19. 已知$y=y_1 - y_2$，$y_1$与$x^2$成正比例，$y_2$与$x+3$成反比例，当$x=0$时，$y=2$；当$x=3$时，$y=0$，求$y$与$x$的函数表达式，并指出自变量的取值范围。

19. $y=-\dfrac{1}{9}x^2+\dfrac{6}{x+3}(x≠ -3)$

【分析】
本题需要利用待定系数法求函数解析式，解题思路如下：首先根据正比例、反比例函数的定义，分别设出y₁、y₂的表达式（两个比例系数用不同字母区分），再结合y=y₁-y₂得到y关于x的含待定系数的表达式；然后将题目给出的两组x、y的对应值代入表达式，得到关于待定系数的方程组，解方程组求出两个系数的值；最后将系数代回表达式，再根据反比例函数分母不为0的要求，确定自变量x的取值范围即可。
【解析】
解：
∵ $y_1$与$x^2$成正比例，
∴ 设$y_1=k_1x^2$（$k_1≠0$，$k_1$为常数），
∵ $y_2$与$x+3$成反比例，
∴ 设$y_2=\frac{k_2}{x+3}$（$k_2≠0$，$k_2$为常数），
又
∵ $y=y_1-y_2$，
∴ $y = k_1x^2 - \frac{k_2}{x+3}$。
将$x=0$，$y=2$代入上式，得：
$k_1×0^2 - \frac{k_2}{0+3} = 2$，
即 $-\frac{k_2}{3}=2$，解得$k_2=-6$。
将$x=3$，$y=0$，$k_2=-6$代入$y = k_1x^2 - \frac{k_2}{x+3}$，得：
$k_1×3^2 - \frac{-6}{3+3}=0$，
即$9k_1+1=0$，解得$k_1=-\frac{1}{9}$。
将$k_1=-\frac{1}{9}$，$k_2=-6$代回$y$的表达式，得：
$y = -\frac{1}{9}x^2 - \frac{-6}{x+3} = -\frac{1}{9}x^2 + \frac{6}{x+3}$。
∵ 反比例部分分母不能为0，
∴ $x+3≠0$，即$x≠-3$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{9}x^2+\dfrac{6}{x+3}(x≠ -3)$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确理解正比例、反比例函数的定义，合理设出函数表达式，代入数值计算时要注意符号问题，不要遗漏反比例函数中分母不为0的自变量取值限制。
【难度系数】
0.75

20. 如图，已知直线$y=x+b$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(2,3)$，与$y$轴交于点$B$，过点$B$作$x$轴的平行线交反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象于点$C$。
（1）求直线$AB$和反比例函数图象的表达式；
（2）求$△ ABC$的面积。

20. 解:(1) $\because$ 直线$y=x+b$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(2,3)$，
$\therefore k=2×3=6,2+b=3$,即$b=1. \therefore$ 直线$AB$的表达式为$y=x+1$,反比例函数的表达式为$y=\dfrac{6}{x}$；
(2) $\because$ 直线$y=x+1$的图象与$y$轴交于点$B$,$\therefore$ 当$x=0$时,$y=1. \therefore B(0,1)$.
$\because BC// x$轴,直线$BC$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$C$,$\therefore$ 点$C$的纵坐标为$1. \therefore \dfrac{6}{x}=1$,即$x=6. \therefore C(6,1)$.
$\therefore BC=6. \therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×2×6=6$.

【分析】
（1）要确定两个函数的表达式，已知点A是两个函数图象的公共点，将点A坐标分别代入两个函数解析式，即可求出未知参数k和b，得到对应函数表达式。
（2）求$△ ABC$的面积，需先确定B、C两点坐标：先求直线AB与y轴交点B，令x=0代入直线解析式即可得到B点坐标；由于BC平行x轴，因此C点纵坐标与B点相同，将纵坐标代入反比例函数解析式求出横坐标，得到C点坐标；BC为水平线段，长度等于C、B两点横坐标之差，BC边上的高等于A、B两点纵坐标之差，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because$ 直线$y=x+b$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(2,3)$，
将$A(2,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=2×3=6$，
将$A(2,3)$代入$y=x+b$，得$2+b=3$，解得$b=1$，
$\therefore$ 直线AB的表达式为$y=x+1$，反比例函数的表达式为$y=\dfrac{6}{x}$。
(2) $\because$ 直线$y=x+1$与y轴交于点B，令$x=0$，得$y=0+1=1$，
$\therefore B(0,1)$，
$\because BC// x$轴，点C在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上，
$\therefore$ 点C的纵坐标为1，将$y=1$代入$y=\dfrac{6}{x}$，得$\dfrac{6}{x}=1$，解得$x=6$，
$\therefore C(6,1)$，
$\therefore BC=6-0=6$，BC边上的高为$3-1=2$，
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×6×2=6$。
【答案】
(1) 直线AB的表达式为$\boldsymbol{y=x+1}$，反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{6}{x}}$；
(2) $△ ABC$的面积为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考察函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，结合坐标特征求出对应点坐标即可求解图形面积，是函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

21. 如图，双曲线$y=\frac{3}{x}(x＞0)$。
（1）点A(1,3)在这个函数的图象上吗？请说明理由；
（2）点P在该函数图象上，连接OP。
① 若将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM，求经过点M的双曲线的表达式；
② 若将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON，求经过点N的双曲线的表达式。

