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14. 如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在△OAB中，AO=AB=5，OB=6，点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上，则k的值为 （
A.−12
B.−15
C.−20
D.−30
A
）A.−12
B.−15
C.−20
D.−30
答案
14. A
解析
【分析】
要确定反比例函数中k的值，首先需要求出点A的坐标。已知△OAB是等腰三角形（AO=AB），可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点A作OB边上的高，结合勾股定理求出点A的横、纵坐标，再代入反比例函数解析式即可计算k值。
【解析】
过点A作AC⊥OB于点C。
∵ AO=AB，AC⊥OB，
∴ OC = $\frac{1}{2}$OB = $\frac{1}{2}$×6 = 3（等腰三角形三线合一）。
在Rt△AOC中，AO=5，OC=3，由勾股定理得：
AC = $\sqrt{AO^2 - OC^2}$ = $\sqrt{5^2 - 3^2}$ = $\sqrt{16}$ = 4。
∵ 点A在第二象限，
∴ 点A的坐标为(-3, 4)。
将A(-3,4)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
k = xy = (-3)×4 = -12。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，反比例函数解析式的确定
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，求出反比例函数上对应点的坐标，进而求出k值。
【难度系数】
0.7
要确定反比例函数中k的值，首先需要求出点A的坐标。已知△OAB是等腰三角形（AO=AB），可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点A作OB边上的高，结合勾股定理求出点A的横、纵坐标，再代入反比例函数解析式即可计算k值。
【解析】
过点A作AC⊥OB于点C。
∵ AO=AB，AC⊥OB，
∴ OC = $\frac{1}{2}$OB = $\frac{1}{2}$×6 = 3（等腰三角形三线合一）。
在Rt△AOC中，AO=5，OC=3，由勾股定理得：
AC = $\sqrt{AO^2 - OC^2}$ = $\sqrt{5^2 - 3^2}$ = $\sqrt{16}$ = 4。
∵ 点A在第二象限，
∴ 点A的坐标为(-3, 4)。
将A(-3,4)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
k = xy = (-3)×4 = -12。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，反比例函数解析式的确定
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，求出反比例函数上对应点的坐标，进而求出k值。
【难度系数】
0.7
15. 如图，直线$y=ax+b(a≠0)$与双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$交于点$A(-2,4)$和点$B(m,-2)$，则不等式$0＜ax+b＜\frac{k}{x}$的解集是 （
A.$-2＜x＜4$
B.$-2＜x＜0$
C.$x＜-2$或$0＜x＜4$
D.$-2＜x＜0$或$x＞4$
B
）A.$-2＜x＜4$
B.$-2＜x＜0$
C.$x＜-2$或$0＜x＜4$
D.$-2＜x＜0$或$x＞4$
答案
15. B
解析
【分析】
要解决该不等式解集问题，需结合函数图像的几何意义求解：首先利用已知点A的坐标求出反比例函数的解析式，再求出点B的坐标，最后将不等式$0＜ax+b＜\frac{k}{x}$转化为“一次函数值大于0，且小于反比例函数值”的图像位置关系，结合图像所在象限和交点位置确定x的取值范围，注意反比例函数自变量不为0的限制。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将点$A(-2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-2}$，解得$k=-8$，即双曲线解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
2. 求点B的坐标：
将$B(m,-2)$代入$y=-\frac{8}{x}$，得$-2=\frac{-8}{m}$，解得$m=4$，即$B(4,-2)$。
3. 结合图像分析不等式解集：
不等式$0＜ax+b＜\frac{k}{x}$包含两层含义：①一次函数值大于0（直线在x轴上方）；②一次函数值小于反比例函数值（直线在双曲线下方）。
由$k=-8＜0$可知，双曲线在第二、四象限：当$x＞0$时，反比例函数值为负数，不可能大于大于0的一次函数值，因此仅需考虑$x＜0$的范围。
在$x＜0$的范围内观察图像：当$-2＜x＜0$时，直线位于x轴上方，且在双曲线下方，满足$0＜ax+b＜\frac{k}{x}$。
因此不等式的解集为$-2＜x＜0$，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，函数图像解不等式，反比例函数的性质
【点评】
本题核心考查数形结合思想的应用，将不等式的解集转化为函数图像的高低位置关系可快速解题，解题时要注意反比例函数自变量不为0，以及不同象限内函数值的正负性，避免错选包含x＞0区间的选项。
【难度系数】
0.7
