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11. 李明在作业本上做了以下四道题：
① $\sqrt{16a^4}=4a^2$；② $\sqrt{5a} · \sqrt{10a}=5\sqrt{2}a$；
③ $a\sqrt{\frac{1}{a}}=\sqrt{a^2 · \frac{1}{a}}=\sqrt{a}$；④ $\sqrt{3a}-\sqrt{2a}=\sqrt{a}$。其中错误的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
① $\sqrt{16a^4}=4a^2$；② $\sqrt{5a} · \sqrt{10a}=5\sqrt{2}a$；
③ $a\sqrt{\frac{1}{a}}=\sqrt{a^2 · \frac{1}{a}}=\sqrt{a}$；④ $\sqrt{3a}-\sqrt{2a}=\sqrt{a}$。其中错误的有（
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
11.B
解析
【分析】
本题考查二次根式的性质与运算规则，解题思路是逐个验证4个式子的正误：首先明确二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性，再结合二次根式的乘除、加减运算法则逐一判断，最后统计错误式子的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个式子的正确性：
1. 验证①：$\sqrt{16a^4}$是求$16a^4$的算术平方根，$\sqrt{16a^4}=\sqrt{(4a^2)^2}=|4a^2|$，由于$a^2$恒为非负数，因此$|4a^2|=4a^2$，①正确。
2. 验证②：根据二次根式乘法法则$\sqrt{A}·\sqrt{B}=\sqrt{AB}$（$A≥0,B≥0$），可得$\sqrt{5a}·\sqrt{10a}=\sqrt{5a·10a}=\sqrt{50a^2}=5\sqrt{2}|a|$。若未明确$a≥0$，不能直接去掉绝对值符号写为$5\sqrt{2}a$，因此②错误。
3. 验证③：要使$a\sqrt{\frac{1}{a}}$有意义，则$\frac{1}{a}＞0$即$a＞0$，此时$a=\sqrt{a^2}$，因此$a\sqrt{\frac{1}{a}}=\sqrt{a^2·\frac{1}{a}}=\sqrt{a}$，③正确。
4. 验证④：只有同类二次根式（被开方数相同的二次根式）才能合并，$\sqrt{3a}$和$\sqrt{2a}$的被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接相减得到$\sqrt{a}$，因此④错误。
综上，错误的式子是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的乘除运算；二次根式的加减运算
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，易错点是忽略二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性，以及对同类二次根式的合并规则掌握不牢，做题时需要逐一验证每个式子，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的性质与运算规则，解题思路是逐个验证4个式子的正误：首先明确二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性，再结合二次根式的乘除、加减运算法则逐一判断，最后统计错误式子的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个式子的正确性：
1. 验证①：$\sqrt{16a^4}$是求$16a^4$的算术平方根，$\sqrt{16a^4}=\sqrt{(4a^2)^2}=|4a^2|$，由于$a^2$恒为非负数，因此$|4a^2|=4a^2$，①正确。
2. 验证②：根据二次根式乘法法则$\sqrt{A}·\sqrt{B}=\sqrt{AB}$（$A≥0,B≥0$），可得$\sqrt{5a}·\sqrt{10a}=\sqrt{5a·10a}=\sqrt{50a^2}=5\sqrt{2}|a|$。若未明确$a≥0$，不能直接去掉绝对值符号写为$5\sqrt{2}a$，因此②错误。
3. 验证③：要使$a\sqrt{\frac{1}{a}}$有意义，则$\frac{1}{a}＞0$即$a＞0$，此时$a=\sqrt{a^2}$，因此$a\sqrt{\frac{1}{a}}=\sqrt{a^2·\frac{1}{a}}=\sqrt{a}$，③正确。
4. 验证④：只有同类二次根式（被开方数相同的二次根式）才能合并，$\sqrt{3a}$和$\sqrt{2a}$的被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接相减得到$\sqrt{a}$，因此④错误。
综上，错误的式子是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的乘除运算；二次根式的加减运算
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，易错点是忽略二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性，以及对同类二次根式的合并规则掌握不牢，做题时需要逐一验证每个式子，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
