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1. 函数$y=\sqrt{2-x}+\frac{1}{x-3}$中自变量$x$的取值范围是（
A.$x≤2$
B.$x=3$
C.$x＜2$，且$x≠3$
D.$x≤2$，且$x≠3$
A
）A.$x≤2$
B.$x=3$
C.$x＜2$，且$x≠3$
D.$x≤2$，且$x≠3$
答案
1.A
解析
【分析】
要确定函数自变量的取值范围，需分别分析函数中不同形式的代数式有意义的条件：一是二次根式的被开方数必须为非负数，二是分式的分母不能为0。先分别根据两个限制条件求出x的取值范围，再取两个范围的公共部分，即为最终自变量的取值范围。
【解析】
1. 由二次根式有意义的条件，被开方数≥0，可得：
$2-x≥0$
移项得$-x≥-2$，两边同时乘$-1$（不等号方向改变），解得$x≤2$。
2. 由分式有意义的条件，分母≠0，可得：
$x-3≠0$，解得$x≠3$。
3. 取两个解集的公共部分：因为$x≤2$的所有取值都满足$x≠3$，因此最终自变量$x$的取值范围是$x≤2$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题是函数自变量取值范围的常规考题，解题关键是牢记不同代数式有意义的限制条件，求出各条件对应的解集后要注意取公共解集，避免盲目叠加所有限制条件导致错选。
【难度系数】
0.7
要确定函数自变量的取值范围，需分别分析函数中不同形式的代数式有意义的条件：一是二次根式的被开方数必须为非负数，二是分式的分母不能为0。先分别根据两个限制条件求出x的取值范围，再取两个范围的公共部分，即为最终自变量的取值范围。
【解析】
1. 由二次根式有意义的条件，被开方数≥0，可得：
$2-x≥0$
移项得$-x≥-2$，两边同时乘$-1$（不等号方向改变），解得$x≤2$。
2. 由分式有意义的条件，分母≠0，可得：
$x-3≠0$，解得$x≠3$。
3. 取两个解集的公共部分：因为$x≤2$的所有取值都满足$x≠3$，因此最终自变量$x$的取值范围是$x≤2$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题是函数自变量取值范围的常规考题，解题关键是牢记不同代数式有意义的限制条件，求出各条件对应的解集后要注意取公共解集，避免盲目叠加所有限制条件导致错选。
【难度系数】
0.7
2.下列四组根式中，化成最简二次根式后被开方数相同的是（
A.$\sqrt{3x}$与$\sqrt{0.3x}$
B.$\sqrt{2}$与$-\sqrt{8}$
C.$\sqrt{50}$与$-\sqrt{25}$
D.$\sqrt{18}$与$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
B
）A.$\sqrt{3x}$与$\sqrt{0.3x}$
B.$\sqrt{2}$与$-\sqrt{8}$
C.$\sqrt{50}$与$-\sqrt{25}$
D.$\sqrt{18}$与$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查同类二次根式的判断，解题思路为：首先明确判断标准——将两个根式都化为最简二次根式后，若被开方数相同则符合要求；接下来依次对每个选项中的两个二次根式进行化简，对比化简后的被开方数是否一致即可得出答案。
【解析】
最简二次根式要求：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{3x}$已是最简，被开方数为$3x$；$\sqrt{0.3x}=\sqrt{\frac{3x}{10}}=\frac{\sqrt{30x}}{10}$，被开方数为$30x$，二者被开方数不同，不符合要求。
B选项：$\sqrt{2}$已是最简，被开方数为$2$；$-\sqrt{8}=-\sqrt{4×2}=-2\sqrt{2}$，被开方数为$2$，二者被开方数相同，符合要求。
C选项：$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，被开方数为$2$；$-\sqrt{25}=-5$是整数，二者被开方数不同，不符合要求。
D选项：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为$2$；$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，被开方数为$3$，二者被开方数不同，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式判定
【点评】
本题是二次根式章节的基础题型，解题核心是熟练掌握二次根式的化简方法，注意必须先将根式化为最简形式再对比被开方数，避免直接观察原式判断出错。
【难度系数】
0.8
