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1 [2025 湖北]一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，下列结论正确的是 （
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
D
）A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：第一步先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确识别题目所给方程中带符号的各项系数$a、b、c$；第二步根据韦达定理的公式，分别计算两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第三步将计算结果和四个选项逐一对比，选出正确结论即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -4x +3=0$，确定各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=3$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
1. 两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4$，因此A选项$x_1+x_2=-4$、B选项$x_1+x_2=3$均错误；
2. 两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，因此C选项$x_1x_2=4$错误，D选项$x_1x_2=3$正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题时需注意不要遗漏一次项系数的负号，避免计算两根和时出错，熟练掌握公式即可快速得分。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：第一步先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确识别题目所给方程中带符号的各项系数$a、b、c$；第二步根据韦达定理的公式，分别计算两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第三步将计算结果和四个选项逐一对比，选出正确结论即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -4x +3=0$，确定各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=3$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
1. 两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4$，因此A选项$x_1+x_2=-4$、B选项$x_1+x_2=3$均错误；
2. 两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，因此C选项$x_1x_2=4$错误，D选项$x_1x_2=3$正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题时需注意不要遗漏一次项系数的负号，避免计算两根和时出错，熟练掌握公式即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2 [2024 沭阳期末]下列一元二次方程中，两根之和为－1 的是 （
A.$x^2 + x + 2 = 0$
B.$x^2 - x -5 = 0$
C.$x^2 + x - 3 = 0$
D.$2x^2 - x - 1 = 0$
C
）A.$x^2 + x + 2 = 0$
B.$x^2 - x -5 = 0$
C.$x^2 + x - 3 = 0$
D.$2x^2 - x - 1 = 0$
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，只有当判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$时方程才有两个实数根，此时两根之和为$-\frac{b}{a}$；接下来逐一计算每个选项的判别式和两根之和，筛选出符合“有实根且两根之和为-1”的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有两个实数根的前提是$\Delta=b^2-4ac≥0$，此时两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，逐一分析选项：
选项A：方程$x^2 + x + 2 = 0$中，$a=1,b=1,c=2$，$\Delta=1^2-4×1×2=-7＜0$，方程无实根，不符合要求，排除；
选项B：方程$x^2 - x -5 = 0$中，$a=1,b=-1$，两根之和为$-\frac{-1}{1}=1≠-1$，不符合要求，排除；
选项C：方程$x^2 + x - 3 = 0$中，$a=1,b=1$，$\Delta=1^2-4×1×(-3)=13＞0$，有两个实根，两根之和为$-\frac{1}{1}=-1$，符合要求；
选项D：方程$2x^2 - x - 1 = 0$中，$a=2,b=-1$，两根之和为$-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}≠-1$，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题时需注意先判断方程是否有实数根，再代入韦达定理计算，避免忽略判别式直接计算导致出错。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，只有当判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$时方程才有两个实数根，此时两根之和为$-\frac{b}{a}$；接下来逐一计算每个选项的判别式和两根之和，筛选出符合“有实根且两根之和为-1”的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有两个实数根的前提是$\Delta=b^2-4ac≥0$，此时两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，逐一分析选项：
选项A：方程$x^2 + x + 2 = 0$中，$a=1,b=1,c=2$，$\Delta=1^2-4×1×2=-7＜0$，方程无实根，不符合要求，排除；
选项B：方程$x^2 - x -5 = 0$中，$a=1,b=-1$，两根之和为$-\frac{-1}{1}=1≠-1$，不符合要求，排除；
选项C：方程$x^2 + x - 3 = 0$中，$a=1,b=1$，$\Delta=1^2-4×1×(-3)=13＞0$，有两个实根，两根之和为$-\frac{1}{1}=-1$，符合要求；
选项D：方程$2x^2 - x - 1 = 0$中，$a=2,b=-1$，两根之和为$-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}≠-1$，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题时需注意先判断方程是否有实数根，再代入韦达定理计算，避免忽略判别式直接计算导致出错。
【难度系数】
