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1.若$\sqrt{\frac{a}{b}}$是二次根式，则$a$，$b$应满足的条件是（
A.$a$，$b$均为非负数
B.$a≥0$，且$b≠0$
C.$a≥0$，$b＞0$
D.$\frac{a}{b}≥0$，且$b≠0$
D
）A.$a$，$b$均为非负数
B.$a≥0$，且$b≠0$
C.$a≥0$，$b＞0$
D.$\frac{a}{b}≥0$，且$b≠0$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：一是二次根式有意义的条件为被开方数是非负数；二是分式有意义的条件为分母不为0。结合这两个要求先确定$\sqrt{\frac{a}{b}}$成立的整体条件，再逐一比对选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
要使$\sqrt{\frac{a}{b}}$是二次根式，需同时满足两个要求：
1. 二次根式的被开方数非负，即$\frac{a}{b}≥0$；
2. 分式$\frac{a}{b}$有意义，即分母$b≠0$。
对各选项逐一分析：
A选项：当$a＜0$、$b＜0$时，$\frac{a}{b}＞0$，$\sqrt{\frac{a}{b}}$仍是二次根式，不要求a、b均为非负数，A错误；
B选项：当$a＜0$、$b＜0$时，$\frac{a}{b}≥0$，也满足二次根式要求，不需要$a≥0$，B错误；
C选项：同理$a＜0$、$b＜0$时$\frac{a}{b}＞0$，也符合要求，不需要$b＞0$，C错误；
D选项：$\frac{a}{b}≥0$且$b≠0$完全符合上述两个成立条件，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，易错点是容易忽略a、b同时为负时也能满足被开方数非负的情况，解题时要全面考虑被开方数的符号要求和分式的成立条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆两个核心知识点：一是二次根式有意义的条件为被开方数是非负数；二是分式有意义的条件为分母不为0。结合这两个要求先确定$\sqrt{\frac{a}{b}}$成立的整体条件，再逐一比对选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
要使$\sqrt{\frac{a}{b}}$是二次根式，需同时满足两个要求：
1. 二次根式的被开方数非负，即$\frac{a}{b}≥0$；
2. 分式$\frac{a}{b}$有意义，即分母$b≠0$。
对各选项逐一分析：
A选项：当$a＜0$、$b＜0$时，$\frac{a}{b}＞0$，$\sqrt{\frac{a}{b}}$仍是二次根式，不要求a、b均为非负数，A错误；
B选项：当$a＜0$、$b＜0$时，$\frac{a}{b}≥0$，也满足二次根式要求，不需要$a≥0$，B错误；
C选项：同理$a＜0$、$b＜0$时$\frac{a}{b}＞0$，也符合要求，不需要$b＞0$，C错误；
D选项：$\frac{a}{b}≥0$且$b≠0$完全符合上述两个成立条件，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，易错点是容易忽略a、b同时为负时也能满足被开方数非负的情况，解题时要全面考虑被开方数的符号要求和分式的成立条件。
【难度系数】
0.7
2.当$a,b$都为正数时,下列二次根式:$\sqrt{ab}$,$\sqrt{\dfrac{ab}{4}}$,$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$,$\dfrac{1}{\sqrt{ab}}$,$a\sqrt{b}$,能合并的有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
2.C
解析
【分析】
判断二次根式能否合并的核心依据是同类二次根式的定义：将所有二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的即为同类二次根式，可以合并。因此解题步骤为：先逐个化简题目给出的所有二次根式，再对比化简后的被开方数，统计同类二次根式的数量即可得到答案。
【解析】
首先明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，可合并。
已知a、b均为正数，对每个二次根式化简如下：
1. $\sqrt{ab}$：已是最简二次根式，被开方数为$ab$；
2. $\sqrt{\dfrac{ab}{4}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{4}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{ab}$，化简后被开方数为$ab$；
3. $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$，化简后被开方数为$ab$；
4. $\dfrac{1}{\sqrt{ab}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{(\sqrt{ab})^2}=\dfrac{\sqrt{ab}}{ab}$，化简后被开方数为$ab$；
5. $a\sqrt{b}$：已是最简二次根式，被开方数为$b$。
对比可得，前4个二次根式化简后被开方数均为$ab$，属于同类二次根式，可以合并。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式，二次根式化简，分母有理化
【点评】
本题易错点是直接观察原式的被开方数判断是否为同类二次根式，一定要先将所有二次根式化为最简形式，再对比被开方数，同时要注意题目给出的a、b为正数的条件，化简时无需考虑符号问题。
【难度系数】
0.7
判断二次根式能否合并的核心依据是同类二次根式的定义：将所有二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的即为同类二次根式，可以合并。因此解题步骤为：先逐个化简题目给出的所有二次根式，再对比化简后的被开方数，统计同类二次根式的数量即可得到答案。
