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7.有下列说法:①若$\frac{a}{2b}=-\frac{1}{2}$,则$a,b$互为相反数;②若$-ab＜0$,则$a,b$异号;③若$|a|=|-b|$,则$a=-b$.其中不正确的有(
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
).A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
7.C
解析:①若$\frac{a}{2b}=-\frac{1}{2}$,则$a,b$互为相反数,正确;
②若$-ab＜0$,则$a,b$同号,不正确;
③若$|a|=|-b|$,则$a=-b$或$a=b$,不正确.
解析:①若$\frac{a}{2b}=-\frac{1}{2}$,则$a,b$互为相反数,正确;
②若$-ab＜0$,则$a,b$同号,不正确;
③若$|a|=|-b|$,则$a=-b$或$a=b$,不正确.
解析
【分析】
这道题需要我们逐一判断3个关于有理数性质的说法是否正确，解题时结合相反数、有理数乘法符号规则、绝对值的性质，逐个验证每个说法，最后统计错误说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们对三个说法分别判断：
1. 判断说法①：已知$\frac{a}{2b}=-\frac{1}{2}$，首先分母不为0，所以$b≠0$，等式两边同时乘$2b$，可得$a=-\frac{1}{2}×2b=-b$，即$a+b=0$，根据相反数的定义，互为相反数的两个数和为0，因此a、b互为相反数，故①正确。
2. 判断说法②：已知$-ab＜0$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$ab＞0$，根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的规则，可知a、b同号，不是异号，故②错误。
3. 判断说法③：已知$|a|=|-b|$，化简得$|a|=|b|$，根据绝对值的性质，绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即$a=b$或$a=-b$，并非只有$a=-b$这一种情况，故③错误。
综上，不正确的说法是②和③，共2个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
相反数的定义；有理数乘法符号法则；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念类题型，重点考查对有理数相关核心概念的理解掌握程度，解题时要注意不要遗漏绝对值相等的两种情况，判断乘法符号时要注意负号对不等号方向的影响，避免因概念理解不全面出错。
【难度系数】
0.7
这道题需要我们逐一判断3个关于有理数性质的说法是否正确，解题时结合相反数、有理数乘法符号规则、绝对值的性质，逐个验证每个说法，最后统计错误说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们对三个说法分别判断：
1. 判断说法①：已知$\frac{a}{2b}=-\frac{1}{2}$，首先分母不为0，所以$b≠0$，等式两边同时乘$2b$，可得$a=-\frac{1}{2}×2b=-b$，即$a+b=0$，根据相反数的定义，互为相反数的两个数和为0，因此a、b互为相反数，故①正确。
2. 判断说法②：已知$-ab＜0$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$ab＞0$，根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的规则，可知a、b同号，不是异号，故②错误。
3. 判断说法③：已知$|a|=|-b|$，化简得$|a|=|b|$，根据绝对值的性质，绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即$a=b$或$a=-b$，并非只有$a=-b$这一种情况，故③错误。
综上，不正确的说法是②和③，共2个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
相反数的定义；有理数乘法符号法则；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念类题型，重点考查对有理数相关核心概念的理解掌握程度，解题时要注意不要遗漏绝对值相等的两种情况，判断乘法符号时要注意负号对不等号方向的影响，避免因概念理解不全面出错。
【难度系数】
0.7
8.已知$|x|=4$，$|y|=\frac{1}{2}$，且$xy＜0$，则$\frac{x}{y}$的值等于
−8
。答案
8.−8
