【典例1】(2025·武汉)如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB=AC$，点$P$在$\overset{\frown}{AB}$上，连接$PA$，过$A$作$AN ⊥ PC$于$N$点.
(1)求证:$AP$平分$△ BPC$的外角$∠ CPE$；
(2)若$PB=1$，$PC=3$，求$PN$的长.

(1)证明:过A作AM⊥PB于M，易证△ABM≌△ACN；
(2)解:△APM≌△APN，PM=PN,BM=CN，
∴PN=1.

【典例2】如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，点P在$\odot O$上，$CD⊥ PA$于E，交$\odot O$于点D.
(1)求证：PC平分$∠ APB$；
(2)若$AE=1$，$PE=3$，求PB的长.

(1)解:
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴PC 平分∠APB；
(2)解:方法一:连接CA,CB,在PA上取点M满足PM=PB,连接CM,

变式.如图，AB是$\odot O$的直径，点N是半圆的中点，点C为$\overset{\frown}{AN}$上一点，$NC=\sqrt{3}$，求$BC-AC$的值.

解：
在BC上截取BD=AC，连接AN，BN，CN。
∵ AB是⊙O的直径，N是半圆的中点，
∴ $\overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{BN}$，
∴ $AN=BN$，$∠ ANB=90°$。
∵ $∠ NAC$和$∠ NBC$都是$\overset{\frown}{NC}$所对的圆周角，
∴ $∠ NAC=∠ NBC$。
在$△ ACN$和$△ BDN$中：
$\begin{cases}AC=BD \\∠ NAC=∠ NBD \\AN=BN\end{cases}$
∴ $△ ACN ≌ △ BDN$（SAS）。
∴ $CN=DN$，$∠ ANC=∠ BND$。
∴ $∠ ANC + ∠ CNB = ∠ BND + ∠ CNB$，
即 $∠ CND=∠ ANB=90°$。
∴ $△ CND$是等腰直角三角形。
∴ $CD=\sqrt{2} · NC$。
∵ $NC=\sqrt{3}$，
∴ $CD=\sqrt{2} × \sqrt{3}=\sqrt{6}$。
又∵ $BC-AC=BC-BD=CD$，
∴ $BC-AC=\sqrt{6}$。