【解析】
首先明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，可合并。
已知a、b均为正数，对每个二次根式化简如下：
1. $\sqrt{ab}$：已是最简二次根式，被开方数为$ab$；
2. $\sqrt{\dfrac{ab}{4}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{4}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{ab}$，化简后被开方数为$ab$；
3. $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$，化简后被开方数为$ab$；
4. $\dfrac{1}{\sqrt{ab}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{(\sqrt{ab})^2}=\dfrac{\sqrt{ab}}{ab}$，化简后被开方数为$ab$；
5. $a\sqrt{b}$：已是最简二次根式，被开方数为$b$。
对比可得，前4个二次根式化简后被开方数均为$ab$，属于同类二次根式，可以合并。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式，二次根式化简，分母有理化
【点评】
本题易错点是直接观察原式的被开方数判断是否为同类二次根式，一定要先将所有二次根式化为最简形式，再对比被开方数，同时要注意题目给出的a、b为正数的条件，化简时无需考虑符号问题。
【难度系数】
0.7
3.已知$k,m,n$为三个整数，若$\sqrt{135}=k\sqrt{15}$，$\sqrt{450}=15\sqrt{m}$，$\sqrt{180}=6\sqrt{n}$，则下列关于$k,m,n$的大小关系，正确的是（
A.$k＜m=n$
B.$m=n＜k$
C.$m＜n＜k$
D.$m＜k＜n$
D
）A.$k＜m=n$
B.$m=n＜k$
C.$m＜n＜k$
D.$m＜k＜n$
答案
3.D
解析
【分析】
本题需要利用二次根式的化简性质求解k、m、n的值，再比较三者大小。解题思路为：先将每个等式左侧的二次根式化为最简形式，即把被开方数分解出完全平方因数，将完全平方因数开方后移到根号外，再与等式右侧的形式对比，分别求出k、m、n的取值，最后比较三个数的大小即可选出正确选项。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，分别化简三个等式左侧的根式：
1. 化简$\sqrt{135}$：
$135=9×15$，其中$9=3^2$，因此$\sqrt{135}=\sqrt{9×15}=\sqrt{9}×\sqrt{15}=3\sqrt{15}$，对比$\sqrt{135}=k\sqrt{15}$，可得$k=3$；
2. 化简$\sqrt{450}$：
$450=225×2$，其中$225=15^2$，因此$\sqrt{450}=\sqrt{225×2}=\sqrt{225}×\sqrt{2}=15\sqrt{2}$，对比$\sqrt{450}=15\sqrt{m}$，可得$m=2$；
3. 化简$\sqrt{180}$：
$180=36×5$，其中$36=6^2$，因此$\sqrt{180}=\sqrt{36×5}=\sqrt{36}×\sqrt{5}=6\sqrt{5}$，对比$\sqrt{180}=6\sqrt{n}$，可得$n=5$。
比较三个整数的大小：$2＜3＜5$，即$m＜k＜n$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简、整数大小比较
【点评】
本题重点考查二次根式化为最简二次根式的方法，解题关键是准确将被开方数分解出完全平方因数，再结合二次根式的性质化简，属于二次根式的基础应用题型。
【难度系数】
0.75
本题需要利用二次根式的化简性质求解k、m、n的值，再比较三者大小。解题思路为：先将每个等式左侧的二次根式化为最简形式，即把被开方数分解出完全平方因数，将完全平方因数开方后移到根号外，再与等式右侧的形式对比，分别求出k、m、n的取值，最后比较三个数的大小即可选出正确选项。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，分别化简三个等式左侧的根式：
1. 化简$\sqrt{135}$：
$135=9×15$，其中$9=3^2$，因此$\sqrt{135}=\sqrt{9×15}=\sqrt{9}×\sqrt{15}=3\sqrt{15}$，对比$\sqrt{135}=k\sqrt{15}$，可得$k=3$；
2. 化简$\sqrt{450}$：
$450=225×2$，其中$225=15^2$，因此$\sqrt{450}=\sqrt{225×2}=\sqrt{225}×\sqrt{2}=15\sqrt{2}$，对比$\sqrt{450}=15\sqrt{m}$，可得$m=2$；
3. 化简$\sqrt{180}$：
$180=36×5$，其中$36=6^2$，因此$\sqrt{180}=\sqrt{36×5}=\sqrt{36}×\sqrt{5}=6\sqrt{5}$，对比$\sqrt{180}=6\sqrt{n}$，可得$n=5$。
比较三个整数的大小：$2＜3＜5$，即$m＜k＜n$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简、整数大小比较
【点评】
本题重点考查二次根式化为最简二次根式的方法，解题关键是准确将被开方数分解出完全平方因数，再结合二次根式的性质化简，属于二次根式的基础应用题型。
【难度系数】
0.75
4.计算$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{12}} ÷ \sqrt{\frac{54}{12}} · \sqrt{\frac{3}{6}}$的结果为（
A.$\frac{\sqrt{3}}{12}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{6}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