21. 解:(1) 点$A(1,3)$在这个函数的图象上,理由:把$x=1$代入$y=\dfrac{3}{x}$得$y=3$,故点$A(1,3)$在这个函数的图象上；
(2) 设$P(a,b)$,$\because$ 点$P$在该函数图象上,$\therefore ab=3$.
① 将线段$OP$沿着$x$轴翻折得到线段$OM$,$\therefore M(a,-b)$.设经过点$M$的双曲线的表达式为$y=\dfrac{m}{x}$,
$\therefore m=-ab=-3. \therefore$ 经过点$M$的双曲线的表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$；
② $\because$ 如图,将线段$OP$绕点$O$逆时针旋转$90°$得到线段$ON$,$\therefore ∠ PON=90°$,$ON=OP$.过$P$作$PF⊥ x$轴于$F$,过$N$作$NE⊥ y$轴于$E$,$\therefore ∠ NEO=∠ OFP=90°. \because ∠ NOE+∠ POE=∠ POE+∠ POF=90°. \therefore ∠ NOE=∠ POF$.
$\therefore △ NOE≌△ POF(\mathrm{AAS}). \because NE=PF=b$,$OE=OF=a$,
$\therefore N(-b,a)$. 设经过点$N$的双曲线的表达式为$y=\dfrac{n}{x}$,
$\therefore n=-ab=-3$,$\therefore$ 经过点$N$的双曲线的表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$.

【分析】
（1）判断点是否在反比例函数图象上，只需验证点的横、纵坐标是否满足函数解析式：将点的横坐标代入解析式，若计算出的y值与点的纵坐标相等，则点在函数图象上，反之则不在。
（2）解决变换后的反比例函数解析式问题，首先设原双曲线上点P的坐标，利用P在原双曲线上得到横纵坐标乘积为定值3；①翻折变换中，关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，得到M点坐标后，根据反比例函数中k=xy的规律即可求出新的k值，得到解析式；②旋转变换中，逆时针旋转90°时，通过作垂线构造全等三角形推导N点坐标，再利用k=xy计算新的k值即可得到解析式。
【解析】
(1) 点$A(1,3)$在这个函数的图象上，理由如下：
把$x=1$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得$y=\dfrac{3}{1}=3$，与点A的纵坐标相等，因此点$A(1,3)$在这个函数的图象上。
(2) 设点$P$的坐标为$(a,b)$，$\because$点$P$在$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象上，$\therefore b=\dfrac{3}{a}$，即$ab=3$。
① $\because$将线段$OP$沿$x$轴翻折得到线段$OM$，翻折后点$M$与点$P$关于$x$轴对称，$\therefore M$点坐标为$(a,-b)$。
设经过点$M$的双曲线的表达式为$y=\dfrac{m}{x}$，将$M(a,-b)$代入得$m=a·(-b)=-ab$，$\because ab=3$，$\therefore m=-3$，因此经过点$M$的双曲线的表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$。
② 过$P$作$PF⊥ x$轴于$F$，过$N$作$NE⊥ y$轴于$E$，则$∠ NEO=∠ OFP=90°$。
$\because$线段$OP$绕点$O$逆时针旋转$90°$得到线段$ON$，$\therefore ∠ PON=90°$，$ON=OP$。
$\because ∠ NOE+∠ POE=90°$，$∠ POF+∠ POE=90°$，$\therefore ∠ NOE=∠ POF$。
在$△ NOE$和$△ POF$中：
$\begin{cases}∠ NEO=∠ OFP \\∠ NOE=∠ POF \\ON=OP\end{cases}$
$\therefore △ NOE≌△ POF(\mathrm{AAS})$，$\therefore NE=PF=b$，$OE=OF=a$。
结合点$N$在第二象限，得$N$点坐标为$(-b,a)$。
设经过点$N$的双曲线的表达式为$y=\dfrac{n}{x}$，将$N(-b,a)$代入得$n=(-b)· a=-ab=-3$，因此经过点$N$的双曲线的表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$。
【答案】
21. 解:(1) 点$A(1,3)$在这个函数的图象上,理由:把$x=1$代入$y=\dfrac{3}{x}$得$y=3$,故点$A(1,3)$在这个函数的图象上；
(2) 设$P(a,b)$,$\because$ 点$P$在该函数图象上,$\therefore ab=3$.
① 将线段$OP$沿着$x$轴翻折得到线段$OM$,$\therefore M(a,-b)$.设经过点$M$的双曲线的表达式为$y=\dfrac{m}{x}$,
$\therefore m=-ab=-3. \therefore$ 经过点$M$的双曲线的表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$；
② $\because$ 如图,将线段$OP$绕点$O$逆时针旋转$90°$得到线段$ON$,$\therefore ∠ PON=90°$,$ON=OP$.过$P$作$PF⊥ x$轴于$F$,过$N$作$NE⊥ y$轴于$E$,$\therefore ∠ NEO=∠ OFP=90°. \because ∠ NOE+∠ POE=∠ POE+∠ POF=90°. \therefore ∠ NOE=∠ POF$.
$\therefore △ NOE≌△ POF(\mathrm{AAS}). \because NE=PF=b$,$OE=OF=a$,
$\therefore N(-b,a)$. 设经过点$N$的双曲线的表达式为$y=\dfrac{n}{x}$,
$\therefore n=-ab=-3$,$\therefore$ 经过点$N$的双曲线的表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$.

【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.图形变换的坐标规律
3.全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查反比例函数与图形变换的结合应用，解题关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用翻折、旋转的性质推导变换后点的坐标，渗透了数形结合思想，有助于提升几何与函数结合的分析能力。
【难度系数】
0.7