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6. 如果函数$y=(k-1)x^{|k|-2}$是反比例函数，那么$k=$
-1
，此函数的表达式是$y=-\dfrac{2}{x}$
。答案
6. $-1$，$y=-\dfrac{2}{x}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确反比例函数的定义特征：反比例函数可写成$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，需满足两个核心条件：①自变量$x$的指数为$-1$；②自变量的系数（比例系数）不为0。我们先根据指数条件列方程求出$k$的可能取值，再通过系数不为0的条件排除不符合的取值，最终代入原式得到函数表达式。
【解析】
解：
∵函数$y=(k-1)x^{|k|-2}$是反比例函数
∴根据反比例函数的定义可得：
1. 自变量指数为$-1$，即$|k|-2=-1$
解绝对值方程得$|k|=1$，即$k=1$或$k=-1$
2. 比例系数不为0，即$k-1≠0$，解得$k≠1$
结合两个条件可得$k=-1$
将$k=-1$代入原式，得系数$k-1=-1-1=-2$，因此函数表达式为$y=-2x^{-1}=-\dfrac{2}{x}$
【答案】
$-1$，$y=-\dfrac{2}{x}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 绝对值方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题是反比例函数定义的基础考察题，解题关键是牢记反比例函数定义的两个约束条件，易错点是容易忽略比例系数不为0的要求，仅根据指数条件得到错误结论，遇到定义类题目时要注意对所有限制条件逐一验证。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确反比例函数的定义特征：反比例函数可写成$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，需满足两个核心条件：①自变量$x$的指数为$-1$；②自变量的系数（比例系数）不为0。我们先根据指数条件列方程求出$k$的可能取值，再通过系数不为0的条件排除不符合的取值，最终代入原式得到函数表达式。
【解析】
解：
∵函数$y=(k-1)x^{|k|-2}$是反比例函数
∴根据反比例函数的定义可得：
1. 自变量指数为$-1$，即$|k|-2=-1$
解绝对值方程得$|k|=1$，即$k=1$或$k=-1$
2. 比例系数不为0，即$k-1≠0$，解得$k≠1$
结合两个条件可得$k=-1$
将$k=-1$代入原式，得系数$k-1=-1-1=-2$，因此函数表达式为$y=-2x^{-1}=-\dfrac{2}{x}$
【答案】
$-1$，$y=-\dfrac{2}{x}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 绝对值方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题是反比例函数定义的基础考察题，解题关键是牢记反比例函数定义的两个约束条件，易错点是容易忽略比例系数不为0的要求，仅根据指数条件得到错误结论，遇到定义类题目时要注意对所有限制条件逐一验证。
【难度系数】
0.7
7. 已知一个反比例函数的图象经过点$(3,1)$，若该反比例函数的图象也经过点$(-1,m)$，则$m=$
-3
。答案
7. $-3$
解析
【分析】
本题考查反比例函数的相关计算，解题思路清晰：第一种方法是先利用已知点的坐标求出反比例函数的比例系数$k$，确定完整的函数解析式，再将待求点的横坐标代入解析式，就能算出$m$的值；第二种方法更简便，利用反比例函数的性质：图象上任意点的横、纵坐标乘积等于定值$k$，直接列等式求解即可。
【解析】
方法一：设该反比例函数的解析式为$ y = \frac{k}{x} $（$k≠0$）。
因为函数图象经过点$(3,1)$，将$x=3$、$y=1$代入解析式得：
$ 1 = \frac{k}{3} $，解得$k=3$。
因此反比例函数解析式为$ y = \frac{3}{x} $。
将点$(-1,m)$代入解析式，得$ m = \frac{3}{-1} = -3 $。
方法二：根据反比例函数的性质，图象上所有点的横、纵坐标乘积都等于比例系数$k$，因此可列等式：
$ 3×1 = (-1)× m $
解得$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是基础题型，主要考查反比例函数的基础应用，只要掌握反比例函数的基本性质或待定系数法求解析式的方法就能轻松解答，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的相关计算，解题思路清晰：第一种方法是先利用已知点的坐标求出反比例函数的比例系数$k$，确定完整的函数解析式，再将待求点的横坐标代入解析式，就能算出$m$的值；第二种方法更简便，利用反比例函数的性质：图象上任意点的横、纵坐标乘积等于定值$k$，直接列等式求解即可。
【解析】
方法一：设该反比例函数的解析式为$ y = \frac{k}{x} $（$k≠0$）。
因为函数图象经过点$(3,1)$，将$x=3$、$y=1$代入解析式得：