12.若$1＜x＜2$，则$|x-3|+\sqrt{(x-1)^2}$的值为（
A.$2x-4$
B.$-2$
C.$4-2x$
D.$2$
D
）A.$2x-4$
B.$-2$
C.$4-2x$
D.$2$
答案
12.D
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式和绝对值的化简规则：①$\sqrt{a^2}=|a|$；②正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。第一步先把原式中的二次根式转化为绝对值形式，得到两个绝对值相加的式子；第二步结合已知的$x$的取值范围$1＜x＜2$，分别判断两个绝对值内代数式的正负性；第三步根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$，因此原式可化为：
$|x-3|+|x-1|$
已知$1＜x＜2$，因此：
$x-3＜2-3=-1＜0$，$x-1＞1-1=0$
根据绝对值的性质：
$|x-3|=-(x-3)=3-x$，$|x-1|=x-1$
代入原式计算：
$3-x + x -1 = 2$
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质，二次根式的化简，整式的加减
【点评】
本题属于基础化简类题型，核心考查绝对值与二次根式的化简规则，解题的关键是先判断绝对值内代数式的正负，再准确去绝对值符号，避免因符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式和绝对值的化简规则：①$\sqrt{a^2}=|a|$；②正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。第一步先把原式中的二次根式转化为绝对值形式，得到两个绝对值相加的式子；第二步结合已知的$x$的取值范围$1＜x＜2$，分别判断两个绝对值内代数式的正负性；第三步根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$，因此原式可化为：
$|x-3|+|x-1|$
已知$1＜x＜2$，因此：
$x-3＜2-3=-1＜0$，$x-1＞1-1=0$
根据绝对值的性质：
$|x-3|=-(x-3)=3-x$，$|x-1|=x-1$
代入原式计算：
$3-x + x -1 = 2$
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质，二次根式的化简，整式的加减
【点评】
本题属于基础化简类题型，核心考查绝对值与二次根式的化简规则，解题的关键是先判断绝对值内代数式的正负，再准确去绝对值符号，避免因符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.8
13.某小区计划建一栋活动板房，该活动板房的地面是一个长方形.经测量，地面长为40 m，宽为20 m.现准备沿对角线引一条通道，则通道的长为（
A.$5\sqrt{5}$ m
B.$10\sqrt{5}$ m
C.$20\sqrt{5}$ m
D.$30\sqrt{5}$ m
C
）A.$5\sqrt{5}$ m
B.$10\sqrt{5}$ m
C.$20\sqrt{5}$ m
D.$30\sqrt{5}$ m
答案
13.C
解析
【分析】
首先明确长方形的四个角都是直角，因此长方形的长、宽和对角线刚好构成直角三角形，对角线为该直角三角形的斜边。我们可以用勾股定理计算斜边长度，也就是通道的长度。解题时先确定两条直角边的长度，再代入勾股公式求斜边长，最后化简二次根式得到最终结果。
【解析】
解：
∵活动板房地面为长方形，
∴地面的长、宽与对角线构成直角三角形，对角线为直角三角形的斜边。
设通道的长为$x\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：
$x^2 = 40^2 + 20^2$
计算得：$x^2 = 1600 + 400 = 2000$
∵长度为正数，
∴$x = \sqrt{2000} = \sqrt{400×5} = 20\sqrt{5}$
即通道长为$20\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；二次根式化简；长方形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用题，解题核心是将实际长度关系转化为直角三角形的边长计算问题，掌握勾股定理和二次根式化简规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
首先明确长方形的四个角都是直角，因此长方形的长、宽和对角线刚好构成直角三角形，对角线为该直角三角形的斜边。我们可以用勾股定理计算斜边长度，也就是通道的长度。解题时先确定两条直角边的长度，再代入勾股公式求斜边长，最后化简二次根式得到最终结果。
【解析】
解：
∵活动板房地面为长方形，
∴地面的长、宽与对角线构成直角三角形，对角线为直角三角形的斜边。
设通道的长为$x\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：
$x^2 = 40^2 + 20^2$
计算得：$x^2 = 1600 + 400 = 2000$
∵长度为正数，
∴$x = \sqrt{2000} = \sqrt{400×5} = 20\sqrt{5}$