本题考查同类二次根式的判断，解题思路为：首先明确判断标准——将两个根式都化为最简二次根式后，若被开方数相同则符合要求；接下来依次对每个选项中的两个二次根式进行化简，对比化简后的被开方数是否一致即可得出答案。
【解析】
最简二次根式要求：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{3x}$已是最简，被开方数为$3x$；$\sqrt{0.3x}=\sqrt{\frac{3x}{10}}=\frac{\sqrt{30x}}{10}$，被开方数为$30x$，二者被开方数不同，不符合要求。
B选项：$\sqrt{2}$已是最简，被开方数为$2$；$-\sqrt{8}=-\sqrt{4×2}=-2\sqrt{2}$，被开方数为$2$，二者被开方数相同，符合要求。
C选项：$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，被开方数为$2$；$-\sqrt{25}=-5$是整数，二者被开方数不同，不符合要求。
D选项：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为$2$；$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，被开方数为$3$，二者被开方数不同，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式判定
【点评】
本题是二次根式章节的基础题型，解题核心是熟练掌握二次根式的化简方法，注意必须先将根式化为最简形式再对比被开方数，避免直接观察原式判断出错。
【难度系数】
0.8
3. 化简$\sqrt{x^4(x^2+1)}$的结果是 （
A.$(x^2+1)· x^2$
B.$x\sqrt{x^2+1}$
C.$x^2+1$
D.$x^2\sqrt{x^2+1}$
D
）A.$(x^2+1)· x^2$
B.$x\sqrt{x^2+1}$
C.$x^2+1$
D.$x^2\sqrt{x^2+1}$
答案
3.D
解析
【分析】
要化简这个二次根式，我们可以按照二次根式化简的常规思路来思考：第一步先回忆二次根式的相关性质，二次根式$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$的使用前提是$a≥0,b≥0$，所以首先要判断被开方数中两个因式$x^4$和$x^2+1$的正负性；第二步拆分根号后，再根据$\sqrt{a^2}=|a|$的性质化简$\sqrt{x^4}$，注意$x^2$本身是非负数，所以可以直接去掉绝对值得到化简结果，最后对应选项判断即可。
【解析】
解：根据二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，
∵ 对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，
∴ $x^4=(x^2)^2≥0$，$x^2+1≥1＞0$，满足二次根式乘法性质的使用条件，
∴ 原式$=\sqrt{x^4}·\sqrt{x^2+1}$。
又
∵ $\sqrt{x^4}=\sqrt{(x^2)^2}=|x^2|$，且$x^2≥0$，
∴ $|x^2|=x^2$，
∴ 原式$=x^2\sqrt{x^2+1}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，解题的核心是要牢记二次根式开方的结果具有非负性，同时要准确判断被开方数中各因式的正负性，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
要化简这个二次根式，我们可以按照二次根式化简的常规思路来思考：第一步先回忆二次根式的相关性质，二次根式$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$的使用前提是$a≥0,b≥0$，所以首先要判断被开方数中两个因式$x^4$和$x^2+1$的正负性；第二步拆分根号后，再根据$\sqrt{a^2}=|a|$的性质化简$\sqrt{x^4}$，注意$x^2$本身是非负数，所以可以直接去掉绝对值得到化简结果，最后对应选项判断即可。
【解析】
解：根据二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，
∵ 对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，
∴ $x^4=(x^2)^2≥0$，$x^2+1≥1＞0$，满足二次根式乘法性质的使用条件，
∴ 原式$=\sqrt{x^4}·\sqrt{x^2+1}$。
又
∵ $\sqrt{x^4}=\sqrt{(x^2)^2}=|x^2|$，且$x^2≥0$，
∴ $|x^2|=x^2$，
∴ 原式$=x^2\sqrt{x^2+1}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，解题的核心是要牢记二次根式开方的结果具有非负性，同时要准确判断被开方数中各因式的正负性，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