$ 1 = \frac{k}{3} $，解得$k=3$。
因此反比例函数解析式为$ y = \frac{3}{x} $。
将点$(-1,m)$代入解析式，得$ m = \frac{3}{-1} = -3 $。
方法二：根据反比例函数的性质，图象上所有点的横、纵坐标乘积都等于比例系数$k$，因此可列等式：
$ 3×1 = (-1)× m $
解得$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是基础题型，主要考查反比例函数的基础应用，只要掌握反比例函数的基本性质或待定系数法求解析式的方法就能轻松解答，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.9
8. 已知$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$两点都在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，且$x_1＜x_2＜0$，则$y_1\_\_\_\_\_\_y_2.$
答案
8. $＞$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的性质：先根据反比例函数的比例系数k的正负判断函数图象所在象限，以及同一象限内函数的增减性；再结合已知$x_1＜x_2＜0$，确定两点都在第三象限的分支上，最后根据增减性即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，其中比例系数$k=2＞0$，
∴该函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
∵$x_1＜x_2＜0$，
∴点$P_1$、$P_2$均位于第三象限的函数图象上，
根据增减性可得：在第三象限内，$x$越小对应的$y$值越大，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
$＞$
【知识点】
反比例函数的增减性；反比例函数的图象与系数的关系
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题的关键是明确利用反比例函数增减性比较函数值大小时，必须保证两点在同一象限的分支上，避免跨象限直接用增减性判断导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数的性质：先根据反比例函数的比例系数k的正负判断函数图象所在象限，以及同一象限内函数的增减性；再结合已知$x_1＜x_2＜0$，确定两点都在第三象限的分支上，最后根据增减性即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，其中比例系数$k=2＞0$，
∴该函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
∵$x_1＜x_2＜0$，
∴点$P_1$、$P_2$均位于第三象限的函数图象上，
根据增减性可得：在第三象限内，$x$越小对应的$y$值越大，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
$＞$
【知识点】
反比例函数的增减性；反比例函数的图象与系数的关系
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题的关键是明确利用反比例函数增减性比较函数值大小时，必须保证两点在同一象限的分支上，避免跨象限直接用增减性判断导致出错。
【难度系数】
0.8
9. 如图，反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为
4
。答案
9. 4
解析
【分析】
要计算矩形OABC的面积，需先求出矩形相邻两边OA和OC的长度乘积。已知反比例函数$y=\frac{2}{x}$经过AB的中点D，我们可以先设点A的横坐标为$a$，得到D点的横坐标后代入反比例函数解析式求出D点纵坐标，再结合中点性质得到AB（即OC）的长度，最后计算OA与OC的乘积即可得到矩形面积，也可直接利用反比例函数$k$的几何意义简化计算。
【解析】
设点$A$的坐标为$(a,0)$（$a＞0$），则$OA=a$。
∵点$D$在边$AB$上，
∴$D$的横坐标为$a$，将$x=a$代入$y=\frac{2}{x}$，得$y=\frac{2}{a}$，即$AD=\frac{2}{a}$。
∵$D$是$AB$的中点，
∴$AB=2AD=2×\frac{2}{a}=\frac{4}{a}$。
∵四边形$OABC$是矩形，
∴$OC=AB=\frac{4}{a}$。
∴矩形$OABC$的面积$S=OA· OC=a×\frac{4}{a}=4$。
（简便解法：根据反比例函数$k$的几何意义，过反比例函数上的点作坐标轴垂线，所得矩形面积为$|k|$，则以$OA、AD$为邻边的小矩形面积为$2$，又$AB=2AD$，故大矩形面积为$2×2=4$）
【答案】
4
【知识点】
反比例函数$k$的几何意义，矩形的性质，中点的定义
【点评】
本题属于基础题，既可以通过设坐标推导求解，也可以利用反比例函数$k$的几何意义快速得出结果，解题关键是抓住D是AB中点这一条件，建立反比例函数上点的坐标与矩形边长的关系。
【难度系数】
0.7
