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1 若函数$y=(m^2 + m)x^{m^2 - 2m -13}$是二次函数，那么$m$的值是（
A.5
C.5或－3
D.$-1\pm\sqrt{2}$
C
）。A.5
C.5或－3
D.$-1\pm\sqrt{2}$
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，需紧扣二次函数的定义，分两步思考：首先，二次函数中自变量的最高次数为2，据此可列出关于m的一元二次方程，求出m的可能取值；其次，二次函数的二次项系数不能为0，需将求出的m值代入系数验证，排除不符合要求的取值，最终得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$m^2 - 2m -13 = 2$
整理得：$m^2 -2m -15 = 0$
因式分解得：$(m-5)(m+3)=0$
解得：$m=5$ 或 $m=-3$
2. 二次项系数不为0，即：
$m^2 + m ≠ 0$
因式分解得：$m(m+1)≠0$，即$m≠0$且$m≠-1$
验证上述解：
当$m=5$时，$m^2+m=5^2+5=30≠0$，符合要求；
当$m=-3$时，$m^2+m=(-3)^2+(-3)=6≠0$，符合要求。
因此m的值为5或-3。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义、一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数定义的典型基础题，解题时需牢记二次函数定义的两个核心约束：自变量最高次为2、二次项系数不为0，避免只考虑次数要求忽略系数限制的错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需紧扣二次函数的定义，分两步思考：首先，二次函数中自变量的最高次数为2，据此可列出关于m的一元二次方程，求出m的可能取值；其次，二次函数的二次项系数不能为0，需将求出的m值代入系数验证，排除不符合要求的取值，最终得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$m^2 - 2m -13 = 2$
整理得：$m^2 -2m -15 = 0$
因式分解得：$(m-5)(m+3)=0$
解得：$m=5$ 或 $m=-3$
2. 二次项系数不为0，即：
$m^2 + m ≠ 0$
因式分解得：$m(m+1)≠0$，即$m≠0$且$m≠-1$
验证上述解：
当$m=5$时，$m^2+m=5^2+5=30≠0$，符合要求；
当$m=-3$时，$m^2+m=(-3)^2+(-3)=6≠0$，符合要求。
因此m的值为5或-3。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义、一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数定义的典型基础题，解题时需牢记二次函数定义的两个核心约束：自变量最高次为2、二次项系数不为0，避免只考虑次数要求忽略系数限制的错误。
【难度系数】
0.7
② 在同一坐标系中，作$y=x^2$，$y=-\dfrac{1}{2}x^2$，$y=\dfrac{1}{3}x^2$的图像，它们的共同特点是（
A.抛物线的开口方向向上
B.抛物线的开口方向向下
C.都是关于$x$轴对称的抛物线
D.都是关于$y$轴对称的抛物线，有公共的顶点
D
）。A.抛物线的开口方向向上
B.抛物线的开口方向向下
C.都是关于$x$轴对称的抛物线
D.都是关于$y$轴对称的抛物线，有公共的顶点
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，需先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质，再结合三个函数的参数$a$的取值逐一分析选项：首先明确$a$的符号决定抛物线开口方向，$y=ax^2$类函数的对称轴均为$y$轴，顶点均为原点；接着依次判断每个选项的正误，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数$y=ax^2$的通用性质：①开口方向由$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；②对称轴为直线$x=0$（即$y$轴）；③顶点坐标为$(0,0)$。
对题干中的三个函数逐一分析：
1. $y=x^2$中$a=1＞0$，开口向上，对称轴为$y$轴，顶点为$(0,0)$；
2. $y=-\dfrac{1}{2}x^2$中$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，开口向下，对称轴为$y$轴，顶点为$(0,0)$；
3. $y=\dfrac{1}{3}x^2$中$a=\dfrac{1}{3}＞0$，开口向上，对称轴为$y$轴，顶点为$(0,0)$。
逐个判断选项：
A选项：$y=-\dfrac{1}{2}x^2$开口向下，不符合，错误；
B选项：$y=x^2$和$y=\dfrac{1}{3}x^2$开口向上，不符合，错误；