4. 已知 $ a＞0 $，有下列等式：①$ (\sqrt{a})^2 = a $；②$ (-\sqrt{a})^2 = a $；③$ \sqrt{a^2} = a $；④$ \sqrt{(-a)^2} = -a $；⑤$ (\sqrt{a})^2 = \sqrt{a^2} $；⑥$ \sqrt{(-a)^2} = (\sqrt{-a})^2 $。其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先抓住题目给出的a＞0的前提条件，结合二次根式的核心性质逐一判断每个等式是否成立：首先明确二次根式有意义的条件是被开方数非负，其次牢记两个常用性质：1. 当x≥0时，(√x)²=x；2. √(x²)=|x|，再根据x的正负性去绝对值符号，最后统计正确的等式个数即可。
【解析】
已知a＞0，逐个分析等式：
① 因为a＞0，√a有意义，根据二次根式性质可得$(\sqrt{a})^2 = a$，等式成立；
② $(-\sqrt{a})^2 = (-1)^2 × (\sqrt{a})^2 = 1 × a = a$，等式成立；
③ $\sqrt{a^2} = |a|$，因为a＞0，所以|a|=a，等式成立；
④ $\sqrt{(-a)^2} = \sqrt{a^2} = |a| = a ≠ -a$，等式不成立；
⑤ 左边$(\sqrt{a})^2 = a$，右边$\sqrt{a^2} = a$，左右两边相等，等式成立；
⑥ 右边$(\sqrt{-a})^2$中，a＞0则-a＜0，二次根式的被开方数为负数，无意义，等式不成立。
综上，正确的等式有①②③⑤，共4个。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，二次根式有意义的条件，绝对值化简
【点评】
本题易错点是忽略二次根式有意义的前提，以及混淆$(\sqrt{x})^2$和$\sqrt{x^2}$的适用范围，解题时紧扣已知条件a＞0，结合性质逐一验证即可避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住题目给出的a＞0的前提条件，结合二次根式的核心性质逐一判断每个等式是否成立：首先明确二次根式有意义的条件是被开方数非负，其次牢记两个常用性质：1. 当x≥0时，(√x)²=x；2. √(x²)=|x|，再根据x的正负性去绝对值符号，最后统计正确的等式个数即可。
【解析】
已知a＞0，逐个分析等式：
① 因为a＞0，√a有意义，根据二次根式性质可得$(\sqrt{a})^2 = a$，等式成立；
② $(-\sqrt{a})^2 = (-1)^2 × (\sqrt{a})^2 = 1 × a = a$，等式成立；
③ $\sqrt{a^2} = |a|$，因为a＞0，所以|a|=a，等式成立；
④ $\sqrt{(-a)^2} = \sqrt{a^2} = |a| = a ≠ -a$，等式不成立；
⑤ 左边$(\sqrt{a})^2 = a$，右边$\sqrt{a^2} = a$，左右两边相等，等式成立；
⑥ 右边$(\sqrt{-a})^2$中，a＞0则-a＜0，二次根式的被开方数为负数，无意义，等式不成立。
综上，正确的等式有①②③⑤，共4个。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，二次根式有意义的条件，绝对值化简
【点评】
本题易错点是忽略二次根式有意义的前提，以及混淆$(\sqrt{x})^2$和$\sqrt{x^2}$的适用范围，解题时紧扣已知条件a＞0，结合性质逐一验证即可避免出错。
【难度系数】
0.7
5.如图1，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示$-\sqrt{2}$.若点B所表示的数为m，则$(m-1)(m-3)$的值是
1
.答案
5.1
解析
【分析】
首先根据数轴上点向右平移时对应数值增大（右移加）的规律，求出点B表示的数m；再将m代入所求代数式，观察式子特征可以利用平方差公式简化计算，也可以先展开代数式再代入求值，最终算出结果即可。
【解析】
解：
∵点A表示的数为$-\sqrt{2}$，蚂蚁从点A向右直爬2个单位长度到达点B，
∴点B表示的数$m=-\sqrt{2}+2=2-\sqrt{2}$。
将$m=2-\sqrt{2}$代入$(m-1)(m-3)$得：
$\begin{aligned}(m-1)(m-3)&=(2-\sqrt{2}-1)(2-\sqrt{2}-3)\\&=(1-\sqrt{2})(-1-\sqrt{2})\\&=(-\sqrt{2}+1)(-\sqrt{2}-1)\\&=(-\sqrt{2})^2 - 1^2\\&=2 - 1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