要计算矩形OABC的面积，需先求出矩形相邻两边OA和OC的长度乘积。已知反比例函数$y=\frac{2}{x}$经过AB的中点D，我们可以先设点A的横坐标为$a$，得到D点的横坐标后代入反比例函数解析式求出D点纵坐标，再结合中点性质得到AB（即OC）的长度，最后计算OA与OC的乘积即可得到矩形面积，也可直接利用反比例函数$k$的几何意义简化计算。
【解析】
设点$A$的坐标为$(a,0)$（$a＞0$），则$OA=a$。
∵点$D$在边$AB$上，
∴$D$的横坐标为$a$，将$x=a$代入$y=\frac{2}{x}$，得$y=\frac{2}{a}$，即$AD=\frac{2}{a}$。
∵$D$是$AB$的中点，
∴$AB=2AD=2×\frac{2}{a}=\frac{4}{a}$。
∵四边形$OABC$是矩形，
∴$OC=AB=\frac{4}{a}$。
∴矩形$OABC$的面积$S=OA· OC=a×\frac{4}{a}=4$。
（简便解法：根据反比例函数$k$的几何意义，过反比例函数上的点作坐标轴垂线，所得矩形面积为$|k|$，则以$OA、AD$为邻边的小矩形面积为$2$，又$AB=2AD$，故大矩形面积为$2×2=4$）
【答案】
4
【知识点】
反比例函数$k$的几何意义，矩形的性质，中点的定义
【点评】
本题属于基础题，既可以通过设坐标推导求解，也可以利用反比例函数$k$的几何意义快速得出结果，解题关键是抓住D是AB中点这一条件，建立反比例函数上点的坐标与矩形边长的关系。
【难度系数】
0.7
10. 已知$△ ABC$的三个顶点为$A(-1,1),B(-1,3),C(-3,-3)$，将$△ ABC$向右平移$m(m＞0)$个单位长度后，$△ ABC$某一边的中点恰好落在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，则$m$的值为________。
答案
10. 2.5
解析
【分析】
解题时先利用中点坐标公式求出△ABC三边的中点坐标，再根据向右平移的坐标变化规律（横坐标加m，纵坐标不变）得到平移后的中点坐标；结合反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式的特点，将平移后的中点坐标代入反比例函数，结合m＞0的限制条件筛选出正确的m值即可。
【解析】
首先利用中点坐标公式计算三边中点坐标：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
1. 求各边中点坐标：
AB边中点：$A(-1,1)$，$B(-1,3)$，中点为$(\frac{-1-1}{2},\frac{1+3}{2})=(-1,2)$
BC边中点：$B(-1,3)$，$C(-3,-3)$，中点为$(\frac{-1-3}{2},\frac{3-3}{2})=(-2,0)$
AC边中点：$A(-1,1)$，$C(-3,-3)$，中点为$(\frac{-1-3}{2},\frac{1-3}{2})=(-2,-1)$
2. 写出平移后中点坐标（向右平移m个单位，横坐标加m，纵坐标不变）：
AB中点平移后为$(m-1,2)$
BC中点平移后为$(m-2,0)$，反比例函数$y=\frac{3}{x}$中$y≠0$，该点不可能在函数图象上，直接排除
AC中点平移后为$(m-2,-1)$
3. 代入反比例函数求解m：
把$(m-1,2)$代入$y=\frac{3}{x}$：$2=\frac{3}{m-1}$，解得$2(m-1)=3$，$2m=5$，$m=2.5$，满足$m＞0$，符合要求
把$(m-2,-1)$代入$y=\frac{3}{x}$：$-1=\frac{3}{m-2}$，解得$m=-1$，不满足$m＞0$，舍去
综上，m的值为2.5。
【答案】
2.5
【知识点】
中点坐标计算，图形平移的坐标规律，反比例函数图象上点的特征
【点评】
本题是小综合类题目，解题时要注意先罗列所有可能的中点，再结合反比例函数的性质和m的取值范围排除错误解，避免漏算或多算。
【难度系数】
0.65
解题时先利用中点坐标公式求出△ABC三边的中点坐标，再根据向右平移的坐标变化规律（横坐标加m，纵坐标不变）得到平移后的中点坐标；结合反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式的特点，将平移后的中点坐标代入反比例函数，结合m＞0的限制条件筛选出正确的m值即可。
【解析】
首先利用中点坐标公式计算三边中点坐标：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
1. 求各边中点坐标：
AB边中点：$A(-1,1)$，$B(-1,3)$，中点为$(\frac{-1-1}{2},\frac{1+3}{2})=(-1,2)$
BC边中点：$B(-1,3)$，$C(-3,-3)$，中点为$(\frac{-1-3}{2},\frac{3-3}{2})=(-2,0)$
AC边中点：$A(-1,1)$，$C(-3,-3)$，中点为$(\frac{-1-3}{2},\frac{1-3}{2})=(-2,-1)$
2. 写出平移后中点坐标（向右平移m个单位，横坐标加m，纵坐标不变）：
AB中点平移后为$(m-1,2)$
BC中点平移后为$(m-2,0)$，反比例函数$y=\frac{3}{x}$中$y≠0$，该点不可能在函数图象上，直接排除
AC中点平移后为$(m-2,-1)$
3. 代入反比例函数求解m：
把$(m-1,2)$代入$y=\frac{3}{x}$：$2=\frac{3}{m-1}$，解得$2(m-1)=3$，$2m=5$，$m=2.5$，满足$m＞0$，符合要求