C选项：三个抛物线均关于$y$轴对称，不是关于$x$轴对称，错误；
D选项：三个抛物线对称轴均为$y$轴，顶点都是原点即有公共顶点，符合，正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；抛物线的对称性；抛物线的顶点
【点评】
本题是二次函数基础性质的考查题，核心是掌握$y=ax^2$型二次函数的开口方向、对称轴、顶点的规律，只需牢记相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质，再结合三个函数的参数$a$的取值逐一分析选项：首先明确$a$的符号决定抛物线开口方向，$y=ax^2$类函数的对称轴均为$y$轴，顶点均为原点；接着依次判断每个选项的正误，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数$y=ax^2$的通用性质：①开口方向由$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；②对称轴为直线$x=0$（即$y$轴）；③顶点坐标为$(0,0)$。
对题干中的三个函数逐一分析：
1. $y=x^2$中$a=1＞0$，开口向上，对称轴为$y$轴，顶点为$(0,0)$；
2. $y=-\dfrac{1}{2}x^2$中$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，开口向下，对称轴为$y$轴，顶点为$(0,0)$；
3. $y=\dfrac{1}{3}x^2$中$a=\dfrac{1}{3}＞0$，开口向上，对称轴为$y$轴，顶点为$(0,0)$。
逐个判断选项：
A选项：$y=-\dfrac{1}{2}x^2$开口向下，不符合，错误；
B选项：$y=x^2$和$y=\dfrac{1}{3}x^2$开口向上，不符合，错误；
C选项：三个抛物线均关于$y$轴对称，不是关于$x$轴对称，错误；
D选项：三个抛物线对称轴均为$y$轴，顶点都是原点即有公共顶点，符合，正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；抛物线的对称性；抛物线的顶点
【点评】
本题是二次函数基础性质的考查题，核心是掌握$y=ax^2$型二次函数的开口方向、对称轴、顶点的规律，只需牢记相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3 在下图中，函数$y=-ax^2$与$y=ax+b$的图像可能是（
D
）。答案
D
解析
【分析】
要判断两个函数图象是否匹配，核心是两个解析式中的参数$a$的符号必须保持一致，我们可以通过分类讨论$a$的正负，分别推导两个函数的图象特征，逐一排除矛盾的选项：
1. 先明确参数$a$对两个函数图象的影响：对于二次函数$y=-ax^2$，开口方向由二次项系数$-a$的符号决定；对于一次函数$y=ax+b$，直线的倾斜方向由斜率$a$的符号决定。
2. 分别假设$a＞0$和$a＜0$，验证每个选项中两个函数的$a$符号是否统一，即可选出正确答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数$a$的取值：
① 当$a＞0$时：
二次函数$y=-ax^2$的二次项系数$-a＜0$，图象为开口向下、顶点在原点的抛物线；
一次函数$y=ax+b$的斜率$a＞0$，图象为从左下向右上倾斜的上升直线。
观察选项：A中抛物线开口向上，不符合；B、C中一次函数为下降直线，斜率为负，与$a＞0$矛盾，故排除A、B、C。
② 当$a＜0$时：
二次函数$y=-ax^2$的二次项系数$-a＞0$，图象为开口向上、顶点在原点的抛物线；
一次函数$y=ax+b$的斜率$a＜0$，图象为从左上向右下倾斜的下降直线。
观察选项D：抛物线开口向上，一次函数为下降直线，两者的$a$符号统一，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象性质，含参函数图象判断
【点评】
本题是函数图象判断的典型题，解题关键是抓住不同函数中相同参数的符号必须一致的原则，通过分类讨论即可快速排除错误选项，侧重对函数基本性质的应用考察。
【难度系数】
0.7
要判断两个函数图象是否匹配，核心是两个解析式中的参数$a$的符号必须保持一致，我们可以通过分类讨论$a$的正负，分别推导两个函数的图象特征，逐一排除矛盾的选项：
1. 先明确参数$a$对两个函数图象的影响：对于二次函数$y=-ax^2$，开口方向由二次项系数$-a$的符号决定；对于一次函数$y=ax+b$，直线的倾斜方向由斜率$a$的符号决定。
2. 分别假设$a＞0$和$a＜0$，验证每个选项中两个函数的$a$符号是否统一，即可选出正确答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数$a$的取值：
① 当$a＞0$时：
二次函数$y=-ax^2$的二次项系数$-a＜0$，图象为开口向下、顶点在原点的抛物线；
一次函数$y=ax+b$的斜率$a＞0$，图象为从左下向右上倾斜的上升直线。
观察选项：A中抛物线开口向上，不符合；B、C中一次函数为下降直线，斜率为负，与$a＞0$矛盾，故排除A、B、C。
② 当$a＜0$时：
