7 将一副直角三角尺$ABC$，$ADE$按如图所示的方式放置，其中点$B$，$E$重合，$∠ BAC = 45°$，$∠ BAD = 30°$.将三角尺$ADE$从图中位置开始绕点$A$逆时针旋转一周，当$AD ⊥ AC$时，$∠ BAE$的度数为 （）

A.$75°$
B.$45°$
C.$45°$或$135°$
D.$75°$或$105°$

7.D

【分析】本题需结合旋转的特点分析，首先△ABC固定不动，△ADE绕点A逆时针旋转，三角尺的内角∠DAE=30°始终不变。AD垂直AC存在两种位置情况：AD在AC上方垂直、AD在AC下方垂直，解题时需分情况计算，避免漏解。先根据垂直定义得到∠DAC=90°，再结合固定的∠BAC=45°算出∠BAD的度数，最后结合∠DAE=30°通过角的和差求出∠BAE即可。
【解析】
由题意得，△ABC固定不动，∠BAC=45°，三角尺ADE的内角∠DAE=30°保持不变，AD⊥AC时分两种情况：
① 当AD在AC的上方与AC垂直时：
根据垂直的定义，∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠DAC - ∠BAC=90°-45°=45°，
∴∠BAE=∠BAD + ∠DAE=45°+30°=75°；
② 当AD在AC的下方与AC垂直时：
根据垂直的定义，∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC + ∠DAC=45°+90°=135°，
∴∠BAE=∠BAD - ∠DAE=135°-30°=105°；
综上，∠BAE的度数为75°或105°。
【答案】D
【知识点】垂直的定义；角的和差计算；旋转的性质
【点评】本题属于旋转背景下的角度计算问题，易错点是容易忽略AD垂直AC的第二种位置，导致漏解。解题时要结合旋转的特点，全面考虑所有符合条件的位置，再利用角的和差关系准确计算。
【难度系数】0.6

8 如图，$CA ⊥ BE$于点$A$，$AD ⊥ BF$于点$D$，则下列说法正确的是 （）

A.$∠ α$的余角只有$∠ B$
B.$∠ DAC$是$∠ α$的补角
C.$∠ ACF$是$∠ α$的余角
D.$∠ α$与$∠ ACF$互补

8.D 【解析】题图中$∠α$的余角有$∠B,∠DAC$.故A,B错误.易知$∠α=∠ACB$,所以$∠ACF$是$∠α$的补角.故C错误,D正确.

【分析】
解题时先明确余角、补角的定义：两个角的和为90°则两角互余，两个角的和为180°则两角互补。结合题干给出的垂直条件，先找出与∠α和为90°的角，判断A、B选项的正误；再利用同角的余角相等推导∠α与∠ACB的等量关系，结合邻补角的性质判断C、D选项的正误即可。
【解析】
∵$CA⊥BE$，
∴$∠ BAC=90°$，即$∠ α + ∠ DAC=90°$；
∵$AD⊥BF$，
∴$∠ ADB=90°$，即$∠ α + ∠ B=90°$；
由此可知$∠ α$的余角有$∠ B$和$∠ DAC$，故A选项错误；$∠ DAC$与$∠ α$互余，并非互补，故B选项错误。
又
∵在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ACB + ∠ DAC=90°$，结合$∠ α + ∠ DAC=90°$，根据同角的余角相等可得$∠ α=∠ ACB$；
∵$∠ ACB + ∠ ACF=180°$（邻补角的和为$180°$），将$∠ ACB$替换为$∠ α$可得$∠ α + ∠ ACF=180°$，即$∠ α$与$∠ ACF$互补，故C选项错误，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
余角与补角，垂直的性质，同角的余角相等
【点评】
本题核心是余角、补角的判定，解题关键是结合垂直的性质梳理角之间的数量关系，通过同角的余角相等完成角的等量代换即可得出结论。
【难度系数】
0.7

9（易错题）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD.当∠AOC=30°时，∠BOD的度数为.

9. $60°或120°$
易错分析：本题的射线OC,OD需要分“在直线AB同侧”或“在直线AB异侧”两种情况讨论,易因考虑不全面导致漏解.