要解决该不等式解集问题，需结合函数图像的几何意义求解：首先利用已知点A的坐标求出反比例函数的解析式，再求出点B的坐标，最后将不等式$0＜ax+b＜\frac{k}{x}$转化为“一次函数值大于0，且小于反比例函数值”的图像位置关系，结合图像所在象限和交点位置确定x的取值范围，注意反比例函数自变量不为0的限制。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将点$A(-2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-2}$，解得$k=-8$，即双曲线解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
2. 求点B的坐标：
将$B(m,-2)$代入$y=-\frac{8}{x}$，得$-2=\frac{-8}{m}$，解得$m=4$，即$B(4,-2)$。
3. 结合图像分析不等式解集：
不等式$0＜ax+b＜\frac{k}{x}$包含两层含义：①一次函数值大于0（直线在x轴上方）；②一次函数值小于反比例函数值（直线在双曲线下方）。
由$k=-8＜0$可知，双曲线在第二、四象限：当$x＞0$时，反比例函数值为负数，不可能大于大于0的一次函数值，因此仅需考虑$x＜0$的范围。
在$x＜0$的范围内观察图像：当$-2＜x＜0$时，直线位于x轴上方，且在双曲线下方，满足$0＜ax+b＜\frac{k}{x}$。
因此不等式的解集为$-2＜x＜0$，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，函数图像解不等式，反比例函数的性质
【点评】
本题核心考查数形结合思想的应用，将不等式的解集转化为函数图像的高低位置关系可快速解题，解题时要注意反比例函数自变量不为0，以及不同象限内函数值的正负性，避免错选包含x＞0区间的选项。
【难度系数】
0.7
16. 如图，点P在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，$PA ⊥ x$轴于点A，$PB ⊥ y$轴于点B，$PA=PB$.一次函数$y=x+1$的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为
4
.答案
16. 4
解析
【分析】
首先由PA⊥x轴、PB⊥y轴可判断四边形OAPB是矩形，结合PA=PB可知该矩形是正方形，因此点P的横坐标与纵坐标相等。我们可以设P点坐标为(a,a)，再根据D是PB的中点求出D点坐标，将D点坐标代入一次函数解析式求出a的值，最后将P点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
解：
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴四边形OAPB是矩形，
又
∵PA=PB，
∴矩形OAPB是正方形，
∴点P的横坐标与纵坐标相等，设P(a,a)（a＞0）。
∵D是PB的中点，PB为水平线段，纵坐标均为a，端点为(0,a)和(a,a)，
∴D点坐标为$( \frac{a}{2}, a )$。
∵点D在一次函数$y=x+1$的图象上，
∴将D点坐标代入解析式得：$a = \frac{a}{2} + 1$，
解得：$a=2$，
∴P点坐标为(2,2)，
∵点P在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=xy=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；正方形的判定与性质
【点评】
本题是函数与几何的综合基础题，解题的突破口是根据PA=PB得出P点横纵坐标相等，再结合中点坐标公式和一次函数的性质求出P点坐标，进而求出k值，考查了学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先由PA⊥x轴、PB⊥y轴可判断四边形OAPB是矩形，结合PA=PB可知该矩形是正方形，因此点P的横坐标与纵坐标相等。我们可以设P点坐标为(a,a)，再根据D是PB的中点求出D点坐标，将D点坐标代入一次函数解析式求出a的值，最后将P点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
解：
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴四边形OAPB是矩形，
又
∵PA=PB，
∴矩形OAPB是正方形，
∴点P的横坐标与纵坐标相等，设P(a,a)（a＞0）。
∵D是PB的中点，PB为水平线段，纵坐标均为a，端点为(0,a)和(a,a)，
∴D点坐标为$( \frac{a}{2}, a )$。
∵点D在一次函数$y=x+1$的图象上，
∴将D点坐标代入解析式得：$a = \frac{a}{2} + 1$，
解得：$a=2$，
∴P点坐标为(2,2)，
∵点P在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=xy=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；正方形的判定与性质
【点评】
本题是函数与几何的综合基础题，解题的突破口是根据PA=PB得出P点横纵坐标相等，再结合中点坐标公式和一次函数的性质求出P点坐标，进而求出k值，考查了学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
17. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABO$中,$AO=\sqrt{3}$,$AB=1$,将$△ ABO$绕点$O$顺时针旋转$105°$至$△ A'B'O$的位置,点$E$是$OB'$的中点,且点$E$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上,则$k$的值为________.
