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8 [2024 沭阳期末]如图,在三角形 $ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$AB=5$,$P$ 为直线 $AB$ 上一动点,连接 $PC$,则线段 $PC$ 长的最小值是 (
A.3
B.2.5
C.2.4
D.2
C
)A.3
B.2.5
C.2.4
D.2
答案
8. C
解析
【分析】
要找线段PC的最小值，首先根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，可知当PC垂直于AB时，PC的长度最小。接下来只需要求出此时PC的长度即可，我们可以利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等式求解，这种等面积法是计算高线长度的常用方法。
【解析】
根据垂线段最短的性质可知：当PC⊥AB时，PC的长度最小。
已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，
先计算△ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
又因为△ABC的面积也可以表示为以AB为底，PC为高的形式，即$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × PC$，
将面积和AB的长度代入得：$\frac{1}{2} × 5 × PC = 6$，
解得：$PC = \frac{12}{5} = 2.4$。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短；三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是先确定PC取最小值的位置，再借助等面积法计算高线长度，是垂线段性质和三角形面积公式的综合应用，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
要找线段PC的最小值，首先根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，可知当PC垂直于AB时，PC的长度最小。接下来只需要求出此时PC的长度即可，我们可以利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等式求解，这种等面积法是计算高线长度的常用方法。
【解析】
根据垂线段最短的性质可知：当PC⊥AB时，PC的长度最小。
已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，
先计算△ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
又因为△ABC的面积也可以表示为以AB为底，PC为高的形式，即$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × PC$，
将面积和AB的长度代入得：$\frac{1}{2} × 5 × PC = 6$，
解得：$PC = \frac{12}{5} = 2.4$。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短；三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是先确定PC取最小值的位置，再借助等面积法计算高线长度，是垂线段性质和三角形面积公式的综合应用，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
9 如图，$AB ⊥ AC$，$AD ⊥ BC$，垂足分别为A，D，则其长度能表示点到直线的距离的线段共有（
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
D
）A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
答案
9. D
解析
【分析】
解题首先要明确点到直线距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。我们结合图中给出的两个垂直关系（$AB⊥AC$、$AD⊥BC$），逐一梳理每个点对应直线的垂线段即可：首先看$AB$与$AC$垂直的情况，能得到2条对应距离的线段；再看$AD$与$BC$垂直的情况，能得到3条对应距离的线段，加起来就是总数量。
【解析】
根据点到直线距离的定义逐一判断：
1. 点$C$到直线$AB$的距离是线段$AC$的长度；
2. 点$B$到直线$AC$的距离是线段$AB$的长度；
3. 点$A$到直线$BC$的距离是线段$AD$的长度；
4. 点$B$到直线$AD$的距离是线段$BD$的长度；
5. 点$C$到直线$AD$的距离是线段$CD$的长度。
综上，符合要求的线段共有5条。
【答案】
D
【知识点】
点到直线的距离，垂线段的定义
【点评】
本题考查点到直线距离的概念应用，解题的关键是紧扣定义逐一排查所有符合要求的垂线段，不要遗漏$BD$、$CD$这两条分别表示点$B$、点$C$到直线$AD$的距离的线段。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确点到直线距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。我们结合图中给出的两个垂直关系（$AB⊥AC$、$AD⊥BC$），逐一梳理每个点对应直线的垂线段即可：首先看$AB$与$AC$垂直的情况，能得到2条对应距离的线段；再看$AD$与$BC$垂直的情况，能得到3条对应距离的线段，加起来就是总数量。
【解析】
根据点到直线距离的定义逐一判断：
1. 点$C$到直线$AB$的距离是线段$AC$的长度；
2. 点$B$到直线$AC$的距离是线段$AB$的长度；
3. 点$A$到直线$BC$的距离是线段$AD$的长度；
4. 点$B$到直线$AD$的距离是线段$BD$的长度；
5. 点$C$到直线$AD$的距离是线段$CD$的长度。
综上，符合要求的线段共有5条。
【答案】
D
【知识点】
点到直线的距离，垂线段的定义
【点评】
本题考查点到直线距离的概念应用，解题的关键是紧扣定义逐一排查所有符合要求的垂线段，不要遗漏$BD$、$CD$这两条分别表示点$B$、点$C$到直线$AD$的距离的线段。