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质确定x、y的所有可能取值，再结合“xy＜0”的条件判断x和y异号，最后分情况代入计算$\frac{x}{y}$的值，也可以先根据有理数除法的符号法则确定结果的符号，再计算绝对值的商，两种方法都可快速得到结果。
【解析】
解：
∵$|x|=4$，
∴$x=\pm4$；
∵$|y|=\frac{1}{2}$，
∴$y=\pm\frac{1}{2}$；
又
∵$xy＜0$，
∴x与y符号相反，分两种情况计算：
①当$x=4$时，$y=-\frac{1}{2}$，此时$\frac{x}{y}=\frac{4}{-\frac{1}{2}}=4×(-2)=-8$；
②当$x=-4$时，$y=\frac{1}{2}$，此时$\frac{x}{y}=\frac{-4}{\frac{1}{2}}=-4×2=-8$；
两种情况计算结果一致，因此$\frac{x}{y}$的值为-8。
【答案】
$-8$
【知识点】
1.绝对值的性质；2.有理数乘除法符号法则
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考察对绝对值化简和乘除符号规则的掌握，解题时可先确定运算结果的符号，再计算绝对值部分，能简化计算过程，同时要注意根据限制条件筛选符合要求的未知数取值，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据绝对值的性质确定x、y的所有可能取值，再结合“xy＜0”的条件判断x和y异号，最后分情况代入计算$\frac{x}{y}$的值，也可以先根据有理数除法的符号法则确定结果的符号，再计算绝对值的商，两种方法都可快速得到结果。
【解析】
解：
∵$|x|=4$，
∴$x=\pm4$；
∵$|y|=\frac{1}{2}$，
∴$y=\pm\frac{1}{2}$；
又
∵$xy＜0$，
∴x与y符号相反，分两种情况计算：
①当$x=4$时，$y=-\frac{1}{2}$，此时$\frac{x}{y}=\frac{4}{-\frac{1}{2}}=4×(-2)=-8$；
②当$x=-4$时，$y=\frac{1}{2}$，此时$\frac{x}{y}=\frac{-4}{\frac{1}{2}}=-4×2=-8$；
两种情况计算结果一致，因此$\frac{x}{y}$的值为-8。
【答案】
$-8$
【知识点】
1.绝对值的性质；2.有理数乘除法符号法则
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考察对绝对值化简和乘除符号规则的掌握，解题时可先确定运算结果的符号，再计算绝对值部分，能简化计算过程，同时要注意根据限制条件筛选符合要求的未知数取值，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.8
9.对于任何有理数$a$，$b$定义运算“△”如下：$a△b=\frac{1}{a}÷(-\frac{b}{2})$.如$2△3=\frac{1}{2}÷(-\frac{3}{2})=-\frac{1}{3}$，求$(-2△7)△4$的值.
答案
9.$-\frac{7}{2}$
解析
【分析】
本题属于新定义运算题型，解题思路明确：首先要准确理解“△”运算的规则，即$a△b=\frac{1}{a}÷(-\frac{b}{2})$；其次遵循有理数混合运算的顺序，有括号先算括号内的$-2△7$，再把计算所得的结果作为新的$a$，和$b=4$再次按照“△”的规则计算，运算过程中要注意有理数除法的符号判断规则。
【解析】
解：第一步先计算括号内的$-2△7$，此时对应规则中$a=-2$，$b=7$，代入得：
$\begin{aligned}-2△7&=\frac{1}{-2}÷(-\frac{7}{2})\\&=-\frac{1}{2}×(-\frac{2}{7})\\&=\frac{1}{7}\end{aligned}$
第二步计算$\frac{1}{7}△4$，此时对应规则中$a=\frac{1}{7}$，$b=4$，代入得：
$\begin{aligned}\frac{1}{7}△4&=\frac{1}{\frac{1}{7}}÷(-\frac{4}{2})\\&=7÷(-2)\\&=-\frac{7}{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{7}{2}$
【知识点】
新定义运算，有理数除法运算，四则运算顺序
【点评】
本题核心是对新运算规则的套用，解题时需严格按照定义代入数值，重点注意运算顺序和符号的处理，避免因符号判断失误导致计算错误。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义运算题型，解题思路明确：首先要准确理解“△”运算的规则，即$a△b=\frac{1}{a}÷(-\frac{b}{2})$；其次遵循有理数混合运算的顺序，有括号先算括号内的$-2△7$，再把计算所得的结果作为新的$a$，和$b=4$再次按照“△”的规则计算，运算过程中要注意有理数除法的符号判断规则。
【解析】
解：第一步先计算括号内的$-2△7$，此时对应规则中$a=-2$，$b=7$，代入得：
