12. (1) 小明家新房入户门门框的尺寸如图1所示，一块长3 m，宽2.2 m的装修木板能否从门框内通过？请通过计算进行说明.（参考数据：$\sqrt{5} \approx 2.236$）
(2) 新房装修完后，要在卧室墙角放一个横截面是一个等腰直角三角形(图2)的立柜，截面如图3，腰长为$\sqrt{2}$ m，小明家通往卧室的过道宽为1.05 m，这个立柜能通过吗？请通过计算进行说明.

12.（1）能,理由是:如图,连接AC,则AC 与AB,BC 构成直角三角形,根据勾股定理得,则$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \approx 2.236$,$\because 2.2\ \mathrm{cm} ＜ 2.236\ \mathrm{cm}$,$\therefore$ 该长方形能从内框内通过(将该长方形的宽沿着AC 斜着进去)；
（2）能,理由是:过点C 作$CD ⊥ AB$,则$△ ACD$ 是等腰直角三角形,即$AD = CD$,
$\because AC = \sqrt{2}$,$\therefore CD^2 + AD^2 = AC^2$,$2CD^2 = (\sqrt{2})^2$,
$\because CD^2 = 1$,$CD = 1 ＜ 1.05$,这个立柜能通过过道.

13.（2025春·瑶海区期中）与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员.云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米.
（1）求B处与地面的距离；
（2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？

13.（1）在$\mathrm{Rt}△ OAB$ 中,$\because AB = 30$ 米,$OA = 24$ 米,
$OE = 3$ 米,$\therefore OB = \sqrt{AB^2 - OA^2} = \sqrt{30^2 - 24^2} = 18$(米),
$\therefore BE = OB + OE = 18 + 3 = 21$(米),答:B 处与地面的距离是21米；
（2）由题意得$BD = 6$ 米,
$\because CD = 30$ 米,$OD = OB + BD = 18 + 6 = 24$(米),
$\therefore OC = \sqrt{CD^2 - OD^2} = \sqrt{30^2 - 24^2} = 18$(米),
$\therefore AC = OA - OC = 24 - 18 = 6$(米).答:消防车从A 处向着火的楼房靠近的距离AC 为6米.

14. (2023春·商河县期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$P$在$AC$上运动,点$D$在$AB$上运动,$PD$始终保持与$PA$相等,$BD$的垂直平分线交$BC$于点$E$,交$BD$于点$F$,连接$DE$.
(1) 判断$DE$与$PD$的位置关系,并说明理由;
(2) 若$AC=3$,$BC=4$,$PA=1$,求线段$DE$的长.

14.（1）$DE ⊥ DP$,理由如下:$\because PD = PA$,$\therefore ∠ A = ∠ PDA$.
$\because EF$ 是$BD$ 的垂直平分线,$\therefore EB = ED$,
$\therefore ∠ B = ∠ EDB$. $\because ∠ C = 90°$,$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$,
$\therefore ∠ PDA + ∠ EDB = 90°$,$\therefore ∠ PDE = 180° - 90° = 90°$,$\therefore DE ⊥ DP$；
（2）连接$PE$,设$DE = x$,则$EB = ED = x$,$CE = 4 - x$. $\because ∠ C = ∠ PDE = 90°$,$\therefore PC^2 + CE^2 = PE^2 = PD^2 + DE^2$,$\therefore 2^2 + (4 - x)^2 = 1^2 + x^2$,
解得:$x = \frac{19}{8}$,则$DE = \frac{19}{8}$.