【难度系数】
0.6
10 如图，点A到直线BC的距离是线段
AP
的长度，点C到直线AB的距离是线段CF
的长度，A，B两点之间的距离是线段AB
的长度。答案
10. AP CF AB
解析
【分析】
解题时首先回忆两个核心定义：一是点到直线的距离，指的是直线外一点到这条直线的垂线段的长度；二是两点之间的距离，指的是连接两点的线段的长度。接下来逐一对应问题分析：①找A到BC的距离，就看A向BC作的垂线段是哪条，图中AP垂直BC，垂足为P，对应线段AP；②找C到AB的距离，看C向AB作的垂线段，图中CF垂直AB，垂足为F，对应线段CF；③找A、B两点的距离，直接找连接A、B的线段即可，对应线段AB。
【解析】
根据相关定义逐一判断：
1. 点到直线的距离是直线外一点到直线的垂线段的长度：
（1）过点A作BC的垂线，垂足为P，因此点A到直线BC的距离是线段AP的长度；
（2）过点C作AB的垂线，垂足为F，因此点C到直线AB的距离是线段CF的长度；
2. 两点之间的距离是连接两点的线段的长度，因此A、B两点之间的距离是线段AB的长度。
【答案】
AP；CF；AB
【知识点】
点到直线的距离；两点间的距离
【点评】
本题是基础概念题，解题的核心是准确区分点到直线的距离和两点间的距离的定义，注意点到直线的距离对应的是垂线段的长度，不要误把斜线段长度当成点到直线的距离。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆两个核心定义：一是点到直线的距离，指的是直线外一点到这条直线的垂线段的长度；二是两点之间的距离，指的是连接两点的线段的长度。接下来逐一对应问题分析：①找A到BC的距离，就看A向BC作的垂线段是哪条，图中AP垂直BC，垂足为P，对应线段AP；②找C到AB的距离，看C向AB作的垂线段，图中CF垂直AB，垂足为F，对应线段CF；③找A、B两点的距离，直接找连接A、B的线段即可，对应线段AB。
【解析】
根据相关定义逐一判断：
1. 点到直线的距离是直线外一点到直线的垂线段的长度：
（1）过点A作BC的垂线，垂足为P，因此点A到直线BC的距离是线段AP的长度；
（2）过点C作AB的垂线，垂足为F，因此点C到直线AB的距离是线段CF的长度；
2. 两点之间的距离是连接两点的线段的长度，因此A、B两点之间的距离是线段AB的长度。
【答案】
AP；CF；AB
【知识点】
点到直线的距离；两点间的距离
【点评】
本题是基础概念题，解题的核心是准确区分点到直线的距离和两点间的距离的定义，注意点到直线的距离对应的是垂线段的长度，不要误把斜线段长度当成点到直线的距离。
【难度系数】
0.9
11 如图，P 是∠AOB 的边OB 上的一点.
（1）画图：过点 P 作OB 的垂线，交OA 于点 C；过点 P 作OA 的垂线，垂足为 H.
（2）在（1）的条件下，线段 PH 的长度是点 P到
（1）画图：过点 P 作OB 的垂线，交OA 于点 C；过点 P 作OA 的垂线，垂足为 H.
（2）在（1）的条件下，线段 PH 的长度是点 P到
OA
的距离，线段 PC 的长度
是点 C 到射线OB 的距离，并写出线段 PC，PH，OC 长的大小关系：PH＜PC＜OC
（用“＜”连接）.答案
11. (1) 如图所示
(2) OA 线段 PC 的长度 $PH＜PC＜OC$
解析
【分析】
（1）画图时可借助三角板的直角边完成：作OB的垂线时，将三角板一条直角边与OB重合，平移三角板使另一条直角边经过点P，沿该直角边画直线，与OA的交点即为C；作OA的垂线时，将三角板一条直角边与OA重合，平移三角板使另一条直角边经过点P，沿该直角边画线段，与OA的交点就是垂足H。
（2）填空部分先回忆点到直线距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，结合定义填写前两空；再根据“垂线段最短”的性质，依次比较三条线段的长度即可得到大小关系。
【解析】
（1）根据垂线的作图方法，最终作出的图形符合参考答案给出的图示。
（2）①线段PH是点P向OA作的垂线段，因此PH的长度是点P到OA的距离；
②点C到OB的垂线段是PC，因此线段PC的长度是点C到射线OB的距离；
③根据垂线段最短的性质：点P到OA的所有连线中，垂线段PH最短，因此$PH＜PC$；点C到OB的所有连线中，垂线段PC最短，因此$PC＜OC$，综上可得$PH＜PC＜OC$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) OA 线段PC的长度 $PH＜PC＜OC$
【知识点】
垂线的画法；点到直线的距离；垂线段最短
【点评】
本题侧重考查基础几何概念和作图能力，需要注意点到直线的距离是垂线段的长度，是数值，不能直接写成垂线段本身；同时要熟练掌握垂线段最短的性质，能正确运用该性质比较线段的长短。
【难度系数】
0.8
（1）画图时可借助三角板的直角边完成：作OB的垂线时，将三角板一条直角边与OB重合，平移三角板使另一条直角边经过点P，沿该直角边画直线，与OA的交点即为C；作OA的垂线时，将三角板一条直角边与OA重合，平移三角板使另一条直角边经过点P，沿该直角边画线段，与OA的交点就是垂足H。
（2）填空部分先回忆点到直线距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，结合定义填写前两空；再根据“垂线段最短”的性质，依次比较三条线段的长度即可得到大小关系。
【解析】
（1）根据垂线的作图方法，最终作出的图形符合参考答案给出的图示。
（2）①线段PH是点P向OA作的垂线段，因此PH的长度是点P到OA的距离；
②点C到OB的垂线段是PC，因此线段PC的长度是点C到射线OB的距离；
③根据垂线段最短的性质：点P到OA的所有连线中，垂线段PH最短，因此$PH＜PC$；点C到OB的所有连线中，垂线段PC最短，因此$PC＜OC$，综上可得$PH＜PC＜OC$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) OA 线段PC的长度 $PH＜PC＜OC$
【知识点】
垂线的画法；点到直线的距离；垂线段最短
【点评】
本题侧重考查基础几何概念和作图能力，需要注意点到直线的距离是垂线段的长度，是数值，不能直接写成垂线段本身；同时要熟练掌握垂线段最短的性质，能正确运用该性质比较线段的长短。
【难度系数】
0.8
12 如图,在锐角三角形ABC中,AB＜BC,AC=5,BC=6,AD⊥BC,AD=4.若点P在边AC上移动,求BP长的取值范围.
