6$ 时, $x_P=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}. \therefore P(\frac{1}{3},-6)$ 或 $P(-\frac{1}{3},6)$.
解析
【分析】
（1）求解函数表达式优先利用已知点坐标：已知反比例函数过B点，可先将B点坐标代入反比例函数解析式求出$k_2$，得到反比例函数表达式；再将A点纵坐标代入反比例函数，求出$m$得到A点完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可得到一次函数的系数，得到一次函数表达式。
（2）先根据一次函数表达式求出与x轴、y轴交点C、D的坐标，计算出$△ AOD$的面积，再根据面积倍数关系得到$△ COP$的面积；$△ COP$以OC为底，高为点P纵坐标的绝对值，据此可求出P点纵坐标的可能值，再代入反比例函数解析式即可求出对应横坐标，得到P点坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 将$B(\frac{2}{3},-3)$代入反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$，得$-3=\frac{k_2}{\frac{2}{3}}$，解得$k_2=-2$，因此反比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{x}$。
将$A(m,1)$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$1=-\frac{2}{m}$，解得$m=-2$，即$A(-2,1)$。
将$A(-2,1)$、$B(\frac{2}{3},-3)$代入一次函数$y=k_1x+b$，得方程组：
$\begin{cases}1=-2k_1+b\\-3=\frac{2}{3}k_1+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-\frac{3}{2}\\b=-2\end{cases}$，因此一次函数的表达式为$y=-\frac{3}{2}x-2$。
(2) 对于一次函数$y=-\frac{3}{2}x-2$，令$y=0$，得$0=-\frac{3}{2}x-2$，解得$x=-\frac{4}{3}$，即$C(-\frac{4}{3},0)$；令$x=0$，得$y=-2$，即$D(0,-2)$。
因此$OC=\frac{4}{3}$，$OD=2$，$A$点横坐标的绝对值为$|x_A|=2$。
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2} × OD × |x_A|=\frac{1}{2} × 2 × 2=2$，由题意得$S_{△ COP}=2S_{△ AOD}=4$。
设点$P$的纵坐标为$y_P$，则$S_{△ COP}=\frac{1}{2} × OC × |y_P|$，代入得$\frac{1}{2} × \frac{4}{3} × |y_P|=4$，解得$|y_P|=6$。
当$y_P=6$时，代入$y=-\frac{2}{x}$得$x=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$，即$P(-\frac{1}{3},6)$；
当$y_P=-6$时，代入$y=-\frac{2}{x}$得$x=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}$，即$P(\frac{1}{3},-6)$。
【答案】
(1) 一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{2}x-2}$，反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{2}{x}}$；
(2) 点$P$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{1}{3},-6)}$或$\boldsymbol{(-\frac{1}{3},6)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；反比例函数的性质；坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常考题，第一问核心是利用已知点坐标通过待定系数法求解析式，第二问考察坐标系中三角形面积的计算，解题时注意点的坐标的绝对值的应用，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）求解函数表达式优先利用已知点坐标：已知反比例函数过B点，可先将B点坐标代入反比例函数解析式求出$k_2$，得到反比例函数表达式；再将A点纵坐标代入反比例函数，求出$m$得到A点完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可得到一次函数的系数，得到一次函数表达式。
（2）先根据一次函数表达式求出与x轴、y轴交点C、D的坐标，计算出$△ AOD$的面积，再根据面积倍数关系得到$△ COP$的面积；$△ COP$以OC为底，高为点P纵坐标的绝对值，据此可求出P点纵坐标的可能值，再代入反比例函数解析式即可求出对应横坐标，得到P点坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 将$B(\frac{2}{3},-3)$代入反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$，得$-3=\frac{k_2}{\frac{2}{3}}$，解得$k_2=-2$，因此反比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{x}$。
将$A(m,1)$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$1=-\frac{2}{m}$，解得$m=-2$，即$A(-2,1)$。
将$A(-2,1)$、$B(\frac{2}{3},-3)$代入一次函数$y=k_1x+b$，得方程组：
$\begin{cases}1=-2k_1+b\\-3=\frac{2}{3}k_1+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-\frac{3}{2}\\b=-2\end{cases}$，因此一次函数的表达式为$y=-\frac{3}{2}x-2$。
(2) 对于一次函数$y=-\frac{3}{2}x-2$，令$y=0$，得$0=-\frac{3}{2}x-2$，解得$x=-\frac{4}{3}$，即$C(-\frac{4}{3},0)$；令$x=0$，得$y=-2$，即$D(0,-2)$。
因此$OC=\frac{4}{3}$，$OD=2$，$A$点横坐标的绝对值为$|x_A|=2$。
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2} × OD × |x_A|=\frac{1}{2} × 2 × 2=2$，由题意得$S_{△ COP}=2S_{△ AOD}=4$。
设点$P$的纵坐标为$y_P$，则$S_{△ COP}=\frac{1}{2} × OC × |y_P|$，代入得$\frac{1}{2} × \frac{4}{3} × |y_P|=4$，解得$|y_P|=6$。
当$y_P=6$时，代入$y=-\frac{2}{x}$得$x=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$，即$P(-\frac{1}{3},6)$；
当$y_P=-6$时，代入$y=-\frac{2}{x}$得$x=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}$，即$P(\frac{1}{3},-6)$。
【答案】
(1) 一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{2}x-2}$，反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{2}{x}}$；
(2) 点$P$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{1}{3},-6)}$或$\boldsymbol{(-\frac{1}{3},6)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；反比例函数的性质；坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常考题，第一问核心是利用已知点坐标通过待定系数法求解析式，第二问考察坐标系中三角形面积的计算，解题时注意点的坐标的绝对值的应用，避免漏解。
【难度系数】
0.7