0.8
3 教材变式题 已知关于x的一元二次方程$x^2 + mx - 2 = 0$的一个根为-1，则m的值与另一个根分别为（
A.2, -1
B.-1, 2
C.1, -2
D.-2, 1
B
）A.2, -1
B.-1, 2
C.1, -2
D.-2, 1
答案
3. B
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一，利用一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程求出m的值，再将m代回方程求解另一个根；思路二，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先通过两根之积求出另一个根，再通过两根之和求出m的值，该方法计算更简便。
【解析】
方法一（利用根的定义）：
∵x=-1是方程$x^2 + mx - 2 = 0$的根
∴将x=-1代入方程得：$(-1)^2 + m×(-1) - 2 = 0$
化简得：$1 - m - 2 = 0$，解得$m=-1$
将$m=-1$代回原方程得：$x^2 - x - 2 = 0$
因式分解得：$(x-2)(x+1)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=2$，即另一个根为2
方法二（利用根与系数的关系）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$
本题中$a=1,b=m,c=-2$，已知一个根为-1
由两根之积得：$-1× x_2=\frac{-2}{1}=-2$，解得$x_2=2$
由两根之和得：$-1 + 2 = -\frac{m}{1}$，即$1=-m$，解得$m=-1$
综上，$m=-1$，另一个根为2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础常考题，考查一元二次方程相关性质的应用，两种解题方法都需要熟练掌握，运用根与系数的关系可直接通过系数求根，能有效简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路一，利用一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程求出m的值，再将m代回方程求解另一个根；思路二，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先通过两根之积求出另一个根，再通过两根之和求出m的值，该方法计算更简便。
【解析】
方法一（利用根的定义）：
∵x=-1是方程$x^2 + mx - 2 = 0$的根
∴将x=-1代入方程得：$(-1)^2 + m×(-1) - 2 = 0$
化简得：$1 - m - 2 = 0$，解得$m=-1$
将$m=-1$代回原方程得：$x^2 - x - 2 = 0$
因式分解得：$(x-2)(x+1)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=2$，即另一个根为2
方法二（利用根与系数的关系）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$
本题中$a=1,b=m,c=-2$，已知一个根为-1
由两根之积得：$-1× x_2=\frac{-2}{1}=-2$，解得$x_2=2$
由两根之和得：$-1 + 2 = -\frac{m}{1}$，即$1=-m$，解得$m=-1$
综上，$m=-1$，另一个根为2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础常考题，考查一元二次方程相关性质的应用，两种解题方法都需要熟练掌握，运用根与系数的关系可直接通过系数求根，能有效简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
4[2025泗洪期末]若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个根，则$x_1 + x_2 - x_1 · x_2 =$
2
答案
4. 2
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题时无需直接求解方程的两个根，可利用根与系数的关系简化计算：首先确定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再根据根与系数的关系分别求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1·x_2$，最后代入所求代数式计算结果即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1·x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 - 3x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=1$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$，
$x_1·x_2=\frac{1}{1}=1$，
将上述结果代入$x_1 + x_2 - x_1 · x_2$得：
原式$=3-1=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础常考题，解题核心是熟记对应公式，注意计算一次项系数的符号，避免因符号错误失分，无需解出方程的根即可快速得到结果，运算难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题时无需直接求解方程的两个根，可利用根与系数的关系简化计算：首先确定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再根据根与系数的关系分别求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1·x_2$，最后代入所求代数式计算结果即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1·x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 - 3x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=1$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$，
$x_1·x_2=\frac{1}{1}=1$，
将上述结果代入$x_1 + x_2 - x_1 · x_2$得：
原式$=3-1=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础常考题，解题核心是熟记对应公式，注意计算一次项系数的符号，避免因符号错误失分，无需解出方程的根即可快速得到结果，运算难度较低。
【难度系数】
0.8
5 [2025攀枝花]已知a，b是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两根，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的值为
$\frac{2}{3}$
。答案
5. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