即通道长为$20\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；二次根式化简；长方形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用题，解题核心是将实际长度关系转化为直角三角形的边长计算问题，掌握勾股定理和二次根式化简规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
14. 计算：$(\sqrt{7}+\sqrt{6})^{101} · (\sqrt{7}-\sqrt{6})^{101} =$
1
答案
14.1
解析
【分析】
观察待求式，发现两个乘方项的指数相同，且两个底数刚好符合平方差公式的特征，因此可以先逆用积的乘方运算法则，把相同的指数提取出来，先计算两个底数的乘积，再计算乘方即可简化运算，无需直接计算高次幂。
【解析】
解：逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$，可得：
原式$=[(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})]^{101}$
再利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算括号内的部分：
$(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})=(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2=7-6=1$
因此原式$=1^{101}=1$
【答案】
1
【知识点】
积的乘方运算，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，解题核心是观察式子特征，灵活逆用幂的运算性质和乘法公式，将繁琐的高次幂运算转化为简单的基础运算，有效降低计算难度，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
观察待求式，发现两个乘方项的指数相同，且两个底数刚好符合平方差公式的特征，因此可以先逆用积的乘方运算法则，把相同的指数提取出来，先计算两个底数的乘积，再计算乘方即可简化运算，无需直接计算高次幂。
【解析】
解：逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$，可得：
原式$=[(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})]^{101}$
再利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算括号内的部分：
$(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})=(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2=7-6=1$
因此原式$=1^{101}=1$
【答案】
1
【知识点】
积的乘方运算，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，解题核心是观察式子特征，灵活逆用幂的运算性质和乘法公式，将繁琐的高次幂运算转化为简单的基础运算，有效降低计算难度，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
15.已知$x=1+\sqrt{5}$，则代数式$x^2 -2x -6$的值是
-2
。答案
15.-2
解析
【分析】
解题时可先观察代数式的结构，发现二次项与一次项符合完全平方公式的变形特征，我们可以先对代数式进行配方，凑出$(x-1)$的形式，结合已知条件$x=1+\sqrt{5}$可直接得到$x-1=\sqrt{5}$，代入变形后的式子计算即可，这种方法比直接代入原式计算更简便，也能减少计算出错的概率。也可以选择直接将$x$的值代入原式，按照二次根式的运算规则计算得到结果。
【解析】
方法一（配方法）：
先对代数式变形：
$x^2 - 2x - 6 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 6 = (x-1)^2 -7$
已知$x=1+\sqrt{5}$，可得$x-1=\sqrt{5}$，将其代入上式：
$(x-1)^2 -7 = (\sqrt{5})^2 -7 = 5 -7 = -2$
方法二（直接代入法）：
将$x=1+\sqrt{5}$代入$x^2 -2x -6$得：
原式$=(1+\sqrt{5})^2 - 2×(1+\sqrt{5}) -6$
先计算完全平方：$(1+\sqrt{5})^2=1 + 2\sqrt{5} + 5=6+2\sqrt{5}$
再计算乘法项：$2×(1+\sqrt{5})=2+2\sqrt{5}$
代入原式得：$6+2\sqrt{5} - (2+2\sqrt{5}) -6 = 6+2\sqrt{5}-2-2\sqrt{5}-6 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
代数式求值、完全平方公式、二次根式运算
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，解题时优先观察代数式和已知条件的特征，选择配方变形的简便方法可以大幅简化计算过程，降低运算出错的可能，也巩固了完全平方公式和二次根式运算的应用。
【难度系数】
0.8
解题时可先观察代数式的结构，发现二次项与一次项符合完全平方公式的变形特征，我们可以先对代数式进行配方，凑出$(x-1)$的形式，结合已知条件$x=1+\sqrt{5}$可直接得到$x-1=\sqrt{5}$，代入变形后的式子计算即可，这种方法比直接代入原式计算更简便，也能减少计算出错的概率。也可以选择直接将$x$的值代入原式，按照二次根式的运算规则计算得到结果。
