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1[中]如图，$∠ AOB = α$，$OA_1, OB_1$分别是$∠ AOM$和$∠ MOB$的平分线，$OA_2, OB_2$分别是$∠ A_1OM$和$∠ MOB_1$的平分线，$OA_3, OB_3$分别是$∠ A_2OM$和$∠ MOB_2$的平分线，…，$OA_n, OB_n$分别是$∠ A_{n-1}OM$和$∠ MOB_{n-1}$的平分线，则$∠ A_nOB_n$的度数是（
A.$\frac{α}{n}$
B.$\frac{α}{2^{n-1}}$
C.$\frac{α}{2^n}$
D.$\frac{α}{n^2}$
C
）A.$\frac{α}{n}$
B.$\frac{α}{2^{n-1}}$
C.$\frac{α}{2^n}$
D.$\frac{α}{n^2}$
答案
1.C 【解析】因为∠AOB=α,OA₁,OB₁分别是∠AOM 和∠MOB 的平分线,所以∠A₁OM =$\frac{1}{2}$∠AOM, ∠B₁OM = $\frac{1}{2}$∠BOM, 所以∠A₁OB₁=$\frac{1}{2}$(∠AOM+∠BOM)=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$α. 因为 OA₂,OB₂ 分别是∠A₁OM 和∠MOB₁的平分线,所以∠A₂OM=$\frac{1}{2}$∠A₁OM,∠B₂OM=$\frac{1}{2}$∠B₁OM, 所以 ∠A₂OB₂ = $\frac{1}{2}$ ( ∠A₁OM +∠B₁OM)=$\frac{1}{2}$∠A₁OB₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$α=$\frac{1}{4}$α=$\frac{α}{2^2}$. 因为 OA₃,OB₃ 分别是∠A₂OM 和∠MOB₂ 的平分线,所以∠A₃OM = $\frac{1}{2}$∠A₂OM, ∠B₃OM =$\frac{1}{2}$∠B₂OM, 所以 ∠A₃OB₃ = $\frac{1}{2}$ ( ∠A₂OM +∠B₂OM)=$\frac{1}{2}$∠A₂OB₂=$\frac{1}{8}$α=$\frac{α}{2^3}$,…,由此规律得∠AₙOBₙ=$\frac{α}{2^n}$. 故选 C.
2[中](1)如图,若$∠ AOB=120°$,$∠ AOC=40°$,OD,OE分别平分$∠ AOB$,$∠ AOC$,求$∠ DOE$的度数；
(2)若$∠ AOB$,$∠ AOC$是平面内两个角,$∠ AOB=m°$,$∠ AOC=n°$($0＜n＜m＜180$),OD,OE分别平分$∠ AOB$,$∠ AOC$,求$∠ DOE$的度数.(用含$m,n$的代数式表示)
(2)若$∠ AOB$,$∠ AOC$是平面内两个角,$∠ AOB=m°$,$∠ AOC=n°$($0＜n＜m＜180$),OD,OE分别平分$∠ AOB$,$∠ AOC$,求$∠ DOE$的度数.(用含$m,n$的代数式表示)
答案
2.【解】(1)因为∠AOB=120°,OD 平分∠AOB,所以∠AOD = ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = 60°. 因为OE 平分∠AOC,∠AOC = 40°,所以∠AOE =$\frac{1}{2}$∠AOC=20°,所以∠DOE=∠AOD−∠AOE=60°−20°=40°.
(2)若射线 OC 在∠AOB 的内部,如图
. 因为∠AOB = m°, ∠AOC = n°, OD, OE 分别平分∠AOB, ∠AOC, 所以 ∠DOE = ∠AOD −∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOB−$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}(m-n)$°.若射线 OC 在∠AOB 外部,如图
. 因为∠AOB = m°, ∠AOC = n°, OD, OE 分别平分∠AOB, ∠AOC, 所以 ∠DOE = ∠AOD +∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}(m+n)$°.综上,∠DOE 的度数为 $\frac{1}{2}(m-n)$°或$\frac{1}{2}(m+n)$°.
3[中]如图,已知在同一平面内,∠AOB=90°,∠AOC=60°.
(1)填空:∠BOC=
(2)如果OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,求∠DOE的度数;
(3)如果在(2)的条件下将∠AOC=60°改为∠AOC=2α(0°＜α＜45°),其他条件不变,求∠DOE的度数.
(1)填空:∠BOC=
150°
;(2)如果OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,求∠DOE的度数;
(3)如果在(2)的条件下将∠AOC=60°改为∠AOC=2α(0°＜α＜45°),其他条件不变,求∠DOE的度数.
答案
3.【解】(1)因为∠AOB=90°,∠AOC=60°,所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=150°,故答案为150°.
(2)由(1)知∠BOC = 150°. 因为 OD 平分∠BOC,所以∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=75°. 因为 OE平分∠AOC,∠AOC = 60°, 所以 ∠COE =$\frac{1}{2}$∠AOC = 30°, 所以 ∠DOE = ∠DOC −∠COE=45°.
(3) 因为 ∠AOB = 90°, ∠AOC = 2α, 所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+2α. 因为 OD 平分∠BOC,所以∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°+α. 因为 OE 平分∠AOC,∠AOC=2α,所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=α,所以∠DOE=∠DOC−∠COE=45°.
(2)由(1)知∠BOC = 150°. 因为 OD 平分∠BOC,所以∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=75°. 因为 OE平分∠AOC,∠AOC = 60°, 所以 ∠COE =$\frac{1}{2}$∠AOC = 30°, 所以 ∠DOE = ∠DOC −∠COE=45°.
(3) 因为 ∠AOB = 90°, ∠AOC = 2α, 所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+2α. 因为 OD 平分∠BOC,所以∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°+α. 因为 OE 平分∠AOC,∠AOC=2α,所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=α,所以∠DOE=∠DOC−∠COE=45°.
4[中]如图，$∠ AOB=126°$,射线OC在$∠ AOB$外,且$∠ BOC=2∠ AOC$,若OM平分$∠ BOC$,ON平分$∠ AOC$,则$∠ MON=$
117°
.答案
4. 117° 【解析】因为∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°,所以∠BOC+∠AOC=360°−∠AOB. 因为 OM 平分∠BOC, ON 平分∠AOC, 所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠BOC,∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOC,所以∠MON = ∠MOC + ∠CON = $\frac{1}{2}$ ∠BOC +$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠BOC+∠AOC)=$\frac{1}{2}$(360°−∠AOB)=180°−$\frac{1}{2}$∠AOB=180°−$\frac{1}{2}$×126°=117°,故答案为 117°.