把$(m-2,-1)$代入$y=\frac{3}{x}$：$-1=\frac{3}{m-2}$，解得$m=-1$，不满足$m＞0$，舍去
综上，m的值为2.5。
【答案】
2.5
【知识点】
中点坐标计算，图形平移的坐标规律，反比例函数图象上点的特征
【点评】
本题是小综合类题目，解题时要注意先罗列所有可能的中点，再结合反比例函数的性质和m的取值范围排除错误解，避免漏算或多算。
【难度系数】
0.65
11. 如图，直线$y=2x+4$与$y$轴交于点$A$，与$x$轴交于点$B$，与双曲线$y=\frac{k}{x}$交于$C$，$D$两点，且$DA=AB=BC$，则反比例函数的表达式为
$y=\dfrac{16}{x}$
。答案
11. $y=\dfrac{16}{x}$
解析
【分析】
首先求出直线与x轴、y轴的交点B、A的坐标，再根据DA=AB=BC的线段相等关系，可知点A是线段BD的中点，利用中点坐标公式即可求出点D的坐标，最后将点D坐标代入反比例函数表达式，求出k值即可得到反比例函数解析式。
【解析】
1. 求直线与坐标轴的交点坐标：
对于直线$y=2x+4$，
当$x=0$时，$y=4$，故点A的坐标为$(0,4)$；
当$y=0$时，$2x+4=0$，解得$x=-2$，故点B的坐标为$(-2,0)$。
2. 求点D的坐标：
已知$DA=AB$，即点A是线段BD的中点。
设点D的坐标为$(m,n)$，根据中点坐标公式：若点$(x_0,y_0)$是点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$的中点，则$x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$，$y_0=\frac{y_1+y_2}{2}$。
将A$(0,4)$、B$(-2,0)$代入得：
$\begin{cases}0=\frac{-2+m}{2}\\4=\frac{0+n}{2}\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=2\\n=8\end{cases}$，即D点坐标为$(2,8)$。
3. 求反比例函数表达式：
因为点D$(2,8)$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，代入得：
$8=\frac{k}{2}$，解得$k=2×8=16$。
故反比例函数的表达式为$y=\frac{16}{x}$。
【答案】
$y=\dfrac{16}{x}$
【知识点】
一次函数交点求解；中点坐标公式；反比例函数解析式确定
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解题的突破口是根据线段相等的关系得到中点，利用中点坐标公式快速求出反比例函数上点的坐标，整体解题思路清晰，掌握基础公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
首先求出直线与x轴、y轴的交点B、A的坐标，再根据DA=AB=BC的线段相等关系，可知点A是线段BD的中点，利用中点坐标公式即可求出点D的坐标，最后将点D坐标代入反比例函数表达式，求出k值即可得到反比例函数解析式。
【解析】
1. 求直线与坐标轴的交点坐标：
对于直线$y=2x+4$，
当$x=0$时，$y=4$，故点A的坐标为$(0,4)$；
当$y=0$时，$2x+4=0$，解得$x=-2$，故点B的坐标为$(-2,0)$。
2. 求点D的坐标：
已知$DA=AB$，即点A是线段BD的中点。
设点D的坐标为$(m,n)$，根据中点坐标公式：若点$(x_0,y_0)$是点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$的中点，则$x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$，$y_0=\frac{y_1+y_2}{2}$。
将A$(0,4)$、B$(-2,0)$代入得：
$\begin{cases}0=\frac{-2+m}{2}\\4=\frac{0+n}{2}\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=2\\n=8\end{cases}$，即D点坐标为$(2,8)$。
3. 求反比例函数表达式：
因为点D$(2,8)$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，代入得：
$8=\frac{k}{2}$，解得$k=2×8=16$。
故反比例函数的表达式为$y=\frac{16}{x}$。
【答案】
$y=\dfrac{16}{x}$
【知识点】
一次函数交点求解；中点坐标公式；反比例函数解析式确定
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解题的突破口是根据线段相等的关系得到中点，利用中点坐标公式快速求出反比例函数上点的坐标，整体解题思路清晰，掌握基础公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
12. 已知$y-1$与$x+2$成反比例函数关系，且当$x=-1$时，$y=3$.求：
（1）$y$与$x$的函数表达式；
（2）当$x=0$时，$y$的值.