【解析】
方法一（配方法）：
先对代数式变形：
$x^2 - 2x - 6 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 6 = (x-1)^2 -7$
已知$x=1+\sqrt{5}$，可得$x-1=\sqrt{5}$，将其代入上式：
$(x-1)^2 -7 = (\sqrt{5})^2 -7 = 5 -7 = -2$
方法二（直接代入法）：
将$x=1+\sqrt{5}$代入$x^2 -2x -6$得：
原式$=(1+\sqrt{5})^2 - 2×(1+\sqrt{5}) -6$
先计算完全平方：$(1+\sqrt{5})^2=1 + 2\sqrt{5} + 5=6+2\sqrt{5}$
再计算乘法项：$2×(1+\sqrt{5})=2+2\sqrt{5}$
代入原式得：$6+2\sqrt{5} - (2+2\sqrt{5}) -6 = 6+2\sqrt{5}-2-2\sqrt{5}-6 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
代数式求值、完全平方公式、二次根式运算
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，解题时优先观察代数式和已知条件的特征，选择配方变形的简便方法可以大幅简化计算过程，降低运算出错的可能，也巩固了完全平方公式和二次根式运算的应用。
【难度系数】
0.8
16.已知$x^2 - 3x + 1 = 0$，则$\sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2} - 2} =$
$\sqrt{5}$
答案
16.$\sqrt{5}$
解析
【分析】
首先判断x的取值：将x=0代入已知方程，左边=1≠0，因此x≠0，可将方程两边同时除以x得到$x + \frac{1}{x} = 3$。再观察所求代数式，根号内的式子可通过完全平方公式变形，利用已知的$x + \frac{1}{x}$的值先求出$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值，再代入计算即可。解题核心是灵活运用完全平方公式的变形，以及明确等式两边同除以一个不为0的数，等式仍然成立。
【解析】
解：
∵$x^2 - 3x + 1 = 0$，
若$x=0$，代入方程左边得$0 - 0 +1=1≠0$，
∴$x≠0$，
将方程两边同时除以$x$，得：
$x - 3 + \frac{1}{x}=0$，整理得$x + \frac{1}{x}=3$，
将等式两边同时平方，得：
$(x + \frac{1}{x})^2 = 3^2$，
即$x^2 + 2 · x · \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=9$，
∴$x^2 + \frac{1}{x^2}=9 - 2=7$，
将$x^2 + \frac{1}{x^2}=7$代入所求代数式：
$\sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2} - 2}=\sqrt{7 - 2}=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、二次根式化简
【点评】
本题的解题突破口是先判断x不为0，对已知方程变形得到$x+\frac{1}{x}=3$，再结合完全平方公式的变形式求出根号内代数式的值，解题时要注意熟练掌握完全平方公式的常见变形，避免直接求解x的值增大计算量。
【难度系数】
0.6
首先判断x的取值：将x=0代入已知方程，左边=1≠0，因此x≠0，可将方程两边同时除以x得到$x + \frac{1}{x} = 3$。再观察所求代数式，根号内的式子可通过完全平方公式变形，利用已知的$x + \frac{1}{x}$的值先求出$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值，再代入计算即可。解题核心是灵活运用完全平方公式的变形，以及明确等式两边同除以一个不为0的数，等式仍然成立。
【解析】
解：
∵$x^2 - 3x + 1 = 0$，
若$x=0$，代入方程左边得$0 - 0 +1=1≠0$，
∴$x≠0$，
将方程两边同时除以$x$，得：
$x - 3 + \frac{1}{x}=0$，整理得$x + \frac{1}{x}=3$，
将等式两边同时平方，得：
$(x + \frac{1}{x})^2 = 3^2$，
即$x^2 + 2 · x · \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=9$，
∴$x^2 + \frac{1}{x^2}=9 - 2=7$，
将$x^2 + \frac{1}{x^2}=7$代入所求代数式：
$\sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2} - 2}=\sqrt{7 - 2}=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、二次根式化简
【点评】
本题的解题突破口是先判断x不为0，对已知方程变形得到$x+\frac{1}{x}=3$，再结合完全平方公式的变形式求出根号内代数式的值，解题时要注意熟练掌握完全平方公式的常见变形，避免直接求解x的值增大计算量。
【难度系数】
0.6
17.若$x,y$都是实数,且$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+3$,求$11x+9y$的平方根.