B
）A.$\frac{\sqrt{3}}{12}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{6}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：首先回忆二次根式的乘除运算法则，二次根式的乘除运算可以统一为：被开方数进行对应乘除运算，根号保持不变，同时运算顺序遵循从左到右的同级运算规则。我们可以先将所有运算整合到同一个根号下，先计算根号内的有理数乘除，再对得到的二次根式进行化简，即可得到最终结果。
【解析】
根据二次根式乘除运算法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$、$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b＞0$），将原式整合为同一根号下的运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{\frac{9}{12}÷\frac{54}{12}×\frac{3}{6}}\\&=\sqrt{\frac{9}{12}×\frac{12}{54}×\frac{3}{6}}\\&=\sqrt{\frac{9}{54}×\frac{3}{6}}\\&=\sqrt{\frac{1}{6}×\frac{1}{2}}\\&=\sqrt{\frac{1}{12}}\end{aligned}$
接下来化简二次根式，将被开方数的分母化为完全平方数：
$\sqrt{\frac{1}{12}}=\sqrt{\frac{3}{12×3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{36}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘除运算，二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题的关键是正确运用二次根式的乘除法则，注意同级运算要按从左到右的顺序计算，最终结果要化为最简二次根式，计算时先约分可以减少出错概率。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：首先回忆二次根式的乘除运算法则，二次根式的乘除运算可以统一为：被开方数进行对应乘除运算，根号保持不变，同时运算顺序遵循从左到右的同级运算规则。我们可以先将所有运算整合到同一个根号下，先计算根号内的有理数乘除，再对得到的二次根式进行化简，即可得到最终结果。
【解析】
根据二次根式乘除运算法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$、$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b＞0$），将原式整合为同一根号下的运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{\frac{9}{12}÷\frac{54}{12}×\frac{3}{6}}\\&=\sqrt{\frac{9}{12}×\frac{12}{54}×\frac{3}{6}}\\&=\sqrt{\frac{9}{54}×\frac{3}{6}}\\&=\sqrt{\frac{1}{6}×\frac{1}{2}}\\&=\sqrt{\frac{1}{12}}\end{aligned}$
接下来化简二次根式，将被开方数的分母化为完全平方数：
$\sqrt{\frac{1}{12}}=\sqrt{\frac{3}{12×3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{36}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘除运算，二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题的关键是正确运用二次根式的乘除法则，注意同级运算要按从左到右的顺序计算，最终结果要化为最简二次根式，计算时先约分可以减少出错概率。
【难度系数】
0.7
5.若代数式$\sqrt{a-5} + |b-1| + c^2 + a$在实数范围内有意义，则此代数式的最小值为（
A.0
B.5
C.4
D.−5
B
）A.0
B.5
C.4
D.−5
答案
5.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先得明确代数式有意义的前提：二次根式的被开方数必须是非负数，由此先确定a的取值范围。再结合我们学过的非负数性质：二次根式、绝对值、平方数的结果都是非负数，要让整个代数式的值最小，就要让所有非负项都取到最小值，同时a取允许范围内的最小值，代入计算就能得到代数式的最小值。
【解析】
第一步：先确定代数式有意义的条件
对于二次根式$\sqrt{a-5}$，被开方数需满足$a-5≥0$，解得$a≥5$。
第二步：分析各部分的取值范围
根据非负数的性质，$\sqrt{a-5}≥0$，$|b-1|≥0$，$c^2≥0$。
第三步：求代数式的最小值
要让整个代数式的值最小，需让各非负项取最小值0，同时a取允许的最小值5：
当$a=5$时，$\sqrt{a-5}=\sqrt{5-5}=0$；当$b=1$时，$|b-1|=0$；当$c=0$时，$c^2=0$。
代入代数式得最小值为：$0+0+0+5=5$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件，非负数的性质，代数式最值计算
【点评】
本题是基础常考题，核心是结合二次根式有意义的条件和非负数的性质求最值，解题的关键是先确定a的取值范围，再利用非负性让各部分取最小值求和。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先得明确代数式有意义的前提：二次根式的被开方数必须是非负数，由此先确定a的取值范围。再结合我们学过的非负数性质：二次根式、绝对值、平方数的结果都是非负数，要让整个代数式的值最小，就要让所有非负项都取到最小值，同时a取允许范围内的最小值，代入计算就能得到代数式的最小值。
【解析】