【分析】
本题是无图几何题，射线OC、OD的位置未明确，因此需要分类讨论。解题思路如下：1. 首先根据垂直的定义，可得∠COD=90°；2. 分两种情况讨论：①射线OC、OD在直线AB的同侧，利用平角为180°计算∠BOD；②射线OC、OD在直线AB的异侧，先求出∠AOD的度数，再结合平角性质计算∠BOD。
【解析】
解：分两种情况讨论：
情况1：射线OC、OD在直线AB的同侧
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD=90°
又
∵ ∠AOB是平角，即∠AOB=180°，∠AOC=30°
∴ ∠BOD = 180° - ∠AOC - ∠COD = 180° - 30° - 90° = 60°
情况2：射线OC、OD在直线AB的异侧
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD=90°
∵ ∠AOC=30°，
∴ ∠AOD = ∠COD - ∠AOC = 90° - 30° = 60°
又
∵ ∠AOB=180°
∴ ∠BOD = 180° - ∠AOD = 180° - 60° = 120°
综上，∠BOD的度数为60°或120°。
【答案】
$60°或120°$
【知识点】
垂直的定义，平角的性质，分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是明确无图几何题中射线位置不唯一时要分类讨论，避免因考虑不周全出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6

10 已知一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的 3 倍小$20°$，则这两个角的度数分别为。

10. $50°,130°或10°,10°$

【分析】
首先根据“一个角的两边分别垂直于另一个角的两边”可得出这两个角的关系为相等或互补，结合“其中一个角比另一个角的3倍小20°”的数量关系，我们可以设未知数，分两种情况列一元一次方程求解，最后验证解的合理性即可。
【解析】
如果两个角的两边分别互相垂直，那么这两个角相等或互补。
设其中一个角为$x°$，则另一个角为$(3x - 20)°$，分两种情况讨论：
1. 当两个角相等时：
$x = 3x - 20$
移项得：$3x - x = 20$
合并同类项得：$2x = 20$
解得：$x = 10$
此时另一个角为$3×10 - 20 = 10°$，符合题意。
2. 当两个角互补时：
$x + (3x - 20) = 180$
去括号得：$x + 3x - 20 = 180$
移项合并得：$4x = 200$
解得：$x = 50$
此时另一个角为$3×50 - 20 = 130°$，符合题意。
【答案】
$50°,130°$或$10°,10°$
【知识点】
1. 垂直的性质
2. 分类讨论思想
3. 一元一次方程应用
【点评】
本题易错点是容易遗漏两个角相等的情况，仅考虑互补的关系导致漏解，解题时需牢记两边分别垂直的两个角存在相等、互补两种可能性，全面分类讨论。
【难度系数】
0.6

11 如图①②所示的网格图均由相同的小正方形组成，网格线的交点称为格点.
（1）在图①的网格图中，A，B，C均为格点，过点C画AB的垂线；
（2）在图②的网格图中，A，B均为格点，画一个以AB为边的正方形ABCD.

11.（1）如图①,直线AC即为所求 （2）如图②,正方形ABCD即为所求

【分析】
（1）要过点C画AB的垂线，我们可以借助网格的直角特征来判断：如果两条线段的夹角为90°，就互相垂直。观察图①的格点，连接AC后，能直观看到AC和AB的夹角是直角，因此直线AC就是我们要画的AB的垂线。
（2）要画以AB为边的正方形，需要满足：四条边长度相等，相邻的边互相垂直。我们先观察AB在网格中的走向，再分别过A、B点画和AB垂直、且长度和AB一样的线段，找到另外两个格点D、C，最后把四个点顺次连起来，就得到正方形ABCD了。
【解析】
（1）在图①中，找到格点A、C，用直尺连接A、C并延长成直线，观察可得直线AC与AB的夹角为90°，且经过点C，符合题目要求。
（2）在图②中，首先过点B画与AB垂直的线段BC，数格点保证BC长度和AB相等，找到格点C；再过点A画与AB垂直的线段AD，数格点保证AD长度和AB相等，找到格点D；最后连接CD，此时四边形ABCD的四条边长度相等，相邻边都垂直，是正方形，符合题目要求。
【答案】
11.（1）如图①,直线AC即为所求 （2）如图②,正方形ABCD即为所求
【知识点】
垂线的画法；正方形的性质；网格作图
【点评】
本题属于网格基础作图题，重点考查对垂直、正方形特征的理解和运用，需要学生结合网格特点判断线段的位置和长度关系，有助于提升动手操作和空间观察能力。
【难度系数】
0.7

12 如图,直线AB,CD相交于点O,CD⊥OF,OE平分∠BOD.
(1) 若∠AOC=72°,则∠EOF 的度数为 ;
(2) 若∠DOE 比∠BOF 大24°,求∠AOF 的度数;
(3) 在(2)的基础上,过点 O 作OG⊥OE,则∠FOG 的度数为 .

