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1[2025河北石家庄期中,中]把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上.
(1)当点A和点B都在直线MN的上方时(如图(1)),∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN=
(2)当将这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方,点B仍然在直线MN的上方时(如图(2)),∠ACM与∠BCN的数量关系是
(3)当将这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时(如图(3)),∠ACM与∠BCN的数量关系是
(1)当点A和点B都在直线MN的上方时(如图(1)),∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN=
90°
;(2)当将这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方,点B仍然在直线MN的上方时(如图(2)),∠ACM与∠BCN的数量关系是
∠BCN−∠ACM=90°
;(3)当将这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时(如图(3)),∠ACM与∠BCN的数量关系是
∠ACM+∠BCN=270°
.答案
1. (1) 90° (2) ∠BCN − ∠ACM = 90°(3) ∠ACM+∠BCN=270° 【解析】(1)当点A 和点 B 都在直线 MN 的上方时,∠ACM+∠BCN=180°−∠ACB=180°−90°=90°.
(2)当点 A 在直线 MN 的下方,点 B 仍然在直线 MN 的上方时, 因为∠BCN = 180°−∠BCM,∠ACM=90°−∠BCM,所以∠BCN−∠ACM=180°−∠BCM−(90°−∠BCM)=90°.
(3)当点 A 和点 B 都在直线 MN 的下方时,因为∠BCN = 180°−∠BCM,∠ACM = 90°+∠BCM,所以∠BCN+∠ACM=180°−∠BCM+(90°+∠BCM)=270°.
(2)当点 A 在直线 MN 的下方,点 B 仍然在直线 MN 的上方时, 因为∠BCN = 180°−∠BCM,∠ACM=90°−∠BCM,所以∠BCN−∠ACM=180°−∠BCM−(90°−∠BCM)=90°.
(3)当点 A 和点 B 都在直线 MN 的下方时,因为∠BCN = 180°−∠BCM,∠ACM = 90°+∠BCM,所以∠BCN+∠ACM=180°−∠BCM+(90°+∠BCM)=270°.
2[2025广东潮州期末,中]如图(1),O为直线AB上一点,过点O在直线AB上方作射线OC,∠AOC=30°,将一直角三角板(∠M=30°)的直角顶点放在点O处,一直角边ON在射线OA上,另一直角边OM在直线AB的上方.(注:本题旋转角度最多为180°)
(1)将图(1)中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转,如图(2),经过t秒后,∠AON=
(2)在(1)的条件下,若在三角板转动的同时,射线OC也绕点O以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转,如图(3),经过t秒后,∠AOC=
∠MON,则t=.
(1)将图(1)中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转,如图(2),经过t秒后,∠AON=
(3t)
°(用含t的式子表示),若OM恰好平分∠BOC,则t=5
.(2)在(1)的条件下,若在三角板转动的同时,射线OC也绕点O以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转,如图(3),经过t秒后,∠AOC=
(30+6t)
°(用含t的式子表示),若OC平分∠MON,则t=5
.∠MON,则t=.
答案
2. (1)(3t) 5 (2)(30+6t) 5【解析】(1)根据题意得∠AON=(3t)°. 因为∠AOC=30°,所以∠BOC=150°. 因为 OM 平分∠BOC,∠MON=90°,所以∠COM=$\frac{1}{2}$×150°=75°,所以∠CON=90°−75°=15°,所以∠AON=∠AOC−∠CON=30°−15°=15°,所以3t=15,解得 t=5.
(2)根据题意得∠AOC = (30 + 6t)°. 因为∠MON=90°,OC 平分∠MON,所以∠CON=∠COM=45°,所以∠AOC−∠AON=∠CON=45°,所以30+6t−3t=45,解得 t=5.
(2)根据题意得∠AOC = (30 + 6t)°. 因为∠MON=90°,OC 平分∠MON,所以∠CON=∠COM=45°,所以∠AOC−∠AON=∠CON=45°,所以30+6t−3t=45,解得 t=5.
3[中]已知∠AOB=80°,∠COD=50°,OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.
(1)如图(1),当OB,OC重合时,求∠EOF的度数.
(2)当∠COD绕点O顺时针旋转n°(0＜n＜50)时(如图(2)),∠EOF的度数是否为定值?若是定值,求出∠EOF的值;若不是,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,若满足$∠AOD−∠EOF=\frac{3}{2}(∠BOE+∠COF),$求n的值.
(1)如图(1),当OB,OC重合时,求∠EOF的度数.
(2)当∠COD绕点O顺时针旋转n°(0＜n＜50)时(如图(2)),∠EOF的度数是否为定值?若是定值,求出∠EOF的值;若不是,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,若满足$∠AOD−∠EOF=\frac{3}{2}(∠BOE+∠COF),$求n的值.
答案
3.【解】(1)因为 OB 与 OC 重合,OE 平分∠AOC, OF 平分∠BOD, 所以 ∠EOB =$\frac{1}{2}$∠AOB, ∠BOF = $\frac{1}{2}$∠COD, 所以 ∠EOF =∠EOB+∠BOF=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠COD=$\frac{1}{2}$×80°+$\frac{1}{2}$×50°=65°.
(2)∠EOF 的度数是定值.
根据旋转得∠BOC = n°,则∠AOC = 80°+n°,∠BOD = 50°+n°. 因为 OE 平分∠AOC,所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC.
因为 OF 平分∠BOD,所以∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOD,所以 ∠EOF = ∠COE + ∠COF = ∠COE +∠BOF − ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOC + $\frac{1}{2}$∠BOD −∠BOC=$\frac{1}{2}$×(80°+n°)+$\frac{1}{2}$×(50°+n°)−n°=65°,所以∠EOF 的度数是定值,为 65°.
(3) 由 (2) 知 ∠BOC = n°, 所以 ∠AOD =∠AOB+∠BOC+∠COD=80°+n°+50°=(130+n)°. 因为∠AOD − ∠EOF = $\frac{3}{2}$ ( ∠BOE +∠COF),所以∠AOD−∠EOF=$\frac{3}{2}(∠EOF−∠BOC)$. 由(2)可知∠EOF=65°,所以130+n−65=$\frac{3}{2}(65−n)$,解得 n=13,所以 n 的值为 13.
(2)∠EOF 的度数是定值.
根据旋转得∠BOC = n°,则∠AOC = 80°+n°,∠BOD = 50°+n°. 因为 OE 平分∠AOC,所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC.
因为 OF 平分∠BOD,所以∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOD,所以 ∠EOF = ∠COE + ∠COF = ∠COE +∠BOF − ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOC + $\frac{1}{2}$∠BOD −∠BOC=$\frac{1}{2}$×(80°+n°)+$\frac{1}{2}$×(50°+n°)−n°=65°,所以∠EOF 的度数是定值,为 65°.
(3) 由 (2) 知 ∠BOC = n°, 所以 ∠AOD =∠AOB+∠BOC+∠COD=80°+n°+50°=(130+n)°. 因为∠AOD − ∠EOF = $\frac{3}{2}$ ( ∠BOE +∠COF),所以∠AOD−∠EOF=$\frac{3}{2}(∠EOF−∠BOC)$. 由(2)可知∠EOF=65°,所以130+n−65=$\frac{3}{2}(65−n)$,解得 n=13,所以 n 的值为 13.