遇到求一元二次方程两根相关代数式的值的问题时，优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）求解。首先先将所求的$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分化简，可变形为用两根之和、两根之积表示的形式，再根据韦达定理直接求出方程的两根和与两根积，整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求解a、b的具体值，可简化计算过程。
【解析】
已知a，b是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两根，根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，两根之和为$-\frac{B}{A}$，两根之积为$\frac{C}{A}$。
在方程$x^2 + 2x - 3 = 0$中，$A=1,B=2,C=-3$，因此：
$a+b=-\frac{2}{1}=-2$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$。
对所求代数式通分化简：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}=\frac{a+b}{ab}$。
将$a+b=-2$，$ab=-3$代入得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题核心是将所求代数式转化为含两根和、两根积的形式，利用整体代入思想计算，避免了解方程的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
遇到求一元二次方程两根相关代数式的值的问题时，优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）求解。首先先将所求的$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分化简，可变形为用两根之和、两根之积表示的形式，再根据韦达定理直接求出方程的两根和与两根积，整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求解a、b的具体值，可简化计算过程。
【解析】
已知a，b是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两根，根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，两根之和为$-\frac{B}{A}$，两根之积为$\frac{C}{A}$。
在方程$x^2 + 2x - 3 = 0$中，$A=1,B=2,C=-3$，因此：
$a+b=-\frac{2}{1}=-2$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$。
对所求代数式通分化简：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}=\frac{a+b}{ab}$。
将$a+b=-2$，$ab=-3$代入得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题核心是将所求代数式转化为含两根和、两根积的形式，利用整体代入思想计算，避免了解方程的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
6 设一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 + 3x + 2 = 0$的两根分别为$x_1,x_2$，则$(x_1 - x_2)^2$的值为
20
。答案
6. 20 【解析】由根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = -6, x_1x_2 = 4$，$\therefore (x_1 - x_2)^2=(x_1 + x_2)^2 -4x_1x_2=(-6)^2 -4×4=36-16=20$。
解析
【分析】
要求一元二次方程两根差的平方的值，若直接解方程求出两根后代入计算，运算相对繁琐。我们可以先利用完全平方公式将所求式子$(x_1 - x_2)^2$变形为和两根之和、两根之积相关的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系，直接求出两根之和与两根之积，整体代入变形后的式子即可快速得到结果，避免求解方程的繁琐步骤。
【解析】
对于一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 + 3x + 2 = 0$，其中$a=\frac{1}{2}$，$b=3$，$c=2$。
根据根与系数的关系可得：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{\frac{1}{2}} = -6$，
两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$。
由完全平方公式变形可得：$(x_1 - x_2)^2=(x_1 + x_2)^2 -4x_1x_2$，
将$x_1+x_2=-6$、$x_1x_2=4$代入上式得：
$(x_1 - x_2)^2=(-6)^2 -4×4=36-16=20$。
【答案】
20
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系应用的基础题型，重点考查对完全平方公式变形的掌握，体现了整体代入的数学思想，无需计算方程的具体根即可简化运算，是该章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
要求一元二次方程两根差的平方的值，若直接解方程求出两根后代入计算，运算相对繁琐。我们可以先利用完全平方公式将所求式子$(x_1 - x_2)^2$变形为和两根之和、两根之积相关的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系，直接求出两根之和与两根之积，整体代入变形后的式子即可快速得到结果，避免求解方程的繁琐步骤。
【解析】
对于一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 + 3x + 2 = 0$，其中$a=\frac{1}{2}$，$b=3$，$c=2$。
根据根与系数的关系可得：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{\frac{1}{2}} = -6$，
两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$。
由完全平方公式变形可得：$(x_1 - x_2)^2=(x_1 + x_2)^2 -4x_1x_2$，
将$x_1+x_2=-6$、$x_1x_2=4$代入上式得：
$(x_1 - x_2)^2=(-6)^2 -4×4=36-16=20$。
【答案】
20
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系应用的基础题型，重点考查对完全平方公式变形的掌握，体现了整体代入的数学思想，无需计算方程的具体根即可简化运算，是该章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
7 已知一元二次方程$2x^2 - 3x -1=0$的两根分别为$m,n$，求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值.