数轴上点的平移、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题结合数轴平移和整式运算考查基础计算能力，解题关键是正确求出m的值，灵活运用乘法公式可简化运算，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
首先根据数轴上点向右平移时对应数值增大（右移加）的规律，求出点B表示的数m；再将m代入所求代数式，观察式子特征可以利用平方差公式简化计算，也可以先展开代数式再代入求值，最终算出结果即可。
【解析】
解：
∵点A表示的数为$-\sqrt{2}$，蚂蚁从点A向右直爬2个单位长度到达点B，
∴点B表示的数$m=-\sqrt{2}+2=2-\sqrt{2}$。
将$m=2-\sqrt{2}$代入$(m-1)(m-3)$得：
$\begin{aligned}(m-1)(m-3)&=(2-\sqrt{2}-1)(2-\sqrt{2}-3)\\&=(1-\sqrt{2})(-1-\sqrt{2})\\&=(-\sqrt{2}+1)(-\sqrt{2}-1)\\&=(-\sqrt{2})^2 - 1^2\\&=2 - 1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
数轴上点的平移、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题结合数轴平移和整式运算考查基础计算能力，解题关键是正确求出m的值，灵活运用乘法公式可简化运算，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
6.若式子$\sqrt{x-3}+\frac{1}{\sqrt{5-x}}$有意义，则x的取值范围为
3≤x＜5
。答案
6.3≤x＜5
解析
【分析】
要确定使式子有意义的x的取值范围，需分别考虑式子中各部分的限制条件：①二次根式的被开方数必须是非负数；②分式的分母不能为0。我们先根据这两个条件分别列出对应的不等式，再解出每个不等式的解集，最后取两个解集的公共部分，就是x的取值范围。
【解析】
要使$\sqrt{x-3}+\frac{1}{\sqrt{5-x}}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 对于二次根式$\sqrt{x-3}$，被开方数非负，即：
$x-3 ≥ 0$，解得$x ≥ 3$；
2. 对于分式$\frac{1}{\sqrt{5-x}}$，分母不能为0，同时根号内的被开方数需非负，因此可得$5-x ＞ 0$，解得$x ＜ 5$。
综合两个不等式的解集，取公共部分可得$3 ≤ x ＜ 5$。
【答案】
$3≤ x＜5$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 分式有意义的条件
3. 解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查二次根式与分式有意义条件的综合应用，解题时需特别注意位于分母位置的二次根式，其被开方数必须为正数，不能取等号，避免因忽略分母不为0的限制导致解题错误。
【难度系数】
0.7
要确定使式子有意义的x的取值范围，需分别考虑式子中各部分的限制条件：①二次根式的被开方数必须是非负数；②分式的分母不能为0。我们先根据这两个条件分别列出对应的不等式，再解出每个不等式的解集，最后取两个解集的公共部分，就是x的取值范围。
【解析】
要使$\sqrt{x-3}+\frac{1}{\sqrt{5-x}}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 对于二次根式$\sqrt{x-3}$，被开方数非负，即：
$x-3 ≥ 0$，解得$x ≥ 3$；
2. 对于分式$\frac{1}{\sqrt{5-x}}$，分母不能为0，同时根号内的被开方数需非负，因此可得$5-x ＞ 0$，解得$x ＜ 5$。
综合两个不等式的解集，取公共部分可得$3 ≤ x ＜ 5$。
【答案】
$3≤ x＜5$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 分式有意义的条件
3. 解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查二次根式与分式有意义条件的综合应用，解题时需特别注意位于分母位置的二次根式，其被开方数必须为正数，不能取等号，避免因忽略分母不为0的限制导致解题错误。
【难度系数】
0.7
7.已知$\sqrt{2-a}+\sqrt{b-3}=0$，则$\frac{\sqrt{a}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}}=$
$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
.答案