二次函数$y=-ax^2$的二次项系数$-a＞0$，图象为开口向上、顶点在原点的抛物线；
一次函数$y=ax+b$的斜率$a＜0$，图象为从左上向右下倾斜的下降直线。
观察选项D：抛物线开口向上，一次函数为下降直线，两者的$a$符号统一，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象性质，含参函数图象判断
【点评】
本题是函数图象判断的典型题，解题关键是抓住不同函数中相同参数的符号必须一致的原则，通过分类讨论即可快速排除错误选项，侧重对函数基本性质的应用考察。
【难度系数】
0.7
④ 若抛物线$y=ax^2(a≠0)$经过点$(1,2)$，则$a=$
2
。答案
2
解析
【分析】
要解决本题，核心思路是利用“函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式”这一性质。已知抛物线经过点(1,2)，说明把点的横坐标x=1、纵坐标y=2代入抛物线解析式后等式成立，由此就能得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2(a≠0)$经过点$(1,2)$
∴ 将$x=1$，$y=2$代入解析式得：
$2=a × 1^2$
∵ $1^2=1$
∴ $a=2$
【答案】
2
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，考察函数图象与点坐标的对应关系，计算量小，只要掌握点在函数图象上时坐标满足函数解析式的规律，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要解决本题，核心思路是利用“函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式”这一性质。已知抛物线经过点(1,2)，说明把点的横坐标x=1、纵坐标y=2代入抛物线解析式后等式成立，由此就能得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2(a≠0)$经过点$(1,2)$
∴ 将$x=1$，$y=2$代入解析式得：
$2=a × 1^2$
∵ $1^2=1$
∴ $a=2$
【答案】
2
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，考察函数图象与点坐标的对应关系，计算量小，只要掌握点在函数图象上时坐标满足函数解析式的规律，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5 抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 开口向
下
，它的对称轴是 y轴
，顶点坐标是 (0, 0)
。答案
下,y轴,(0, 0)
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图像与性质，解题思路分为三步：第一步根据$a$的正负判断开口方向，当$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；第二步明确$y=ax^2$类二次函数的对称轴特征，该形式无一次项，对称轴为y轴；第三步代入$x=0$求对应$y$值，即可得到顶点坐标。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2$，属于$y=ax^2$型二次函数，其中$a=-\dfrac{1}{2}$：
1. 开口方向：因为$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，所以抛物线开口向下；
2. 对称轴：二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴（即直线$x=0$）；
3. 顶点坐标：将$x=0$代入解析式，得$y=0$，因此顶点坐标为$(0,0)$。
【答案】
下，y轴，$(0,0)$
【知识点】
1. 二次函数开口判定
2. 二次函数对称轴确定
3. 二次函数顶点坐标求解
【点评】
本题属于二次函数基础题型，主要考察对$y=ax^2$类二次函数基本性质的记忆和应用，掌握相关图像特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=ax^2$的图像与性质，解题思路分为三步：第一步根据$a$的正负判断开口方向，当$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；第二步明确$y=ax^2$类二次函数的对称轴特征，该形式无一次项，对称轴为y轴；第三步代入$x=0$求对应$y$值，即可得到顶点坐标。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2$，属于$y=ax^2$型二次函数，其中$a=-\dfrac{1}{2}$：
1. 开口方向：因为$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，所以抛物线开口向下；
2. 对称轴：二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴（即直线$x=0$）；