（1）$y$与$x$的函数表达式；
（2）当$x=0$时，$y$的值.
答案
12. (1) $y=\dfrac{2}{x+2}+1$ (2) 2
解析
【分析】
首先，根据“两个量成反比例函数关系”的定义，若$y-1$与$x+2$成反比例，则可设两个整体的乘积为非零常数$k$，即$(y-1)(x+2)=k(k≠0)$；接下来将已知的$x=-1$、$y=3$代入该式，求出参数$k$的值，再整理为$y$关于$x$的表达式，即可完成第（1）问；第（2）问只需将$x=0$代入第（1）问求出的函数表达式，计算即可得到对应的$y$值。
【解析】
（1）$\because y-1$与$x+2$成反比例函数关系
$\therefore$设$\boldsymbol{(y-1)(x+2)=k}$（$k$为常数，且$k≠0$）
将$x=-1$，$y=3$代入上式得：
$(3-1)×(-1+2)=k$
计算得：$2×1=k$，即$k=2$
将$k=2$代入所设关系式得：
$(y-1)(x+2)=2$
整理为$y$关于$x$的表达式：$y=\dfrac{2}{x+2}+1$
（2）将$x=0$代入$y=\dfrac{2}{x+2}+1$得：
$y=\dfrac{2}{0+2}+1=1+1=2$
【答案】
（1）$y=\dfrac{2}{x+2}+1$；（2）$2$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求函数解析式；函数值计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是明确成反比例关系的是$y-1$和$x+2$两个整体，不要误设为$y$与$x$直接成反比例，按照待定系数法的步骤求解即可，计算量较小。
【难度系数】
0.8
首先，根据“两个量成反比例函数关系”的定义，若$y-1$与$x+2$成反比例，则可设两个整体的乘积为非零常数$k$，即$(y-1)(x+2)=k(k≠0)$；接下来将已知的$x=-1$、$y=3$代入该式，求出参数$k$的值，再整理为$y$关于$x$的表达式，即可完成第（1）问；第（2）问只需将$x=0$代入第（1）问求出的函数表达式，计算即可得到对应的$y$值。
【解析】
（1）$\because y-1$与$x+2$成反比例函数关系
$\therefore$设$\boldsymbol{(y-1)(x+2)=k}$（$k$为常数，且$k≠0$）
将$x=-1$，$y=3$代入上式得：
$(3-1)×(-1+2)=k$
计算得：$2×1=k$，即$k=2$
将$k=2$代入所设关系式得：
$(y-1)(x+2)=2$
整理为$y$关于$x$的表达式：$y=\dfrac{2}{x+2}+1$
（2）将$x=0$代入$y=\dfrac{2}{x+2}+1$得：
$y=\dfrac{2}{0+2}+1=1+1=2$
【答案】
（1）$y=\dfrac{2}{x+2}+1$；（2）$2$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求函数解析式；函数值计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是明确成反比例关系的是$y-1$和$x+2$两个整体，不要误设为$y$与$x$直接成反比例，按照待定系数法的步骤求解即可，计算量较小。
【难度系数】
0.8
13. 如图，$□ OBCD$的顶点$D$在$x$轴的正半轴上，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$B$，与对角线$OC$交于点$A(4,3)$。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点$B$的横坐标为$3$，求点$C$的坐标。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点$B$的横坐标为$3$，求点$C$的坐标。
答案
13. 解:(1) 由条件可得$3=\dfrac{k}{4}$，$\therefore k=12. \therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{12}{x}$；
(2) 设直线$OC$的表达式为$y=mx$,则$4m=3$,解得$m=\dfrac{3}{4}$,$\therefore$ 直线$OC$的表达式为$y=\dfrac{3}{4}x. \because$ 点$B$的横坐标为$3$,$\therefore$ 把$x=3$代入$y=\dfrac{12}{x}$中,得$y=4$,即点$B$的纵坐标为$4. \because BC// OD$,$\therefore$ 点$C$的纵坐标为$4$,把$y=4$代入$y=\dfrac{3}{4}x$,得$x=\dfrac{16}{3}$,$\therefore$ 点$C$的坐标为$(\dfrac{16}{3},4)$.