7.$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果是非负数，即$\sqrt{x}≥0$（$x≥0$）。两个非负数相加和为0，说明这两个非负数各自都等于0，据此我们可以先列出关于$a$、$b$的方程，求出$a$、$b$的取值，再将$a$、$b$代入所求的代数式，按照二次根式的运算法则计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because \sqrt{2-a}≥0$，$\sqrt{b-3}≥0$，且$\sqrt{2-a}+\sqrt{b-3}=0$
$\therefore$根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}2-a=0 \\ b-3=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=2 \\ b=3\end{cases}$
将$a=2$，$b=3$代入$\frac{\sqrt{a}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}}$得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \\&=\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{\frac{6}{3}} \\&=\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2} \\&=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{2} \\&=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
1. 算术平方根的非负性
2. 二次根式的除法运算
3. 二次根式的加减运算
【点评】
本题是典型的非负数性质与二次根式运算结合的题型，解题核心是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0”的性质，准确求出未知字母的值后代入计算即可，计算时注意二次根式运算法则的正确使用，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果是非负数，即$\sqrt{x}≥0$（$x≥0$）。两个非负数相加和为0，说明这两个非负数各自都等于0，据此我们可以先列出关于$a$、$b$的方程，求出$a$、$b$的取值，再将$a$、$b$代入所求的代数式，按照二次根式的运算法则计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because \sqrt{2-a}≥0$，$\sqrt{b-3}≥0$，且$\sqrt{2-a}+\sqrt{b-3}=0$
$\therefore$根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}2-a=0 \\ b-3=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=2 \\ b=3\end{cases}$
将$a=2$，$b=3$代入$\frac{\sqrt{a}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}}$得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \\&=\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{\frac{6}{3}} \\&=\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2} \\&=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{2} \\&=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
1. 算术平方根的非负性
2. 二次根式的除法运算
3. 二次根式的加减运算
【点评】
本题是典型的非负数性质与二次根式运算结合的题型，解题核心是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0”的性质，准确求出未知字母的值后代入计算即可，计算时注意二次根式运算法则的正确使用，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
8. 已知$-3＜x＜5$，化简：$\sqrt{x^2+6x+9} + \sqrt{x^2-10x+25} =$
8
.答案
8.8
解析
【分析】