答案
17.$\pm7$
解析
【分析】
要计算$11x+9y$的平方根，需先求出$x$和$y$的值。观察$y$的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，可列出关于$x$的不等式组，求解得到$x$的取值后，代入表达式算出$y$的值，再将$x$、$y$代入$11x+9y$计算结果，最后求该结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{2-x}$有意义，需满足被开方数非负，因此列不等式组：
$\begin{cases}x-2≥0 \\2-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-2≥0$得$x≥2$，解不等式$2-x≥0$得$x≤2$，因此$x=2$。
将$x=2$代入$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+3$，得：
$y=\sqrt{2-2}+\sqrt{2-2}+3=0+0+3=3$
将$x=2$，$y=3$代入$11x+9y$得：
$11×2 + 9×3=22+27=49$
因为$(\pm7)^2=49$，所以49的平方根为$\pm7$。
【答案】
$\pm7$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 平方根的计算
【点评】
本题是二次根式章节的典型基础题型，核心考查二次根式被开方数的非负性的应用，解题的突破口是根据二次根式有意义的约束条件求出未知数$x$的取值，计算平方根时要注意正数存在两个互为相反数的平方根，避免漏写负根。
【难度系数】
0.7
要计算$11x+9y$的平方根，需先求出$x$和$y$的值。观察$y$的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，可列出关于$x$的不等式组，求解得到$x$的取值后，代入表达式算出$y$的值，再将$x$、$y$代入$11x+9y$计算结果，最后求该结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{2-x}$有意义，需满足被开方数非负，因此列不等式组：
$\begin{cases}x-2≥0 \\2-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-2≥0$得$x≥2$，解不等式$2-x≥0$得$x≤2$，因此$x=2$。
将$x=2$代入$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+3$，得：
$y=\sqrt{2-2}+\sqrt{2-2}+3=0+0+3=3$
将$x=2$，$y=3$代入$11x+9y$得：
$11×2 + 9×3=22+27=49$
因为$(\pm7)^2=49$，所以49的平方根为$\pm7$。
【答案】
$\pm7$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 平方根的计算
【点评】
本题是二次根式章节的典型基础题型，核心考查二次根式被开方数的非负性的应用，解题的突破口是根据二次根式有意义的约束条件求出未知数$x$的取值，计算平方根时要注意正数存在两个互为相反数的平方根，避免漏写负根。
【难度系数】
0.7
18.如图2,已知一个正方体的表面积为12.
(1)求正方体的棱长;
(2)一只蚂蚁欲从正方体表面上的A处爬到$C_1$处,求蚂蚁爬行的最短路线的长度.
(1)求正方体的棱长;
(2)一只蚂蚁欲从正方体表面上的A处爬到$C_1$处,求蚂蚁爬行的最短路线的长度.
答案
18.(1)$\sqrt{2}$ (2)$\sqrt{10}$
解析
【分析】
(1) 求正方体棱长可利用正方体表面积公式推导：正方体6个面是完全相同的正方形，表面积等于6倍单个面的面积，设未知数列方程即可求解。
(2) 求立体表面两点最短路径，需先将包含两点的相邻面展开为同一平面，根据“两点之间线段最短”，两点连线就是最短路线，再用勾股定理计算连线长度即可。
【解析】
(1) 设正方体的棱长为$a$，
由正方体表面积公式得：$6a^2=12$，
整理得$a^2=2$，由于棱长为正数，因此$a=\sqrt{2}$。
(2) 将正方体中包含$A$和$C_1$的两个相邻面（如面$ABB_1A_1$和面$BCC_1B_1$）展开到同一平面，连接$A$、$C_1$，该线段长度就是蚂蚁爬行的最短路线长。
展开后$AC_1$为直角三角形的斜边，两条直角边长度分别为：$AB+BC=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，$CC_1=\sqrt{2}$。
根据勾股定理计算：
$AC_1=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+2}=\sqrt{10}$。
【答案】
(1)$\sqrt{2}$；(2)$\sqrt{10}$
【知识点】
正方体表面积计算；勾股定理；最短路径问题
【点评】
本题第一问是立体图形表面积的基础计算，第二问是立体表面最短路径的典型题型，核心考查“化立体为平面”的转化思想，结合勾股定理即可求解，解题时需注意展开面的选择，确保两点在展开后同一平面内。
【难度系数】
0.7
(1) 求正方体棱长可利用正方体表面积公式推导：正方体6个面是完全相同的正方形，表面积等于6倍单个面的面积，设未知数列方程即可求解。
(2) 求立体表面两点最短路径，需先将包含两点的相邻面展开为同一平面，根据“两点之间线段最短”，两点连线就是最短路线，再用勾股定理计算连线长度即可。