3. 顶点坐标：将$x=0$代入解析式，得$y=0$，因此顶点坐标为$(0,0)$。
【答案】
下，y轴，$(0,0)$
【知识点】
1. 二次函数开口判定
2. 二次函数对称轴确定
3. 二次函数顶点坐标求解
【点评】
本题属于二次函数基础题型，主要考察对$y=ax^2$类二次函数基本性质的记忆和应用，掌握相关图像特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6 抛物线 $ y = 2x^2 $ 的最低点坐标是
(0, 0)
。答案
(0, 0)
解析
【分析】
要确定抛物线$y=2x^2$的最低点坐标，首先明确抛物线的最低点就是其顶点：第一步先判断开口方向，对于二次函数$y=ax^2$，当$a＞0$时抛物线开口向上，顶点就是最低点；第二步回忆$y=ax^2$的对称轴是y轴（直线$x=0$），将$x=0$代入解析式就能求出对应的y值，得到顶点也就是最低点的坐标。
【解析】
解：对于二次函数$y=2x^2$，
$\because a=2＞0$，
$\therefore$ 抛物线开口向上，顶点即为抛物线的最低点，
又$\because$ 二次函数$y=ax^2$的对称轴为直线$x=0$，
将$x=0$代入$y=2x^2$，得$y=2×0^2=0$，
$\therefore$ 抛物线的顶点（最低点）坐标为$(0,0)$。
【答案】
$(0,0)$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数的顶点坐标
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数$y=ax^2$的图象特征，掌握开口方向和顶点最值的对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要确定抛物线$y=2x^2$的最低点坐标，首先明确抛物线的最低点就是其顶点：第一步先判断开口方向，对于二次函数$y=ax^2$，当$a＞0$时抛物线开口向上，顶点就是最低点；第二步回忆$y=ax^2$的对称轴是y轴（直线$x=0$），将$x=0$代入解析式就能求出对应的y值，得到顶点也就是最低点的坐标。
【解析】
解：对于二次函数$y=2x^2$，
$\because a=2＞0$，
$\therefore$ 抛物线开口向上，顶点即为抛物线的最低点，
又$\because$ 二次函数$y=ax^2$的对称轴为直线$x=0$，
将$x=0$代入$y=2x^2$，得$y=2×0^2=0$，
$\therefore$ 抛物线的顶点（最低点）坐标为$(0,0)$。
【答案】
$(0,0)$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数的顶点坐标
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数$y=ax^2$的图象特征，掌握开口方向和顶点最值的对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
7 已知函数$y=mx^{m^2 - 2m - 6}$是二次函数，当$m=$
4
时，其图像开口向上；当$m=$-2
时，其图像开口向下。答案
4, -2
解析
【分析】
解决这道题需要分两步思考：第一步先根据二次函数的定义确定m的所有可能取值，二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不能为0；第二步再根据二次函数图像开口方向和二次项系数的关系筛选符合要求的m值：二次项系数大于0时图像开口向上，小于0时开口向下。
【解析】
解：
∵函数$y=mx^{m^2 - 2m - 6}$是二次函数
∴需同时满足两个条件：①自变量x的次数为2，②二次项系数$m≠0$
可列关系式：$\begin{cases}m^2 - 2m - 6 = 2 \\ m≠0 \end{cases}$
先解方程$m^2 - 2m - 6 = 2$，移项得$m^2 - 2m - 8 = 0$
因式分解得$(m - 4)(m + 2) = 0$
解得$m_1=4$，$m_2=-2$，两个值均满足$m≠0$，为有效解。
结合开口方向的性质筛选：
当图像开口向上时，二次项系数$m＞0$，因此取$m=4$；
当图像开口向下时，二次项系数$m＜0$，因此取$m=-2$。
【答案】
4；-2
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数的基本概念和图象性质，解题时需先根据定义确定参数的可取范围，再结合开口方向的性质筛选对应参数，注意不要忽略二次项系数不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.8
解决这道题需要分两步思考：第一步先根据二次函数的定义确定m的所有可能取值，二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不能为0；第二步再根据二次函数图像开口方向和二次项系数的关系筛选符合要求的m值：二次项系数大于0时图像开口向上，小于0时开口向下。
【解析】
解：
∵函数$y=mx^{m^2 - 2m - 6}$是二次函数