答案
7. $\because$ 一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两根分别为$m,n,\therefore m + n=\frac{3}{2}, mn=-\frac{1}{2},\therefore \frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n^2+m^2}{mn}=\frac{(m+n)^2-2mn}{mn}=\frac{(\frac{3}{2})^2 -2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$
解析
【分析】
要求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值，若直接求解一元二次方程得到m、n的值再代入计算，过程繁琐易出错。对于涉及一元二次方程两根的代数式求值问题，优先考虑利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和$m+n$与两根之积$mn$，再将待求代数式通分后结合完全平方公式变形为用$m+n$和$mn$表示的形式，最后整体代入数值计算即可。
【解析】
解：$\because$ 一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两根分别为$m,n$，根据根与系数的关系可得：
$m + n = \frac{3}{2}$，$mn = -\frac{1}{2}$
将待求式变形：
$\frac{n}{m}+\frac{m}{n} = \frac{n^2 + m^2}{mn} = \frac{(m+n)^2 - 2mn}{mn}$
把$m + n=\frac{3}{2}, mn=-\frac{1}{2}$代入上式：
原式$=\frac{(\frac{3}{2})^2 - 2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{4} + 1}{-\frac{1}{2}} = -\frac{13}{2}$
【答案】
$-\frac{13}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 分式化简求值；3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系应用的常规题型，核心是利用整体代入的思想，无需计算出方程的根，通过代数式变形即可求解，既简化了运算，也降低了出错概率，需熟练掌握这类代数式的变形技巧。
【难度系数】
0.7
要求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值，若直接求解一元二次方程得到m、n的值再代入计算，过程繁琐易出错。对于涉及一元二次方程两根的代数式求值问题，优先考虑利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和$m+n$与两根之积$mn$，再将待求代数式通分后结合完全平方公式变形为用$m+n$和$mn$表示的形式，最后整体代入数值计算即可。
【解析】
解：$\because$ 一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两根分别为$m,n$，根据根与系数的关系可得：
$m + n = \frac{3}{2}$，$mn = -\frac{1}{2}$
将待求式变形：
$\frac{n}{m}+\frac{m}{n} = \frac{n^2 + m^2}{mn} = \frac{(m+n)^2 - 2mn}{mn}$
把$m + n=\frac{3}{2}, mn=-\frac{1}{2}$代入上式：
原式$=\frac{(\frac{3}{2})^2 - 2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{4} + 1}{-\frac{1}{2}} = -\frac{13}{2}$
【答案】
$-\frac{13}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 分式化简求值；3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系应用的常规题型，核心是利用整体代入的思想，无需计算出方程的根，通过代数式变形即可求解，既简化了运算，也降低了出错概率，需熟练掌握这类代数式的变形技巧。
【难度系数】
0.7
8 [2025 河北]若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$，则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
8. C
解析
【分析】
解决本题需分三步思考：第一步，先把给定的一元二次方程整理为$ax²+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定$a$、$b$、$c$的取值；第二步，根据一元二次方程根与系数的关系，分别计算出两根之和$m$、两根之积$n$的具体值；第三步，结合平面直角坐标系中各象限内点的坐标正负特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
1. 先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
展开原方程$x(x+2)-3=0$，得$x^2 + 2x - 3 = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-3$。
2. 设方程的两根为$x_1$、$x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之和$m = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$，