要化简含二次根式的式子，首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，所以第一步需要先把两个根号内的二次三项式用完全平方公式因式分解，转化为平方的形式，开方得到两个绝对值相加的形式；接下来根据题目给出的$x$的取值范围，分别判断两个绝对值内部代数式的正负性，去掉绝对值符号后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：先对根号内的式子因式分解：
$x^2+6x+9=(x+3)^2$，$x^2-10x+25=(x-5)^2$
$\therefore$ 原式 $=\sqrt{(x+3)^2}+\sqrt{(x-5)^2}=|x+3|+|x-5|$
$\because -3＜x＜5$
$\therefore x+3＞0$，$x-5＜0$
$\therefore |x+3|=x+3$，$|x-5|=-(x-5)=5-x$
$\therefore$ 原式 $=(x+3)+(5-x)=8$
【答案】
$8$
【知识点】
二次根式的化简，完全平方公式，绝对值的性质
【点评】
本题是代数化简类基础题，解题核心是熟练掌握二次根式的性质和去绝对值的规则，需注意开平方后结果为非负数，去绝对值时要先判断内部式子的正负，避免出错。
【难度系数】
0.7
要化简含二次根式的式子，首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，所以第一步需要先把两个根号内的二次三项式用完全平方公式因式分解，转化为平方的形式，开方得到两个绝对值相加的形式；接下来根据题目给出的$x$的取值范围，分别判断两个绝对值内部代数式的正负性，去掉绝对值符号后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：先对根号内的式子因式分解：
$x^2+6x+9=(x+3)^2$，$x^2-10x+25=(x-5)^2$
$\therefore$ 原式 $=\sqrt{(x+3)^2}+\sqrt{(x-5)^2}=|x+3|+|x-5|$
$\because -3＜x＜5$
$\therefore x+3＞0$，$x-5＜0$
$\therefore |x+3|=x+3$，$|x-5|=-(x-5)=5-x$
$\therefore$ 原式 $=(x+3)+(5-x)=8$
【答案】
$8$
【知识点】
二次根式的化简，完全平方公式，绝对值的性质
【点评】
本题是代数化简类基础题，解题核心是熟练掌握二次根式的性质和去绝对值的规则，需注意开平方后结果为非负数，去绝对值时要先判断内部式子的正负，避免出错。
【难度系数】
0.7
9.若三角形的三边长$a,b,c$满足$a^2 -4a +4 + \sqrt{b-3}=0$,则第三边长$c$的取值范围是
1＜c＜5
.答案
9.1＜c＜5
解析
【分析】
首先观察等式左边的结构，$a^2-4a+4$可转化为完全平方形式，结合算术平方根的非负性可知，两个非负数相加和为0时，每一项都为0，据此可先求出a、b的长度；再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可求出第三边c的取值范围。
【解析】
先对原式变形：
$a^2 -4a +4 + \sqrt{b-3}=(a-2)^2+\sqrt{b-3}=0$
∵ 平方数和算术平方根均为非负数，即$(a-2)^2≥0$，$\sqrt{b-3}≥0$
∴ 当两个非负数的和为0时，每一项都为0，可得：
$\begin{cases}a-2=0\\b-3=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}$
根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和，即$b-a ＜ c ＜ a+b$
代入a、b的值：$3-2 ＜ c ＜ 2+3$
∴ $1 ＜ c ＜ 5$
【答案】
1＜c＜5
【知识点】
非负数的性质、完全平方公式、三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先利用非负数的性质求出三角形两条边的长度，再结合三角形三边关系确定第三边的取值范围，需熟练掌握平方、算术平方根、绝对值这三类常见非负形式的性质。
【难度系数】
0.7
首先观察等式左边的结构，$a^2-4a+4$可转化为完全平方形式，结合算术平方根的非负性可知，两个非负数相加和为0时，每一项都为0，据此可先求出a、b的长度；再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可求出第三边c的取值范围。
【解析】
先对原式变形：
$a^2 -4a +4 + \sqrt{b-3}=(a-2)^2+\sqrt{b-3}=0$
∵ 平方数和算术平方根均为非负数，即$(a-2)^2≥0$，$\sqrt{b-3}≥0$
∴ 当两个非负数的和为0时，每一项都为0，可得：
$\begin{cases}a-2=0\\b-3=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}$
