1 如图，$AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，垂足分别为$C$，$D$，在下列线段长度的比较中，一定成立的是 （）

A.$CD＞AD$
B.$AC＜BC$
C.$BC＞BD$
D.$CD＜BD$
（第1题）
（第3题）

1. C

【分析】
本题考查垂线段最短性质的应用，解题思路如下：首先明确题目给出的垂直关系，再根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的性质，逐一判断每个选项的线段大小关系是否一定成立，排除无法确定大小的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，逐一分析选项：
A. CD和AD的长度由∠A的大小决定，没有固定的大小关系，不一定成立；
B. AC和BC的长度由△ABC的形状决定，没有固定的大小关系，不一定成立；
C. 已知CD⊥AB，BD是点B到直线CD的垂线段，BC是点B与直线CD上点C连接的斜线段，根据垂线段最短可得BD＜BC，即BC＞BD，一定成立；
D. CD和BD的长度由∠B的大小决定，没有固定的大小关系，不一定成立。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短
【点评】
本题是垂线段性质的基础应用题型，解题关键是找准每个点对应的直线及对应的垂线段、斜线段，不要主观臆断无确定关系的线段长度大小。
【难度系数】
0.8

2 如图，$AD ⊥ BD$，$BC ⊥ CD$，垂足分别是$D$，$C$，$AB=5$，$BC=3$，则$BD$长的取值范围是 （）



A.$BD＞3$
B.$BD＜5$
C.$BD＜3$或$BD＞5$
D.$3＜BD＜5$
3 如图，从书店到公路最近的是号路线，理由是.
4 如图，$AC ⊥ l_1$，$AB ⊥ l_2$，垂足分别为$A$，$B$，则点$A$到直线$l_2$的距离是线段的长度.

2. D 【解析】因为$BD⊥AD$,所以由“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”,可得$BD＜AB$,即$BD＜5$.因为$BC⊥CD$,所以由“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”,可得$BD＞BC$,即$BD＞3$.综上所述,$3＜BD＜5$.
3. ① 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
4. AB

第2题
【分析】
要确定BD的取值范围，需两次运用垂线段最短的性质。第一步，在垂直关系AD⊥BD中，BD是点B到直线AD的垂线段，AB是连接点B和直线AD上点A的斜线段，因此BD长度小于AB；第二步，在垂直关系BC⊥CD中，BC是点B到直线CD的垂线段，BD是连接点B和直线CD上点D的斜线段，因此BD长度大于BC，综合两个范围即可得到最终取值区间。
【解析】
∵AD⊥BD，根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，可得BD ＜ AB，
又
∵AB=5，
∴BD ＜ 5；
∵BC⊥CD，同理可得BC ＜ BD，
又
∵BC=3，
∴BD ＞ 3；
综上，3 ＜ BD ＜ 5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
垂线段最短
【点评】
本题解题的核心是找准不同垂直关系中垂线段和斜线段的对应关系，分别推导BD的上下限，再合并得到取值范围。
【难度系数】
0.8
---
第3题
【分析】
本题是垂线段最短的实际应用，将公路抽象为一条直线，书店抽象为直线外一点，点到直线的所有连线中，垂线段长度最短，观察路线中哪条是垂线段即可得出最近路线，再对应写出原理即可。
【解析】
把公路看作一条直线，书店是直线外的一点，根据垂线段最短的性质，直线外一点到直线的所有连线中，垂线段的长度最短。观察几条路线，①号路线是书店到公路的垂线段，因此最近，对应的理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
【答案】
①；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【知识点】
垂线段最短的应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是将生活场景转化为几何中的点到直线的距离模型，再结合垂线段的性质求解。
【难度系数】
0.9
---
第4题
【分析】
根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。本题需要找的是点A到直线l₂的距离，因此只需找到过点A且垂直于l₂的线段即可。
【解析】
已知AB⊥l₂，垂足为B，说明AB是点A到直线l₂的垂线段，根据点到直线的距离的定义，点A到直线l₂的距离就是线段AB的长度。
【答案】
AB
【知识点】
点到直线的距离
【点评】
本题考查点到直线距离的定义，解题时要注意区分垂线段和距离的关系，距离是垂线段的长度，是一个数值，此处问的是哪条线段的长度，因此填垂线段的名称即可。
【难度系数】
0.85