$\begin{aligned}-2△7&=\frac{1}{-2}÷(-\frac{7}{2})\\&=-\frac{1}{2}×(-\frac{2}{7})\\&=\frac{1}{7}\end{aligned}$
第二步计算$\frac{1}{7}△4$，此时对应规则中$a=\frac{1}{7}$，$b=4$，代入得：
$\begin{aligned}\frac{1}{7}△4&=\frac{1}{\frac{1}{7}}÷(-\frac{4}{2})\\&=7÷(-2)\\&=-\frac{7}{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{7}{2}$
【知识点】
新定义运算，有理数除法运算，四则运算顺序
【点评】
本题核心是对新运算规则的套用，解题时需严格按照定义代入数值，重点注意运算顺序和符号的处理，避免因符号判断失误导致计算错误。
【难度系数】
0.7
10.阅读下列材料：$|x|=\begin{cases}x, & \mathrm{当} \ x＞0 \mathrm{时}; \\0, & \mathrm{当} \ x=0 \mathrm{时}; \\-x, & \mathrm{当} \ x＜0 \mathrm{时}.\end{cases}$ 即当 $x＞0$ 时，$\frac{x}{|x|}=\frac{x}{x}=1$；当 $x＜0$ 时，$\frac{x}{|x|}=\frac{x}{-x}=-1$。用这个结论可以解决下面问题。
(1)已知 $a,b$ 是有理数，当 $ab≠0$ 时，直接写出 $\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}$ 的值。
(2)已知 $a,b,c$ 是有理数，当 $abc≠0$ 时，直接写出 $\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}$ 的值。
(3)已知 $a,b,c$ 是有理数，$a+b+c=0,abc＜0$，求 $\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}$ 的值。
(1)已知 $a,b$ 是有理数，当 $ab≠0$ 时，直接写出 $\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}$ 的值。
(2)已知 $a,b,c$ 是有理数，当 $abc≠0$ 时，直接写出 $\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}$ 的值。
(3)已知 $a,b,c$ 是有理数，$a+b+c=0,abc＜0$，求 $\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}$ 的值。
答案
10.(1)已知$a,b$是有理数,当$ab≠0$时,
①$a＜0,b＜0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=-1-1=-2$;
②$a＞0,b＞0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=1+1=2$;
③$a,b$异号,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=1-1=0$.
故$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=±2$或$0$.
(2)$±1$或$±3$.
(3)已知$a,b,c$是有理数,$a+b+c=0$,$abc＜0$,
则$b+c=-a$,$a+c=-b$,$a+b=-c$.
$a,b,c$两正一负,
则$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}=-\frac{a}{|a|}-\frac{b}{|b|}-\frac{c}{|c|}=1-1-1=-1$.
①$a＜0,b＜0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=-1-1=-2$;
②$a＞0,b＞0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=1+1=2$;
③$a,b$异号,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=1-1=0$.
故$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=±2$或$0$.
(2)$±1$或$±3$.
(3)已知$a,b,c$是有理数,$a+b+c=0$,$abc＜0$,
则$b+c=-a$,$a+c=-b$,$a+b=-c$.
$a,b,c$两正一负,
则$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}=-\frac{a}{|a|}-\frac{b}{|b|}-\frac{c}{|c|}=1-1-1=-1$.