两根之积$n = x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3$。
3. 点$(m,n)$即$(-2,-3)$，横坐标和纵坐标均为负数，符合第三象限内点的坐标特征，因此该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
韦达定理；一元二次方程的一般形式；象限的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根与系数的关系和平面直角坐标系象限判断结合考查，解题的易错点是容易记错韦达定理中两根之和的符号，只要熟练掌握基础知识点，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解决本题需分三步思考：第一步，先把给定的一元二次方程整理为$ax²+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定$a$、$b$、$c$的取值；第二步，根据一元二次方程根与系数的关系，分别计算出两根之和$m$、两根之积$n$的具体值；第三步，结合平面直角坐标系中各象限内点的坐标正负特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
1. 先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
展开原方程$x(x+2)-3=0$，得$x^2 + 2x - 3 = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-3$。
2. 设方程的两根为$x_1$、$x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之和$m = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$，
两根之积$n = x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3$。
3. 点$(m,n)$即$(-2,-3)$，横坐标和纵坐标均为负数，符合第三象限内点的坐标特征，因此该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
韦达定理；一元二次方程的一般形式；象限的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根与系数的关系和平面直角坐标系象限判断结合考查，解题的易错点是容易记错韦达定理中两根之和的符号，只要熟练掌握基础知识点，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
9 [2025 泗洪二模]若关于 x 的方程$ax^2-(3a+1)x+2(a+1)=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，且$x_1 - x_1x_2 + x_2 =1 -a$，则 a 的值是（
A.$-1$
B.$1$
C.$1$或$-1$
D.$2$
A
）A.$-1$
B.$1$
C.$1$或$-1$
D.$2$
答案
9. A 【解析】$\because$ 关于 x 的方程$ax^2-(3a+1)x+2(a+1)=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2,\therefore a≠0,且\Delta=(3a+1)^2-8a(a+1)＞0$，整理，得$(a-1)^2＞0,\therefore a≠0,且a≠1.\because x_1 -x_1x_2 +x_2=1-a$，$\therefore \frac{3a+1}{a}-\frac{2a+2}{a}=1-a$，解得$a=\pm1$。经检验，$a=\pm1$是该分式方程的解。又$\because a≠1,\therefore a=-1$。
解析
【分析】
解题时首先根据方程有两个不相等的实数根的前提，先确定方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时结合根的判别式Δ＞0，得出a的取值限制；再观察给出的含两根的代数式，可变形为两根之和与两根之积的组合，利用一元二次方程根与系数的关系将两根和、两根积用含a的代数式表示，代入等式求解a的可能值，最后结合之前得到的a的限制条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 关于x的方程$ax^2-(3a+1)x+2(a+1)=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，
∴ 方程为一元二次方程，即$a≠0$，且根的判别式$\Delta＞0$，
计算判别式：
$\Delta=(3a+1)^2 - 4· a· 2(a+1)$
$=9a^2+6a+1 - 8a^2 -8a$
$=a^2 -2a +1=(a-1)^2＞0$，
∴ $a≠0$且$a≠1$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=\frac{3a+1}{a}$，$x_1x_2=\frac{2(a+1)}{a}$，
将其代入$x_1 - x_1x_2 + x_2 =1 -a$，变形得：
$(x_1+x_2) - x_1x_2 =1 -a$，
代入得：$\frac{3a+1}{a} - \frac{2(a+1)}{a} =1 -a$，
左边化简：$\frac{3a+1 -2a -2}{a}=\frac{a-1}{a}$，
即$\frac{a-1}{a}=1 -a$，
移项整理得：$\frac{a-1}{a} + (a-1)=0$，
提取公因式$(a-1)$得：$(a-1)(\frac{1}{a}+1)=0$，