5 如图，AC⊥BC，垂足为C，且BC＝5，AC＝12，AB＝13，则点A到BC的距离为，点B与点A之间的距离为。
6 如图，CD⊥AB，垂足是D，AC＝8，BC＝6，CD＝4，E是线段AB上的一个动点（包括端点），连接CE。若线段CE的长为整数值，则点E可能在的位置有处。
7 如图，在公路MN的两侧各有一所学校A，B，一辆拖拉机沿着MN（从M到N）方向行驶。
（1）请在公路MN上作一点C，使得拖拉机行驶到该点时在学校A听到的拖拉机噪声最大；在公路MN上作一点D，使得拖拉机行驶到该点时在学校B听到的拖拉机噪声最大。你的依据是。
（2）在公路MN上的段，随着拖拉机的行驶，在学校A听到的拖拉机噪声越来越小，而在学校B听到的拖拉机噪声越来越大。

5. 12 13
6. 7
7. (1) 如图所示,点C,D即为所求 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
(2) CD

【分析】
1. 第5题：先明确两个核心概念：①点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度；②两点间的距离是连接两点的线段的长度。结合题干AC⊥BC的垂直条件，即可对应找到符合要求的线段长度。
2. 第6题：首先根据垂线段最短确定CE的最小值，再结合E在线段AB上的限制确定CE的最大值，列出所有可能的整数值后，逐个分析每个整数值对应的E点位置数量，最后求和即可得到结果。
3. 第7题：(1) 噪声大小和拖拉机到学校的距离直接相关，距离越近噪声越大，根据垂线段最短的性质，过学校作公路的垂线，垂足就是距离最近的点，对应噪声最大；(2) 噪声变化对应距离变化：A校噪声变小说明拖拉机离A越来越远，B校噪声变大说明拖拉机离B越来越近，结合从M到N的行驶方向，即可找到对应路段。
【解析】
第5题
已知AC⊥BC，因此点A到BC的垂线段为AC，长度为12，即点A到BC的距离为12；
点B与点A之间的距离是线段AB的长度，题干给出AB=13，因此两点距离为13。
第6题
根据垂线段最短，CE的最小值为垂线段CD的长度4；E是线段AB上的动点（包含端点），当E与A重合时CE最长，长度为8。
CE的整数值可能为4、5、6、7、8：
CE=4：仅垂足D处1个位置；
CE=5：在D点靠近A侧、靠近B侧各1个位置，共2个；
CE=6：1个是端点B，1个在D点靠近A侧，共2个；
CE=7：仅在D点靠近A侧有1个位置；
CE=8：仅端点A处1个位置；
总位置数为1+2+2+1+1=7。
第7题
(1) 分别过点A作MN的垂线，垂足为C；过点B作MN的垂线，垂足为D。根据垂线段最短的性质，C是MN上到A距离最近的点，D是MN上到B距离最近的点，因此这两个点对应的噪声最大。
(2) 拖拉机从M向N行驶：在C点左侧时，离A越来越近，A处噪声逐渐变大；驶过C点后到D点前，离A越来越远（A处噪声逐渐变小），同时离B越来越近（B处噪声逐渐变大）；驶过D点后，离B越来越远，B处噪声逐渐变小。因此符合要求的路段为CD段。
【答案】
5. 12 13
6. 7
7. (1) 如图所示,点C,D即为所求 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
(2) CD
【知识点】
垂线段最短；点到直线的距离；两点间的距离
【点评】
本组题目围绕垂线段性质、距离相关基础概念展开，结合生活场景、动点问题设计题型，解题核心是准确理解概念含义，结合图形分析运动过程中距离的变化规律，能有效锻炼几何概念的实际应用能力。
【难度系数】
0.7