解析
【分析】
解题从题目给出的非零数化简结论入手：非零数$x$除以自身绝对值的结果只有两种，$x＞0$时为$1$，$x＜0$时为$-1$。
(1) $ab≠0$说明$a、b$均不为0，分$a、b$均正、均负、一正一负三类情况分别计算即可。
(2) $abc≠0$说明$a、b、c$均不为0，分三个均正、两正一负、一正两负、三个均负四类情况分别求和即可。
(3) 先利用$a+b+c=0$的条件，将分子$b+c$替换为$-a$，$a+c$替换为$-b$，$a+b$替换为$-c$，把原式化简为$-(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|})$；再结合$abc＜0$可知负数个数为奇数，又因为$a+b+c=0$，三个数不可能全负，因此只能是两正一负，代入化简后的式子计算即可。
【解析】
(1) 当$ab≠0$时，$a、b$均不为0，分三类讨论：
① 若$a＜0,b＜0$，则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=-1-1=-2$；
② 若$a＞0,b＞0$，则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=1+1=2$；
③ 若$a、b$异号，则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=1-1=0$。
(2) 当$abc≠0$时，$a、b、c$均不为0，分四类讨论：
① 三个均正：和为$1+1+1=3$；② 两正一负：和为$1+1-1=1$；
③ 一正两负：和为$1-1-1=-1$；④ 三个均负：和为$-1-1-1=-3$。
(3) $\because a+b+c=0$，$\therefore b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c$，
代入原式得：$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}=-\frac{a}{|a|}-\frac{b}{|b|}-\frac{c}{|c|}=-(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|})$，
$\because abc＜0$，$\therefore$负数个数为奇数个，若三个均负则$a+b+c＜0$，与$a+b+c=0$矛盾，故三个数为两正一负，
$\therefore \frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=1+1-1=1$，原式$=-1$。
【答案】
(1) $\pm2$或$0$；(2) $\pm1$或$\pm3$；(3) $-1$
【知识点】
绝对值的化简；分类讨论思想；有理数的运算
【点评】
本题围绕绝对值的性质展开，重点考查分类讨论的数学思想，解题时要注意根据题干限制条件筛选符合要求的情况，尤其是第三问需要结合两个隐含条件判断三个数的正负情况，避免多解错解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题从题目给出的非零数化简结论入手：非零数$x$除以自身绝对值的结果只有两种，$x＞0$时为$1$，$x＜0$时为$-1$。
(1) $ab≠0$说明$a、b$均不为0，分$a、b$均正、均负、一正一负三类情况分别计算即可。
(2) $abc≠0$说明$a、b、c$均不为0，分三个均正、两正一负、一正两负、三个均负四类情况分别求和即可。
(3) 先利用$a+b+c=0$的条件，将分子$b+c$替换为$-a$，$a+c$替换为$-b$，$a+b$替换为$-c$，把原式化简为$-(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|})$；再结合$abc＜0$可知负数个数为奇数，又因为$a+b+c=0$，三个数不可能全负，因此只能是两正一负，代入化简后的式子计算即可。
【解析】
(1) 当$ab≠0$时，$a、b$均不为0，分三类讨论：
① 若$a＜0,b＜0$，则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=-1-1=-2$；
② 若$a＞0,b＞0$，则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=1+1=2$；
③ 若$a、b$异号，则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=1-1=0$。
(2) 当$abc≠0$时，$a、b、c$均不为0，分四类讨论：
① 三个均正：和为$1+1+1=3$；② 两正一负：和为$1+1-1=1$；
③ 一正两负：和为$1-1-1=-1$；④ 三个均负：和为$-1-1-1=-3$。
(3) $\because a+b+c=0$，$\therefore b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c$，
代入原式得：$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}=-\frac{a}{|a|}-\frac{b}{|b|}-\frac{c}{|c|}=-(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|})$，
$\because abc＜0$，$\therefore$负数个数为奇数个，若三个均负则$a+b+c＜0$，与$a+b+c=0$矛盾，故三个数为两正一负，
$\therefore \frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=1+1-1=1$，原式$=-1$。
【答案】
(1) $\pm2$或$0$；(2) $\pm1$或$\pm3$；(3) $-1$
【知识点】
绝对值的化简；分类讨论思想；有理数的运算
【点评】
本题围绕绝对值的性质展开，重点考查分类讨论的数学思想，解题时要注意根据题干限制条件筛选符合要求的情况，尤其是第三问需要结合两个隐含条件判断三个数的正负情况，避免多解错解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