解得$a=1$或$a=-1$，
结合之前得出的限制条件$a≠0$且$a≠1$，故舍去$a=1$，
∴ $a=-1$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的综合应用题，易错点是求解a的取值后容易忽略“方程有两个不相等的实数根”的前提限制，未排除a=1的情况错选C，解题时要注意先明确参数的取值范围，再对解出的结果进行验证筛选。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据方程有两个不相等的实数根的前提，先确定方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时结合根的判别式Δ＞0，得出a的取值限制；再观察给出的含两根的代数式，可变形为两根之和与两根之积的组合，利用一元二次方程根与系数的关系将两根和、两根积用含a的代数式表示，代入等式求解a的可能值，最后结合之前得到的a的限制条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 关于x的方程$ax^2-(3a+1)x+2(a+1)=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，
∴ 方程为一元二次方程，即$a≠0$，且根的判别式$\Delta＞0$，
计算判别式：
$\Delta=(3a+1)^2 - 4· a· 2(a+1)$
$=9a^2+6a+1 - 8a^2 -8a$
$=a^2 -2a +1=(a-1)^2＞0$，
∴ $a≠0$且$a≠1$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=\frac{3a+1}{a}$，$x_1x_2=\frac{2(a+1)}{a}$，
将其代入$x_1 - x_1x_2 + x_2 =1 -a$，变形得：
$(x_1+x_2) - x_1x_2 =1 -a$，
代入得：$\frac{3a+1}{a} - \frac{2(a+1)}{a} =1 -a$，
左边化简：$\frac{3a+1 -2a -2}{a}=\frac{a-1}{a}$，
即$\frac{a-1}{a}=1 -a$，
移项整理得：$\frac{a-1}{a} + (a-1)=0$，
提取公因式$(a-1)$得：$(a-1)(\frac{1}{a}+1)=0$，
解得$a=1$或$a=-1$，
结合之前得出的限制条件$a≠0$且$a≠1$，故舍去$a=1$，
∴ $a=-1$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的综合应用题，易错点是求解a的取值后容易忽略“方程有两个不相等的实数根”的前提限制，未排除a=1的情况错选C，解题时要注意先明确参数的取值范围，再对解出的结果进行验证筛选。
【难度系数】
0.6
10 [2025 泗洪一模]若α,β是方程$x^2 + 3x - 5 = 0$的两个实数根,则$α^2 + 2α - β=$
8
.答案
10. 8 【解析】$\because α,β$是方程$x^2 +3x -5=0$的两个实数根，$\therefore α+β=-3,α^2+3α-5=0,\therefore α^2+3α=5,\therefore α^2+2α-β=α^2+3α-α-β=(α^2+3α)-(α+β)=5-(-3)=5+3=8$。
解析
【分析】
本题可结合一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解。首先，α是方程的根，代入方程可得α²+3α=5的等量关系；其次根据根与系数的关系可得两根之和α+β=-3；最后将所求代数式α²+2α-β拆分为含α²+3α和α+β的形式，代入已知数值即可计算结果，无需直接求解方程的根。
【解析】
∵α,β是方程$x^2 + 3x - 5 = 0$的两个实数根，
∴根据根与系数的关系得：$α+β=-3$，
根据一元二次方程根的定义，将α代入方程得：$α^2+3α-5=0$，即$α^2+3α=5$，
对所求代数式变形可得：
$α^2 + 2α - β = α^2 + 3α - α - β = (α^2 + 3α) - (α + β)$，
将$α^2+3α=5$，$α+β=-3$代入上式得：
原式$=5 - (-3) = 5 + 3 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是对所求代数式进行合理拆分变形，将未知转化为题目给出的已知条件代入计算，避免直接求根带来的复杂运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题可结合一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解。首先，α是方程的根，代入方程可得α²+3α=5的等量关系；其次根据根与系数的关系可得两根之和α+β=-3；最后将所求代数式α²+2α-β拆分为含α²+3α和α+β的形式，代入已知数值即可计算结果，无需直接求解方程的根。
【解析】
∵α,β是方程$x^2 + 3x - 5 = 0$的两个实数根，
∴根据根与系数的关系得：$α+β=-3$，
根据一元二次方程根的定义，将α代入方程得：$α^2+3α-5=0$，即$α^2+3α=5$，
对所求代数式变形可得：
$α^2 + 2α - β = α^2 + 3α - α - β = (α^2 + 3α) - (α + β)$，
将$α^2+3α=5$，$α+β=-3$代入上式得：
原式$=5 - (-3) = 5 + 3 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是对所求代数式进行合理拆分变形，将未知转化为题目给出的已知条件代入计算，避免直接求根带来的复杂运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