第一步：先确定代数式有意义的条件
对于二次根式$\sqrt{a-5}$，被开方数需满足$a-5≥0$，解得$a≥5$。
第二步：分析各部分的取值范围
根据非负数的性质，$\sqrt{a-5}≥0$，$|b-1|≥0$，$c^2≥0$。
第三步：求代数式的最小值
要让整个代数式的值最小，需让各非负项取最小值0，同时a取允许的最小值5：
当$a=5$时，$\sqrt{a-5}=\sqrt{5-5}=0$；当$b=1$时，$|b-1|=0$；当$c=0$时，$c^2=0$。
代入代数式得最小值为：$0+0+0+5=5$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件，非负数的性质，代数式最值计算
【点评】
本题是基础常考题，核心是结合二次根式有意义的条件和非负数的性质求最值，解题的关键是先确定a的取值范围，再利用非负性让各部分取最小值求和。
【难度系数】
0.7
6. 计算$2\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}$的结果是
$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
。答案
6.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
本题是二次根式的减法运算，解题思路分为三步：第一步先对分母含根号的项$\frac{1}{\sqrt{2}}$进行分母有理化，去掉分母中的根号；第二步将$2\sqrt{2}$转化为和有理化后的根式同分母的形式，使两项成为同类二次根式；第三步合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
1. 分母有理化：将$\frac{1}{\sqrt{2}}$的分子、分母同时乘$\sqrt{2}$，得$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
2. 统一形式：将$2\sqrt{2}$改写为分母为2的二次根式，即$2\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}×2}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}$；
3. 合并同类二次根式：$\frac{4\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分母有理化、二次根式加减运算、同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查分母有理化的操作方法和同类二次根式的合并规则，熟练掌握基础运算技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是二次根式的减法运算，解题思路分为三步：第一步先对分母含根号的项$\frac{1}{\sqrt{2}}$进行分母有理化，去掉分母中的根号；第二步将$2\sqrt{2}$转化为和有理化后的根式同分母的形式，使两项成为同类二次根式；第三步合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
1. 分母有理化：将$\frac{1}{\sqrt{2}}$的分子、分母同时乘$\sqrt{2}$，得$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
2. 统一形式：将$2\sqrt{2}$改写为分母为2的二次根式，即$2\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}×2}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}$；
3. 合并同类二次根式：$\frac{4\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分母有理化、二次根式加减运算、同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查分母有理化的操作方法和同类二次根式的合并规则，熟练掌握基础运算技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7.已知$x=\frac{5}{2}$，计算$\sqrt{(x-2)^2} + |x-4|$的结果是
2
.答案
7.2
解析
【分析】
解题前先回忆两个核心性质：一是二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，二是绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。解题思路分三步：第一步先将二次根式化简为绝对值形式，第二步代入$x=\frac{5}{2}$，分别判断两个绝对值内代数式的正负性，第三步根据绝对值规则去掉绝对值符号后计算结果即可。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|$，因此原式可变形为：
$\mathrm{原式}=|x-2|+|x-4|$
将$x=\frac{5}{2}$代入：
首先计算$x-2=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}＞0$，因此$|x-2|=x-2=\frac{1}{2}$；
再计算$x-4=\frac{5}{2}-4=-\frac{3}{2}＜0$，因此$|x-4|=-(x-4)=4-x=4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$；
将两个结果相加：$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式与绝对值的化简规则，解题的关键是先判断绝对值内式子的正负，再正确去绝对值符号计算，避免直接忽略符号导致计算错误。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆两个核心性质：一是二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，二是绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。解题思路分三步：第一步先将二次根式化简为绝对值形式，第二步代入$x=\frac{5}{2}$，分别判断两个绝对值内代数式的正负性，第三步根据绝对值规则去掉绝对值符号后计算结果即可。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|$，因此原式可变形为：
