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【典例1】如图，四边形ABCD内接于半径为5的$\odot O$，且$AB=6$，$BC=7$，$CD=8$，则AD的长是（
A.$\sqrt{51}$
B.$5\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{13}$
A
）A.$\sqrt{51}$
B.$5\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{13}$
答案
解:作直径AM,连接BM,DM,则∠ADM=∠ABM=90°,BM=CD,
∴$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CD}$,$\overset{\frown}{CM}+\overset{\frown}{DM}=\overset{\frown}{CM}+\overset{\frown}{BC}$,$\overset{\frown}{DM}=\overset{\frown}{BC}$,
∴DM=BC,
∴AD=$\sqrt{10^2-7^2}=\sqrt{51}$.
【典例2】(2025·浙江)如图，矩形ABCD内接于$\odot O$，E是$\overset{\frown}{AD}$上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G。若$AF=1$，$EG=FG=3$，则$\odot O$的直径为
$2\sqrt{14}$
。答案
解:连接AC,DE,
∵∠ABC=90°,
∴AC为$\odot O$的直径,
又
∵∠EFG=∠EBC=∠FEC,
∴CE=CB,
∴CA⊥BE,
∴CG=AG=4,
∴DG=EG=3,
∴CD=$\sqrt{7}$,
∴AC=$2\sqrt{14}$.
变式.如图，$\odot O$的半径为2，$△ ABC$为$\odot O$的内接三角形，$P$为$\overset{\frown}{AC}$的中点，$PE=PC$，且$∠ EPC=90°$，点$E$在$AB$上，则$BC=$
$2\sqrt{2}$
。答案
解:
∵PE=PC=PA,
∴A,C,E在以P为圆心,PC为半径的圆上,
∴∠CAB=45°,
∴∠COB=90°,
∴BC=$2\sqrt{2}$.
【典例3】(2025·武汉)如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$。若$AB=6$，$CD=\sqrt{13}$，则$\odot O$的半径是(
A.$\frac{13}{4}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{9}{2}$
D.5
A
)A.$\frac{13}{4}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{9}{2}$
D.5
答案
A
变式.(2026·辽宁)已知$\mathrm{Rt}△ ABC$，$∠ ABC=90°$，$AB=6$，$BC=8$，点$D$是$AC$上的动点，连接$BD$，作$△ ABD$的外接圆$\odot O$，与线段$BC$交于点$E$，连接$DE$。若$OB// DE$，求$AD$的长。
答案
解:延长 BO 交 AD 于点 M，
∵DE//BM,
∴BM⊥AD,
∴AM=DM,
又
∵BM=$\frac{24}{5}$,
∴AM=$\frac{18}{5}$,
∴AD=$\frac{36}{5}$.
