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23. (2024·秋·海州区期中)七年级王华同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣.她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：$a\oplus b = a× b + 2× a$.
比如：$1\oplus (-3)=1× (-3)+2×1=-3+2=-1$.
(1) 求$(-2)\oplus (-4)$的值；
(2) 用学习有理数的经验和方法来验证这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的验证过程.
比如：$1\oplus (-3)=1× (-3)+2×1=-3+2=-1$.
(1) 求$(-2)\oplus (-4)$的值；
(2) 用学习有理数的经验和方法来验证这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的验证过程.
答案
23.(1) $(-2)\oplus (-4)=-2×(-4)+2×(-2)=8-4=4$；
(2) 不具有交换律,理由如下:因为$b\oplus a=b×a+2b≠a×b+2a$,所以新运算“⊕”不具有交换律.
(2) 不具有交换律,理由如下:因为$b\oplus a=b×a+2b≠a×b+2a$,所以新运算“⊕”不具有交换律.
24. 如图,已知A,B两点在数轴上,点A表示的数为-10,OB=3OA,点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动,点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动(点M、点N同时出发)
（1）数轴上点B对应的数是
（2）经过几秒,点M、点N分别到原点O的距离相等？
（1）数轴上点B对应的数是
30
.（2）经过几秒,点M、点N分别到原点O的距离相等？
答案
24.(1) 30
(2) 设经过$x$秒,点M、点N分别到原点O的距离相等,此时点M对应的数为$3x-10$,点N对应的数为$2x$.①点M、点N在点O两侧,则$10-3x=2x$,解得$x=2$;②点M、点N重合,则$3x-10=2x$,解得$x=10$.所以经过2秒或10秒,点M、点N分别到原点O的距离相等.
(2) 设经过$x$秒,点M、点N分别到原点O的距离相等,此时点M对应的数为$3x-10$,点N对应的数为$2x$.①点M、点N在点O两侧,则$10-3x=2x$,解得$x=2$;②点M、点N重合,则$3x-10=2x$,解得$x=10$.所以经过2秒或10秒,点M、点N分别到原点O的距离相等.
25. (2024·秋·苏州期中)读一读:式子“1+2+3+4+5+…+100”表示1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长,书写也不方便,为了简便起见,我们可以将“1+2+3+4+5+…+100”表示为
n,这里“
”是求和符号.例如:1+3+5+7+9+…+99,即从1开始的100以内的连续奇数的和,可表示为
(2n−1);又如$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3+10^3$可表示为
$n^3$.通过对以上材料的阅读,请解答下列问题.
(1) $2+4+6+8+10+\dots+100$(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符号可表示为
(2) 计算
$(n^3-1)=$
(3) 计算
$\frac{1}{n(n+1)}$.(用含字母$k$的式子表示结果)
n,这里“”是求和符号.例如:1+3+5+7+9+…+99,即从1开始的100以内的连续奇数的和,可表示为(2n−1);又如$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3+10^3$可表示为$n^3$.通过对以上材料的阅读,请解答下列问题.(1) $2+4+6+8+10+\dots+100$(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符号可表示为
$\sum_{n=1}^{50}2n$
,它的计算结果是2550
;(2) 计算
$(n^3-1)=$220
;(填写最后的计算结果)(3) 计算
$\frac{1}{n(n+1)}$.(用含字母$k$的式子表示结果)答案
25.(1) $\sum_{n=1}^{50}2n$ 2 550
(2) $\sum_{n=1}^{5}(n^3-1)=(1^3-1)+(2^3-1)+(3^3-1)+(4^3-1)+(5^3-1)=220$;故答案为:220;
(3) $\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{k×(k+1)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}=\frac{k}{k+1}$.
(2) $\sum_{n=1}^{5}(n^3-1)=(1^3-1)+(2^3-1)+(3^3-1)+(4^3-1)+(5^3-1)=220$;故答案为:220;
(3) $\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{k×(k+1)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}=\frac{k}{k+1}$.