(2) 设直线$OC$的表达式为$y=mx$,则$4m=3$,解得$m=\dfrac{3}{4}$,$\therefore$ 直线$OC$的表达式为$y=\dfrac{3}{4}x. \because$ 点$B$的横坐标为$3$,$\therefore$ 把$x=3$代入$y=\dfrac{12}{x}$中,得$y=4$,即点$B$的纵坐标为$4. \because BC// OD$,$\therefore$ 点$C$的纵坐标为$4$,把$y=4$代入$y=\dfrac{3}{4}x$,得$x=\dfrac{16}{3}$,$\therefore$ 点$C$的坐标为$(\dfrac{16}{3},4)$.
解析
【分析】
（1）求反比例函数表达式时，由于反比例函数$y=\frac{k}{x}$仅需一个点的坐标即可求出未知系数$k$，已知点$A(4,3)$在反比例函数图象上，直接代入计算即可得到表达式。
（2）先利用点$A$在对角线$OC$上，用待定系数法求出直线$OC$的解析式；再将点$B$的横坐标代入反比例函数，求出点$B$的纵坐标；结合平行四边形对边平行的性质，可得$BC// x$轴，即点$C$与点$B$纵坐标相等，最后将点$C$的纵坐标代入直线$OC$的解析式，即可求出点$C$的横坐标，得到点$C$坐标。
【解析】
(1) 把点$A(4,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得：
$3=\dfrac{k}{4}$，解得$k=12$，
因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{12}{x}$。
(2) 设直线$OC$的表达式为$y=mx$，把点$A(4,3)$代入得：
$4m=3$，解得$m=\dfrac{3}{4}$，
因此直线$OC$的表达式为$y=\dfrac{3}{4}x$。
已知点$B$的横坐标为$3$，将$x=3$代入$y=\dfrac{12}{x}$，得$y=\dfrac{12}{3}=4$，即点$B$的纵坐标为$4$。
∵四边形$OBCD$是平行四边形，
∴$BC// OD$，
又$OD$在$x$轴上，因此点$C$与点$B$纵坐标相等，即点$C$的纵坐标为$4$。
把$y=4$代入$y=\dfrac{3}{4}x$，得$4=\dfrac{3}{4}x$，解得$x=\dfrac{16}{3}$，
因此点$C$的坐标为$(\dfrac{16}{3},4)$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{12}{x}$；(2) $(\dfrac{16}{3},4)$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，平行四边形性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何结合的基础题型，核心考查函数图象上点的坐标与解析式的关系，结合平行四边形的性质可快速找到点坐标的关联，解题思路清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
（1）求反比例函数表达式时，由于反比例函数$y=\frac{k}{x}$仅需一个点的坐标即可求出未知系数$k$，已知点$A(4,3)$在反比例函数图象上，直接代入计算即可得到表达式。
（2）先利用点$A$在对角线$OC$上，用待定系数法求出直线$OC$的解析式；再将点$B$的横坐标代入反比例函数，求出点$B$的纵坐标；结合平行四边形对边平行的性质，可得$BC// x$轴，即点$C$与点$B$纵坐标相等，最后将点$C$的纵坐标代入直线$OC$的解析式，即可求出点$C$的横坐标，得到点$C$坐标。
【解析】
(1) 把点$A(4,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得：
$3=\dfrac{k}{4}$，解得$k=12$，
因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{12}{x}$。
(2) 设直线$OC$的表达式为$y=mx$，把点$A(4,3)$代入得：
$4m=3$，解得$m=\dfrac{3}{4}$，
因此直线$OC$的表达式为$y=\dfrac{3}{4}x$。
已知点$B$的横坐标为$3$，将$x=3$代入$y=\dfrac{12}{x}$，得$y=\dfrac{12}{3}=4$，即点$B$的纵坐标为$4$。
∵四边形$OBCD$是平行四边形，
∴$BC// OD$，
又$OD$在$x$轴上，因此点$C$与点$B$纵坐标相等，即点$C$的纵坐标为$4$。
把$y=4$代入$y=\dfrac{3}{4}x$，得$4=\dfrac{3}{4}x$，解得$x=\dfrac{16}{3}$，
因此点$C$的坐标为$(\dfrac{16}{3},4)$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{12}{x}$；(2) $(\dfrac{16}{3},4)$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，平行四边形性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何结合的基础题型，核心考查函数图象上点的坐标与解析式的关系，结合平行四边形的性质可快速找到点坐标的关联，解题思路清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