∴需同时满足两个条件：①自变量x的次数为2，②二次项系数$m≠0$
可列关系式：$\begin{cases}m^2 - 2m - 6 = 2 \\ m≠0 \end{cases}$
先解方程$m^2 - 2m - 6 = 2$，移项得$m^2 - 2m - 8 = 0$
因式分解得$(m - 4)(m + 2) = 0$
解得$m_1=4$，$m_2=-2$，两个值均满足$m≠0$，为有效解。
结合开口方向的性质筛选：
当图像开口向上时，二次项系数$m＞0$，因此取$m=4$；
当图像开口向下时，二次项系数$m＜0$，因此取$m=-2$。
【答案】
4；-2
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数的基本概念和图象性质，解题时需先根据定义确定参数的可取范围，再结合开口方向的性质筛选对应参数，注意不要忽略二次项系数不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.8
⑧直线$y=x$与抛物线$y=-3x^2$的交点是
$(0, 0), (-\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{3})$
。答案
$(0, 0), (-\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{3})$
解析
【分析】
要求直线与抛物线的交点，需明确：函数图象交点的坐标同时满足两个函数的解析式。因此解题思路为：①将两个函数的解析式联立，组成二元方程组；②通过代入消元法，把$y=x$代入抛物线解析式，得到关于$x$的一元二次方程；③求解一元二次方程得到$x$的取值，再回代到$y=x$中求出对应$y$的值，每组$(x,y)$就是一个交点坐标。
【解析】
联立直线与抛物线的解析式，得到方程组：
$\begin{cases}y = x \\y = -3x^2\end{cases}$
将$y=x$代入$y=-3x^2$，可得：
$x = -3x^2$
移项整理得：$3x^2 + x = 0$
因式分解得：$x(3x + 1) = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -\dfrac{1}{3}$
将$x_1=0$代入$y=x$，得$y_1=0$；
将$x_2=-\dfrac{1}{3}$代入$y=x$，得$y_2=-\dfrac{1}{3}$。
因此直线与抛物线的交点为$(0,0)$和$(-\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{3})$。
【答案】
$(0, 0), (-\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{3})$
【知识点】
函数交点求解、一元二次方程的解法、二次函数图象性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查函数图象交点的求解方法，掌握联立解析式解方程组的思路即可快速解题，是函数模块的常考基础题。
【难度系数】
0.9
要求直线与抛物线的交点，需明确：函数图象交点的坐标同时满足两个函数的解析式。因此解题思路为：①将两个函数的解析式联立，组成二元方程组；②通过代入消元法，把$y=x$代入抛物线解析式，得到关于$x$的一元二次方程；③求解一元二次方程得到$x$的取值，再回代到$y=x$中求出对应$y$的值，每组$(x,y)$就是一个交点坐标。
【解析】
联立直线与抛物线的解析式，得到方程组：
$\begin{cases}y = x \\y = -3x^2\end{cases}$
将$y=x$代入$y=-3x^2$，可得：
$x = -3x^2$
移项整理得：$3x^2 + x = 0$
因式分解得：$x(3x + 1) = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -\dfrac{1}{3}$
将$x_1=0$代入$y=x$，得$y_1=0$；
将$x_2=-\dfrac{1}{3}$代入$y=x$，得$y_2=-\dfrac{1}{3}$。
因此直线与抛物线的交点为$(0,0)$和$(-\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{3})$。
【答案】
$(0, 0), (-\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{3})$
【知识点】
函数交点求解、一元二次方程的解法、二次函数图象性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查函数图象交点的求解方法，掌握联立解析式解方程组的思路即可快速解题，是函数模块的常考基础题。
【难度系数】
0.9
9 如图,在同一坐标系中,作出 ① $y=3x^2$;② $y=\frac{1}{2}x^2$;③ $y=x^2$ 的图像,则图像从里到外的三条抛物线对应的函数依次是
①③②
(填序号)。答案
①③②
解析
【分析】