【解析】
(1) 设正方体的棱长为$a$，
由正方体表面积公式得：$6a^2=12$，
整理得$a^2=2$，由于棱长为正数，因此$a=\sqrt{2}$。
(2) 将正方体中包含$A$和$C_1$的两个相邻面（如面$ABB_1A_1$和面$BCC_1B_1$）展开到同一平面，连接$A$、$C_1$，该线段长度就是蚂蚁爬行的最短路线长。
展开后$AC_1$为直角三角形的斜边，两条直角边长度分别为：$AB+BC=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，$CC_1=\sqrt{2}$。
根据勾股定理计算：
$AC_1=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+2}=\sqrt{10}$。
【答案】
(1)$\sqrt{2}$；(2)$\sqrt{10}$
【知识点】
正方体表面积计算；勾股定理；最短路径问题
【点评】
本题第一问是立体图形表面积的基础计算，第二问是立体表面最短路径的典型题型，核心考查“化立体为平面”的转化思想，结合勾股定理即可求解，解题时需注意展开面的选择，确保两点在展开后同一平面内。
【难度系数】
0.7
19.已知一个长方形相邻的两边长分别是$a$，$b$，且$a=\frac{1}{2}\sqrt{8},b=\frac{1}{3}\sqrt{72}$。
(1)求此长方形的周长；
(2)若一个正方形的周长与该长方形的周长相等，求此正方形的面积。
(1)求此长方形的周长；
(2)若一个正方形的周长与该长方形的周长相等，求此正方形的面积。
答案
19.(1)$6\sqrt{2}$ (2)$4.5$
解析
【分析】
解题分为两小问逐步推导：第(1)问求长方形周长，首先需要根据二次根式的化简规则将已知的边长a、b化为最简二次根式，再代入长方形周长公式$C=2(a+b)$计算即可；第(2)问已知正方形周长和长方形周长相等，先利用周长求出正方形的边长，再代入正方形面积公式计算就能得到结果。
【解析】
(1) 先化简两条边长：
$a=\frac{1}{2}\sqrt{8}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$
$b=\frac{1}{3}\sqrt{72}=\frac{1}{3}×6\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
代入长方形周长公式：
$C_{\mathrm{长方形}}=2(a+b)=2×(\sqrt{2}+2\sqrt{2})=2×3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
(2) 由题意得正方形周长$C_{\mathrm{正方形}}=C_{\mathrm{长方形}}=6\sqrt{2}$
正方形边长：$l=\frac{C_{\mathrm{正方形}}}{4}=\frac{6\sqrt{2}}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
正方形面积：$S=l^2=(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2=\frac{9×2}{4}=\frac{18}{4}=4.5$
【答案】
(1)$6\sqrt{2}$；(2)$4.5$
【知识点】
二次根式化简、长方形周长计算、正方形面积计算
【点评】
本题属于二次根式运算与平面图形公式结合的基础题，核心考察二次根式的化简运算能力和常见图形周长、面积公式的应用，解题时注意先将二次根式化为最简形式再运算可减少出错。
【难度系数】
0.8
解题分为两小问逐步推导：第(1)问求长方形周长，首先需要根据二次根式的化简规则将已知的边长a、b化为最简二次根式，再代入长方形周长公式$C=2(a+b)$计算即可；第(2)问已知正方形周长和长方形周长相等，先利用周长求出正方形的边长，再代入正方形面积公式计算就能得到结果。
【解析】
(1) 先化简两条边长：
$a=\frac{1}{2}\sqrt{8}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$
$b=\frac{1}{3}\sqrt{72}=\frac{1}{3}×6\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
代入长方形周长公式：
$C_{\mathrm{长方形}}=2(a+b)=2×(\sqrt{2}+2\sqrt{2})=2×3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
(2) 由题意得正方形周长$C_{\mathrm{正方形}}=C_{\mathrm{长方形}}=6\sqrt{2}$
正方形边长：$l=\frac{C_{\mathrm{正方形}}}{4}=\frac{6\sqrt{2}}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
正方形面积：$S=l^2=(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2=\frac{9×2}{4}=\frac{18}{4}=4.5$
【答案】
(1)$6\sqrt{2}$；(2)$4.5$
【知识点】
二次根式化简、长方形周长计算、正方形面积计算
【点评】
本题属于二次根式运算与平面图形公式结合的基础题，核心考察二次根式的化简运算能力和常见图形周长、面积公式的应用，解题时注意先将二次根式化为最简形式再运算可减少出错。
【难度系数】
0.8
