15. (2024秋·宜兴市期末)如图，$△ ABC$中，$D$为$BC$的中点，$DE⊥ BC$交$∠ BAC$的平分线于$E$，$EF⊥ AB$，交$AB$于$F$，$EG⊥ AC$，交$AC$的延长线于$G$，试问：$BF$与$CG$的大小如何？证明你的结论.

15. 相等.证明如下:连接EB,EC,
∵ AE是∠BAC的平分线,且EF⊥AB于F,EG⊥AC于G,
∴ EF=EG.
∵ ED⊥BC于D,D是BC的中点,
∴ EB=EC. 在Rt△EFB和Rt△EGC中,
$\begin{cases} EB=EC, \\ EF=EG, \end{cases}$
∴ Rt△EFB≌Rt△EGC(HL),
∴ BF=CG.

16. (2025春·城关区阶段考)如图:在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,$DE⊥ AB$于$E$,$F$在$AC$上,$BD=DF$,证明:
(1) $CF=EB$;
(2) $AB=AF+2EB$.

16. 证明:(1)
∵ AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴ DE=DC.在Rt△CDF和Rt△EDB中,
$\begin{cases} DF=BD, \\ DC=DE, \end{cases}$
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),
∴ CF=EB;
(2)
∵ AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴ CD=DE.在Rt△ADC与Rt△ADE中,
$\begin{cases} CD=ED, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴ Rt△ADC≌Rt△ADE(HL),
∴ AC=AE,
∴ AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.

17. (2025春·新郑市阶段考)【新情境】
图1是一个平分角的仪器,其中OD=OE,FD=FE.
(1) 如图2,将仪器放置在△ABC上,使点O与顶点A重合,D,E分别在边AB,AC上,沿AF画一条射线AP,交BC于点P.AP是∠BAC的平分线吗?请判断并说明理由;
(2) 如图3,在(1)的条件下,过点P作PQ⊥AB于点Q,若PQ=4,AC=6,求△APC的面积.

17. (1) AP是∠BAC的平分线,理由如下:如图1,在△ADF和△AEF中,
$\begin{cases} AD=AE, \\ AF=AF, \\ DF=EF, \end{cases}$
∴ △ADF≌△AEF(SSS),
∴ ∠DAF=∠EAF,
∴ AP平分∠BAC;
(2) 如图2,过点P作PM⊥AC于点M,
∵ AP平分∠BAC,PQ⊥AB,
∴ PM=PQ=4,
∴ $S_{△ APC}=\frac{1}{2}AC· PM=\frac{1}{2}×6×4=12$.