$\mathrm{原式}=|x-2|+|x-4|$
将$x=\frac{5}{2}$代入：
首先计算$x-2=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}＞0$，因此$|x-2|=x-2=\frac{1}{2}$；
再计算$x-4=\frac{5}{2}-4=-\frac{3}{2}＜0$，因此$|x-4|=-(x-4)=4-x=4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$；
将两个结果相加：$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式与绝对值的化简规则，解题的关键是先判断绝对值内式子的正负，再正确去绝对值符号计算，避免直接忽略符号导致计算错误。
【难度系数】
0.8
8.已知 $ a - b = 2\sqrt{3} - 1 $，$ ab = \sqrt{3} $，则 $ (a+1)(b-1) $ 的值为
$-\sqrt{3}$
。答案
8.$-\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，先利用多项式乘多项式的法则将$(a+1)(b-1)$展开，再对展开后的式子变形，整理成含有已知的$a-b$和$ab$的形式，最后采用整体代入的方法计算即可，不需要单独求出a、b的具体值，能简化计算过程。
【解析】
首先展开所求代数式：
$\begin{aligned}(a+1)(b-1)&=ab - a + b - 1\\&=ab - (a - b) - 1\end{aligned}$
将已知$a - b = 2\sqrt{3} - 1$，$ab = \sqrt{3}$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3} - (2\sqrt{3} - 1) - 1\\&=\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 1 - 1\\&=-\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\sqrt{3}$
【知识点】
多项式乘多项式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题的解题核心是将所求代数式合理变形，转化为含已知条件的形式，利用整体代入法计算，可避免求解a、b的复杂运算，解题时需注意去括号时的符号变化，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察所求代数式的结构，先利用多项式乘多项式的法则将$(a+1)(b-1)$展开，再对展开后的式子变形，整理成含有已知的$a-b$和$ab$的形式，最后采用整体代入的方法计算即可，不需要单独求出a、b的具体值，能简化计算过程。
【解析】
首先展开所求代数式：
$\begin{aligned}(a+1)(b-1)&=ab - a + b - 1\\&=ab - (a - b) - 1\end{aligned}$
将已知$a - b = 2\sqrt{3} - 1$，$ab = \sqrt{3}$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3} - (2\sqrt{3} - 1) - 1\\&=\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 1 - 1\\&=-\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\sqrt{3}$
【知识点】
多项式乘多项式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题的解题核心是将所求代数式合理变形，转化为含已知条件的形式，利用整体代入法计算，可避免求解a、b的复杂运算，解题时需注意去括号时的符号变化，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.7
9.如果最简二次根式$\sqrt{2a-1}$与$\sqrt{5-a}$能合并，那么$\sqrt{a}=$
$\sqrt{2}$
.答案
9.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心要点：一是能合并的二次根式属于同类二次根式；二是题目明确给出两个根式都是最简二次根式，无需额外化简，直接利用同类二次根式的核心性质——被开方数相同，列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，再代入计算$\sqrt{a}$即可。
【解析】
解：
∵最简二次根式$\sqrt{2a-1}$与$\sqrt{5-a}$能合并
∴二者是同类二次根式，被开方数相等，可得方程：
$2a - 1 = 5 - a$
移项得：$2a + a = 5 + 1$
合并同类项得：$3a = 6$
系数化为1得：$a = 2$
将$a=2$代入$\sqrt{a}$，得$\sqrt{a}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
同类二次根式、解一元一次方程、二次根式的概念
【点评】
本题属于基础题型，重点考查同类二次根式的性质，解题关键是理解“最简二次根式能合并”等价于被开方数相等，结合基础解方程知识即可求出结果，主要考查对基础概念的掌握和简单运算能力。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确两个核心要点：一是能合并的二次根式属于同类二次根式；二是题目明确给出两个根式都是最简二次根式，无需额外化简，直接利用同类二次根式的核心性质——被开方数相同，列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，再代入计算$\sqrt{a}$即可。