要判断抛物线从里到外对应的函数，首先回忆二次函数$y=ax^2$的图像性质：对于开口向上的抛物线（$a＞0$），二次项系数$a$的绝对值越大，抛物线开口越窄，越靠近$y$轴（位置越靠里）；$a$的绝对值越小，开口越宽，越靠外。接下来只需比较三个函数的$a$的大小，就能对应得到排列顺序。
【解析】
已知三个二次函数均为$y=ax^2$的形式，且二次项系数均为正数，所以开口均向上：
1. 分别确定三个函数的二次项系数：①$y=3x^2$中$a=3$，②$y=\frac{1}{2}x^2$中$a=\frac{1}{2}$，③$y=x^2$中$a=1$；
2. 比较$a$的大小：$3＞1＞\frac{1}{2}$，根据性质，$a$越大开口越窄、位置越靠里，因此开口从窄到宽的顺序为①＞③＞②，对应从里到外的顺序为①③②。
【答案】
①③②
【知识点】
1. $y=ax^2$的图像性质
2. 二次项系数与开口的关系
【点评】
本题是二次函数基础性质的应用，核心是掌握二次项系数$a$的绝对值对抛物线开口大小的影响规律，熟练掌握该规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线从里到外对应的函数，首先回忆二次函数$y=ax^2$的图像性质：对于开口向上的抛物线（$a＞0$），二次项系数$a$的绝对值越大，抛物线开口越窄，越靠近$y$轴（位置越靠里）；$a$的绝对值越小，开口越宽，越靠外。接下来只需比较三个函数的$a$的大小，就能对应得到排列顺序。
【解析】
已知三个二次函数均为$y=ax^2$的形式，且二次项系数均为正数，所以开口均向上：
1. 分别确定三个函数的二次项系数：①$y=3x^2$中$a=3$，②$y=\frac{1}{2}x^2$中$a=\frac{1}{2}$，③$y=x^2$中$a=1$；
2. 比较$a$的大小：$3＞1＞\frac{1}{2}$，根据性质，$a$越大开口越窄、位置越靠里，因此开口从窄到宽的顺序为①＞③＞②，对应从里到外的顺序为①③②。
【答案】
①③②
【知识点】
1. $y=ax^2$的图像性质
2. 二次项系数与开口的关系
【点评】
本题是二次函数基础性质的应用，核心是掌握二次项系数$a$的绝对值对抛物线开口大小的影响规律，熟练掌握该规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
10 如图，某桥拱是抛物线形状，其函数表达式为 $y=-\dfrac{1}{4}x^2$，当水位线在AB位置时，水面的宽为12 m，此时水面离桥顶的高度h是
9 m
。答案
9 m
解析
【分析】
这道题考查二次函数的实际应用，解题思路如下：1. 首先明确抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2$的对称轴为y轴，桥顶在坐标原点O处；2. 已知水面宽AB为12m，根据抛物线的对称性，可得A、B两点的横坐标分别为-6和6；3. 要求水面离桥顶的高度h，只需将x=6代入函数解析式求出对应的y值，h等于该y值的绝对值（因为y值为负，实际高度为正数）。
【解析】
解：
∵ 抛物线的对称轴为y轴，水面AB的宽度为12 m
∴ 点B的横坐标为 $ 12÷2=6 $
将 $ x=6 $ 代入函数表达式 $ y=-\dfrac{1}{4}x^2 $，得：
$ y=-\dfrac{1}{4}×6^2=-\dfrac{1}{4}×36=-9 $
桥顶的纵坐标为0，因此水面离桥顶的高度 $ h=|0 - (-9)|=9\ \mathrm{m} $
【答案】
9 m
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；抛物线的对称性；二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题型，解题的核心是利用抛物线的对称性确定对应点的横坐标，再代入解析式计算即可，解题时要注意坐标正负与实际高度的转换。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次函数的实际应用，解题思路如下：1. 首先明确抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2$的对称轴为y轴，桥顶在坐标原点O处；2. 已知水面宽AB为12m，根据抛物线的对称性，可得A、B两点的横坐标分别为-6和6；3. 要求水面离桥顶的高度h，只需将x=6代入函数解析式求出对应的y值，h等于该y值的绝对值（因为y值为负，实际高度为正数）。
【解析】
解：
∵ 抛物线的对称轴为y轴，水面AB的宽度为12 m
∴ 点B的横坐标为 $ 12÷2=6 $
将 $ x=6 $ 代入函数表达式 $ y=-\dfrac{1}{4}x^2 $，得：
$ y=-\dfrac{1}{4}×6^2=-\dfrac{1}{4}×36=-9 $
桥顶的纵坐标为0，因此水面离桥顶的高度 $ h=|0 - (-9)|=9\ \mathrm{m} $
【答案】
9 m
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；抛物线的对称性；二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题型，解题的核心是利用抛物线的对称性确定对应点的横坐标，再代入解析式计算即可，解题时要注意坐标正负与实际高度的转换。
【难度系数】
0.8