12.（1）$54°$ 【解析】因为$CD⊥OF$,所以$∠DOF=90°$.因为$∠BOD=∠AOC,∠AOC=72°$,所以$∠BOD=72°$.因为OE平分$∠BOD$,所以$∠DOE=\frac{1}{2}∠BOD=36°$. 所以$∠EOF=∠DOF-∠DOE=90°-36°=54°$.
（2）设$∠BOF=x$,则$∠DOE=x+24°$.因为OE平分$∠BOD$,所以$∠BOD=2∠DOE=2x+48°$.因为$CD⊥OF$,所以$∠DOF=∠BOD+∠BOF=90°$.所以$2x+48°+x=90°$,解得$x=14°$,即$∠BOF=14°$.因为$∠AOB=180°$,所以$∠AOF=∠AOB-∠BOF=180°-14°=166°$
（3）$142°或38°$

【分析】
本题是相交线与垂直结合的角度计算问题，解题思路如下：
（1）先利用对顶角相等得到与已知∠AOC相等的∠BOD的度数，再根据角平分线的定义求出∠DOE的度数，结合CD⊥OF得到∠DOF=90°，用∠DOF减去∠DOE即可求出∠EOF。
（2）已知两个角的差的关系，采用设未知数列方程的方法求解：设∠BOF为x，用含x的式子表示∠DOE，再由角平分线定义表示出∠BOD，根据∠BOD与∠BOF的和等于垂直得到的90°列方程，解出x后利用平角180°求出∠AOF。
（3）过点O作OG⊥OE时，OG有两种不同的位置，分别结合已知角度计算∠FOG的度数，注意分类讨论不要漏解。
【解析】
（1）
∵ $CD⊥OF$，
∴ $∠DOF=90°$。
∵ 直线AB、CD相交于点O，对顶角相等，
∴ $∠BOD=∠AOC=72°$。
∵ OE平分$∠BOD$，
∴ $∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×72°=36°$。
∴ $∠ EOF=∠ DOF-∠ DOE=90°-36°=54°$。
（2）设$∠ BOF=x$，则$∠ DOE=x+24°$。
∵ OE平分$∠ BOD$，
∴ $∠ BOD=2∠ DOE=2(x+24°)=2x+48°$。
∵ $CD⊥OF$，
∴ $∠ DOF=∠ BOD+∠ BOF=90°$，
代入得$2x+48°+x=90°$，解得$x=14°$，即$∠ BOF=14°$。
∵ $∠ AOB$是平角，$∠ AOB=180°$，
∴ $∠ AOF=∠ AOB-∠ BOF=180°-14°=166°$。
（3）由（2）可知$∠ BOE=∠ DOE=14°+24°=38°$，$∠ EOF=∠ BOE+∠ BOF=38°+14°=52°$，分两种情况：
① 当OG在∠AOD区域时，
∵ $OG⊥OE$，
∴ $∠ EOG=90°$，
$∠ DOG=∠ EOG-∠ DOE=90°-38°=52°$，
∴ $∠ FOG=∠ DOF+∠ DOG=90°+52°=142°$；
② 当OG在∠BOC区域时，
∵ $OG⊥OE$，
∴ $∠ EOG=90°$，
∴ $∠ FOG=∠ EOG-∠ EOF=90°-52°=38°$。
综上，$∠ FOG$的度数为$142°$或$38°$。
【答案】
（1）$\boxed{54°}$；（2）$\boxed{166°}$；（3）$\boxed{142°}$或$\boxed{38°}$
【知识点】
对顶角相等，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题是相交线角度计算的典型习题，综合考查了相交线相关的几何性质，第二问用方程思想求解角度更便捷，第三问需要考虑垂线的两种位置，渗透了分类讨论的思想，能有效考查学生考虑问题的全面性。
【难度系数】
0.6