答案
12. 由“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”可知,当$BP⊥AC$时,$BP$的长最短,此时$S_{三角形ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}AC·BP$,所以$\frac{1}{2}×6×4=\frac{1}{2}×5BP$,解得$BP=4.8$.所以$BP$长的最小值为4.8.因为$AB＜BC,BC=6$,所以$BP$长的最大值为6.所以$BP$长的取值范围是$4.8≤BP≤6$
解析
【分析】
要确定BP的取值范围，需分别求出BP的最小值和最大值：①求最小值：根据“垂线段最短”，点B到AC上各点的连线中，垂线段长度最短，因此当BP⊥AC时BP最小，此时可利用△ABC面积的两种不同计算方法（分别以BC、AC为底，对应高为AD、BP）列等式求解最短BP；②求最大值：点P在AC上移动，BP的最大值出现在P与AC的端点重合时，结合已知AB＜BC、BC=6，可知BP最大值为BC的长度，最后结合最值即可得到BP的取值范围。
【解析】
1. 求BP的最小值：
根据垂线段的性质，当$BP⊥AC$时，BP的长度最短。
三角形ABC的面积可以用两种方式表示：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$，也等于$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BP$。
已知BC=6，AD=4，AC=5，代入得：
$\frac{1}{2} × 6 × 4 = \frac{1}{2} × 5 × BP$
化简计算得$BP=4.8$，即BP的最小值为4.8。
2. 求BP的最大值：
点P在边AC上移动，当P与端点C重合时，BP=BC=6；当P与端点A重合时，BP=AB，已知$AB＜BC=6$，因此BP的最大值为6。
综上可得BP长的取值范围。
【答案】
$4.8≤BP≤6$
【知识点】
垂线段最短；三角形面积计算；线段最值分析
【点评】
本题侧重考查几何基本性质的应用，解题的核心是准确找到BP取最值时点P的位置，利用面积法求垂线段长度是本题的关键解题技巧，能很好地锻炼学生数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
要确定BP的取值范围，需分别求出BP的最小值和最大值：①求最小值：根据“垂线段最短”，点B到AC上各点的连线中，垂线段长度最短，因此当BP⊥AC时BP最小，此时可利用△ABC面积的两种不同计算方法（分别以BC、AC为底，对应高为AD、BP）列等式求解最短BP；②求最大值：点P在AC上移动，BP的最大值出现在P与AC的端点重合时，结合已知AB＜BC、BC=6，可知BP最大值为BC的长度，最后结合最值即可得到BP的取值范围。
【解析】
1. 求BP的最小值：
根据垂线段的性质，当$BP⊥AC$时，BP的长度最短。
三角形ABC的面积可以用两种方式表示：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$，也等于$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BP$。
已知BC=6，AD=4，AC=5，代入得：
$\frac{1}{2} × 6 × 4 = \frac{1}{2} × 5 × BP$
化简计算得$BP=4.8$，即BP的最小值为4.8。
2. 求BP的最大值：
点P在边AC上移动，当P与端点C重合时，BP=BC=6；当P与端点A重合时，BP=AB，已知$AB＜BC=6$，因此BP的最大值为6。
综上可得BP长的取值范围。
【答案】
$4.8≤BP≤6$
【知识点】
垂线段最短；三角形面积计算；线段最值分析
【点评】
本题侧重考查几何基本性质的应用，解题的核心是准确找到BP取最值时点P的位置，利用面积法求垂线段长度是本题的关键解题技巧，能很好地锻炼学生数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