根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和，即$b-a ＜ c ＜ a+b$
代入a、b的值：$3-2 ＜ c ＜ 2+3$
∴ $1 ＜ c ＜ 5$
【答案】
1＜c＜5
【知识点】
非负数的性质、完全平方公式、三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先利用非负数的性质求出三角形两条边的长度，再结合三角形三边关系确定第三边的取值范围，需熟练掌握平方、算术平方根、绝对值这三类常见非负形式的性质。
【难度系数】
0.7
10. 当$a$为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) $\sqrt{a^2 + 1 - 2a}$；
(2) $\dfrac{\sqrt{a + 2}}{a - 3}$；
(3) $\sqrt{0.5a - \dfrac{1}{2}}$。
(1) $\sqrt{a^2 + 1 - 2a}$；
(2) $\dfrac{\sqrt{a + 2}}{a - 3}$；
(3) $\sqrt{0.5a - \dfrac{1}{2}}$。
答案
10.(1)$a$是全体实数 (2)$a≥-2$，且$a≠3$ (3)$a≥1$
解析
【分析】
要判断各式在实数范围内有意义时a的取值，需先明确代数式有意义的规则：二次根式的被开方数必须是非负数，分式的分母不能为0。解题时先分析每个式子的结构，列出所有需要满足的限制条件，再解对应的不等式（组）即可得到结果。(1)先对被开方数因式分解，结合完全平方的非负性判断；(2)式子同时包含二次根式和分式，需同时满足二次根式和分式有意义的条件；(3)仅含二次根式，直接令被开方数≥0解不等式即可。
【解析】
(1) 先整理被开方数：$a^2 +1 -2a=(a-1)^2$。
因为任意实数的平方都是非负数，即对任意实数$a$，都有$(a-1)^2≥0$，满足二次根式被开方数非负的要求，因此$a$取全体实数时，$\sqrt{a^2 + 1 - 2a}$有意义。
(2) 该式是分式且分子为二次根式，需同时满足两个条件：
① 被开方数非负：$a+2≥0$，解得$a≥-2$；
② 分母不为0：$a-3≠0$，解得$a≠3$。
综合两个条件，得$a≥-2$且$a≠3$时，$\dfrac{\sqrt{a + 2}}{a - 3}$有意义。
(3) 该式为二次根式，要求被开方数非负：
$0.5a - \dfrac{1}{2}≥0$
不等式两边同时乘2，得$a -1≥0$，解得$a≥1$，因此$a≥1$时，$\sqrt{0.5a - \dfrac{1}{2}}$有意义。
【答案】
(1)$a$是全体实数 (2)$a≥-2$，且$a≠3$ (3)$a≥1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于代数式有意义的基础题型，解题时需注意观察式子的构成，若同时存在多种代数式，要列出所有限制条件，避免遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.8
要判断各式在实数范围内有意义时a的取值，需先明确代数式有意义的规则：二次根式的被开方数必须是非负数，分式的分母不能为0。解题时先分析每个式子的结构，列出所有需要满足的限制条件，再解对应的不等式（组）即可得到结果。(1)先对被开方数因式分解，结合完全平方的非负性判断；(2)式子同时包含二次根式和分式，需同时满足二次根式和分式有意义的条件；(3)仅含二次根式，直接令被开方数≥0解不等式即可。
【解析】
(1) 先整理被开方数：$a^2 +1 -2a=(a-1)^2$。
因为任意实数的平方都是非负数，即对任意实数$a$，都有$(a-1)^2≥0$，满足二次根式被开方数非负的要求，因此$a$取全体实数时，$\sqrt{a^2 + 1 - 2a}$有意义。
(2) 该式是分式且分子为二次根式，需同时满足两个条件：
① 被开方数非负：$a+2≥0$，解得$a≥-2$；
② 分母不为0：$a-3≠0$，解得$a≠3$。
综合两个条件，得$a≥-2$且$a≠3$时，$\dfrac{\sqrt{a + 2}}{a - 3}$有意义。
(3) 该式为二次根式，要求被开方数非负：
$0.5a - \dfrac{1}{2}≥0$
不等式两边同时乘2，得$a -1≥0$，解得$a≥1$，因此$a≥1$时，$\sqrt{0.5a - \dfrac{1}{2}}$有意义。
【答案】
(1)$a$是全体实数 (2)$a≥-2$，且$a≠3$ (3)$a≥1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于代数式有意义的基础题型，解题时需注意观察式子的构成，若同时存在多种代数式，要列出所有限制条件，避免遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.8