答案
17. $\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先在Rt△ABO中，利用勾股定理求出OB的长度，再通过三角函数求出∠AOB的度数；第二步结合旋转的性质，得到OB'的长度和OB'与x轴正方向的夹角；第三步根据E是OB'中点求出OE的长度，再利用特殊角的三角函数值求出点E的坐标；最后将E点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
解：在Rt△ABO中，∠OAB=90°，$AO=\sqrt{3}$，$AB=1$，
∴ 由勾股定理得：$OB = \sqrt{AO^2 + AB^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$，
$\tan∠ AOB = \frac{AB}{AO} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $∠ AOB=30°$，
即OB与x轴负半轴的夹角为$30°$，OB与x轴正方向的夹角为$180°-30°=150°$，
∵ $△ ABO$绕点O顺时针旋转$105°$得到$△ A'B'O$，
∴ $OB'=OB=2$，旋转角$∠ BOB'=105°$，
∴ OB'与x轴正方向的夹角为$150° - 105°=45°$，
∵ 点E是$OB'$的中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}OB' = 1$，
过E作EF⊥x轴于点F，在Rt△OEF中，$∠ EOF=45°$，$OE=1$，
∴ $OF = OE·\cos45° = 1×\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$EF = OE·\sin45° = 1×\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
即E点坐标为$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$，
将E$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$k = x· y = \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题综合考查了直角三角形性质、图形旋转性质以及反比例函数相关知识，解题关键是准确求出点E的坐标，需要熟练掌握特殊角三角函数值的应用。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步先在Rt△ABO中，利用勾股定理求出OB的长度，再通过三角函数求出∠AOB的度数；第二步结合旋转的性质，得到OB'的长度和OB'与x轴正方向的夹角；第三步根据E是OB'中点求出OE的长度，再利用特殊角的三角函数值求出点E的坐标；最后将E点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
解：在Rt△ABO中，∠OAB=90°，$AO=\sqrt{3}$，$AB=1$，
∴ 由勾股定理得：$OB = \sqrt{AO^2 + AB^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$，
$\tan∠ AOB = \frac{AB}{AO} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $∠ AOB=30°$，
即OB与x轴负半轴的夹角为$30°$，OB与x轴正方向的夹角为$180°-30°=150°$，
∵ $△ ABO$绕点O顺时针旋转$105°$得到$△ A'B'O$，
∴ $OB'=OB=2$，旋转角$∠ BOB'=105°$，
∴ OB'与x轴正方向的夹角为$150° - 105°=45°$，
∵ 点E是$OB'$的中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}OB' = 1$，
过E作EF⊥x轴于点F，在Rt△OEF中，$∠ EOF=45°$，$OE=1$，
∴ $OF = OE·\cos45° = 1×\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$EF = OE·\sin45° = 1×\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
即E点坐标为$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$，
将E$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$k = x· y = \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题综合考查了直角三角形性质、图形旋转性质以及反比例函数相关知识，解题关键是准确求出点E的坐标，需要熟练掌握特殊角三角函数值的应用。
【难度系数】
0.65
18. 如图①是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升20 ℃，加热到100 ℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温 y(℃)是通电时间 x(min)的反比例函数，若在水温为20 ℃时开始加热，水温 y 与通电时间 x 之间的函数关系如图②所示。加热一次，水温不低于50 ℃的时间有
6.5
分钟。答案
18. 6.5
解析
【分析】
本题是分段函数的实际应用问题，分为加热阶段的一次函数和降温阶段的反比例函数两部分。解题思路如下：首先计算加热到100℃的时间，写出加热阶段的一次函数解析式；再利用已知点求出降温阶段的反比例函数解析式；最后分别求出两个阶段水温为50℃对应的通电时间，两个时间的差值就是水温不低于50℃的总时长。
【解析】
1. 求加热阶段的参数：初始水温为20℃，每分钟上升20℃，加热到100℃所需时间为$(100-20)÷20=4(\mathrm{min})$，因此加热阶段（$0≤ x≤4$）的函数解析式为$y=20x+20$。
2. 求降温阶段的反比例函数解析式：设降温阶段反比例函数为$y=\frac{k}{x}$，将点$(4,100)$代入得$100=\frac{k}{4}$，解得$k=400$，即降温阶段解析式为$y=\frac{400}{x}(x≥4)$。
3. 求水温为50℃对应的时间：
加热阶段：令$20x+20=50$，解得$x=1.5$；
降温阶段：令$\frac{400}{x}=50$，解得$x=8$。
4. 计算总时长：水温不低于50℃的时间为$8-1.5=6.5(\mathrm{min})$。
【答案】
6.5
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，分段函数
【点评】
本题结合生活场景考查分段函数的应用，核心是准确确定分段节点、求出两段函数的解析式，再根据函数值求解对应自变量的取值，解题时注意区分两个阶段的自变量取值范围即可。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数的实际应用问题，分为加热阶段的一次函数和降温阶段的反比例函数两部分。解题思路如下：首先计算加热到100℃的时间，写出加热阶段的一次函数解析式；再利用已知点求出降温阶段的反比例函数解析式；最后分别求出两个阶段水温为50℃对应的通电时间，两个时间的差值就是水温不低于50℃的总时长。
【解析】
1. 求加热阶段的参数：初始水温为20℃，每分钟上升20℃，加热到100℃所需时间为$(100-20)÷20=4(\mathrm{min})$，因此加热阶段（$0≤ x≤4$）的函数解析式为$y=20x+20$。
2. 求降温阶段的反比例函数解析式：设降温阶段反比例函数为$y=\frac{k}{x}$，将点$(4,100)$代入得$100=\frac{k}{4}$，解得$k=400$，即降温阶段解析式为$y=\frac{400}{x}(x≥4)$。
3. 求水温为50℃对应的时间：
加热阶段：令$20x+20=50$，解得$x=1.5$；
降温阶段：令$\frac{400}{x}=50$，解得$x=8$。
4. 计算总时长：水温不低于50℃的时间为$8-1.5=6.5(\mathrm{min})$。
【答案】
6.5
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，分段函数
【点评】
本题结合生活场景考查分段函数的应用，核心是准确确定分段节点、求出两段函数的解析式，再根据函数值求解对应自变量的取值，解题时注意区分两个阶段的自变量取值范围即可。
【难度系数】
0.7