【解析】
解：
∵最简二次根式$\sqrt{2a-1}$与$\sqrt{5-a}$能合并
∴二者是同类二次根式，被开方数相等，可得方程：
$2a - 1 = 5 - a$
移项得：$2a + a = 5 + 1$
合并同类项得：$3a = 6$
系数化为1得：$a = 2$
将$a=2$代入$\sqrt{a}$，得$\sqrt{a}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
同类二次根式、解一元一次方程、二次根式的概念
【点评】
本题属于基础题型，重点考查同类二次根式的性质，解题关键是理解“最简二次根式能合并”等价于被开方数相等，结合基础解方程知识即可求出结果，主要考查对基础概念的掌握和简单运算能力。
【难度系数】
0.8
10.计算：
(1)$\sqrt{24} - \sqrt{18} × \sqrt{\frac{1}{3}}$；
(2)$(π + 1)^0 - \sqrt{12} + |-\sqrt{3}|$；
(3)$8 + (-1)^3 - 2 × \frac{2}{\sqrt{2}}$；
(4)$(1 + \sqrt{3})^2 - \sqrt{24} ÷ \sqrt{8}$。
(1)$\sqrt{24} - \sqrt{18} × \sqrt{\frac{1}{3}}$；
(2)$(π + 1)^0 - \sqrt{12} + |-\sqrt{3}|$；
(3)$8 + (-1)^3 - 2 × \frac{2}{\sqrt{2}}$；
(4)$(1 + \sqrt{3})^2 - \sqrt{24} ÷ \sqrt{8}$。
答案
10.(1)$\sqrt{6}$ (2)$1-\sqrt{3}$ (3)$7-2\sqrt{2}$ (4)$4+\sqrt{3}$
解析
【分析】
这4道题均属于二次根式的混合运算题型，解题时遵循实数运算的优先级规则：①先计算乘方、零指数幂、绝对值运算；②再计算二次根式的乘除运算；③最后将所有二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式得到最终结果。解题过程中要注意对应运算规则的正确使用，避免因公式记错、化简失误丢分。
【解析】
(1) 先计算二次根式乘法，再化简合并：
原式$=2\sqrt{6} - \sqrt{18×\frac{1}{3}} = 2\sqrt{6} - \sqrt{6} = \sqrt{6}$
(2) 先计算零指数幂、二次根式化简、绝对值，再合并：
原式$=1 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 1 - \sqrt{3}$
(3) 先计算乘方、二次根式乘法，再合并：
原式$=8 - 1 - 2×\frac{2\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = 7 - 2\sqrt{2}$
(4) 先利用完全平方公式计算乘方、二次根式除法，再合并：
原式$=1^2 + 2×1×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 - \sqrt{24÷8} = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} = 4 + \sqrt{3}$
【答案】
(1)$\sqrt{6}$；(2)$1-\sqrt{3}$；(3)$7-2\sqrt{2}$；(4)$4+\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式混合运算，零指数幂运算，完全平方公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查运算顺序、二次根式化简及特殊运算性质的应用，计算时先化简再合并同类二次根式，可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
这4道题均属于二次根式的混合运算题型，解题时遵循实数运算的优先级规则：①先计算乘方、零指数幂、绝对值运算；②再计算二次根式的乘除运算；③最后将所有二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式得到最终结果。解题过程中要注意对应运算规则的正确使用，避免因公式记错、化简失误丢分。
【解析】
(1) 先计算二次根式乘法，再化简合并：
原式$=2\sqrt{6} - \sqrt{18×\frac{1}{3}} = 2\sqrt{6} - \sqrt{6} = \sqrt{6}$
(2) 先计算零指数幂、二次根式化简、绝对值，再合并：
原式$=1 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 1 - \sqrt{3}$
(3) 先计算乘方、二次根式乘法，再合并：
原式$=8 - 1 - 2×\frac{2\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = 7 - 2\sqrt{2}$
(4) 先利用完全平方公式计算乘方、二次根式除法，再合并：
原式$=1^2 + 2×1×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 - \sqrt{24÷8} = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} = 4 + \sqrt{3}$
【答案】
(1)$\sqrt{6}$；(2)$1-\sqrt{3}$；(3)$7-2\sqrt{2}$；(4)$4+\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式混合运算，零指数幂运算，完全平方公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查运算顺序、二次根式化简及特殊运算性质的应用，计算时先化简再合并同类二次根式，可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
