1.下列方程中，是一元一次方程的是（）.

A.$x^2 - 3x = 5$
B.$3x + 7y = 11$
C.$x = 9$
D.$\frac{x}{4} + \frac{4}{x} = 2$

1.C

【分析】
要判断一个方程是否为一元一次方程，首先要明确一元一次方程的三个核心判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③等号左右两边都是整式（即分母中不含未知数）。我们只需将四个选项逐一对照这三个标准，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
逐一分析各选项：
A. 方程$x^2 - 3x = 5$中未知数$x$的最高次数是2，不满足“未知数次数为1”的要求，不是一元一次方程；
B. 方程$3x + 7y = 11$中含有$x$、$y$两个未知数，不满足“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
C. 方程$x=9$中只含有1个未知数$x$，$x$的次数为1，且等号两边都是整式，完全符合一元一次方程的定义；
D. 方程$\frac{x}{4} + \frac{4}{x} = 2$的分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不满足“等号两边都是整式”的要求，不是一元一次方程。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 整式方程的概念
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对一元一次方程判定标准的掌握，只要牢记三个判定要点，逐一排查选项即可快速得分，注意不要混淆整式方程与分式方程、一元方程与多元方程、一次方程与高次方程。
【难度系数】
0.8

2.下列方程中,解是$x=2$的是().

A.$3x-1=2x+1$
B.$3x+1=2x-1$
C.$3x+2x-2=0$
D.$3x-2x+2=0$

2.A

【分析】
要判断哪个方程的解是$x=2$，有两种常用思路：一是根据方程的解的定义，把$x=2$分别代入各选项的方程，计算左右两边的值，若两边相等，则$x=2$是该方程的解；二是分别求解每个选项中的一元一次方程，对比解是否为$x=2$。其中代入验算法计算量更小，更适合快速解题。
【解析】
方法一：代入验算法
将$x=2$逐一代入各选项：
选项A：左边$=3×2 -1=5$，右边$=2×2 +1=5$，左边=右边，符合要求；
选项B：左边$=3×2 +1=7$，右边$=2×2 -1=3$，左边≠右边，不符合；
选项C：左边$=3×2 +2×2 -2=8$，右边$=0$，左边≠右边，不符合；
选项D：左边$=3×2 -2×2 +2=4$，右边$=0$，左边≠右边，不符合。
方法二：解方程验证
分别求解各选项的一元一次方程：
选项A：移项得$3x-2x=1+1$，合并同类项得$x=2$，符合要求；
选项B：移项得$3x-2x=-1-1$，合并同类项得$x=-2$，不符合；
选项C：移项得$5x=2$，系数化为1得$x=\frac{2}{5}$，不符合；
选项D：移项得$3x-2x=-2$，合并同类项得$x=-2$，不符合。
综上，只有选项A满足条件。
【答案】
A
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程验算；一元一次方程求解
【点评】
本题是基础类题型，核心考察对“方程的解”这一概念的理解，无论是代入验算还是直接解方程，都是一元一次方程部分需要熟练掌握的基本方法，解题时选择自己更熟练的方法即可。
【难度系数】
0.9

3.已知关于x的方程$2x+a-5=0$的解是$x=2$，则a的值为。

3.1

【分析】
解题时首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=2是原方程的解，因此将x=2代入原方程，可将原方程转化为只含有未知数a的一元一次方程，再解这个一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
把x=2代入方程$2x+a-5=0$，可得：
$2×2 + a - 5 = 0$
计算得：$4 + a - 5 = 0$
化简得：$a - 1 = 0$
解得：$a = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，考查方程解的应用，只要掌握方程的解代入原方程后等式仍然成立的性质，代入计算即可得到结果，难度较低。
【难度系数】
0.9

4.(1)填写下表.

(2)根据上表直接写出方程$5x - 3 = 6 + 2x$的解为.

4.(1)
| $x$ | 0 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $5x-3$ | $-3$ | 7 | 12 | 17 |
| $6+2x$ | 6 | 10 | 12 | 14 |
(2)$x=3$

【分析】
(1) 填写表格的核心是代数式求值，将给定的x的取值分别代入两个代数式中，按照先乘除后加减的运算顺序计算出对应结果即可。
(2) 一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，因此只需在表格中找到两个代数式取值相等时对应的x，就是该方程的解。
【解析】
(1) 分别代入x的值计算两个代数式的结果：
① 计算$5x-3$的取值：
当$x=0$时，$5×0 -3 = -3$；
当$x=2$时，$5×2 -3 = 10-3=7$；
当$x=3$时，$5×3 -3 =15-3=12$；
当$x=4$时，$5×4 -3 =20-3=17$。
② 计算$6+2x$的取值：
当$x=0$时，$6+2×0=6$；
当$x=2$时，$6+2×2=6+4=10$；
当$x=3$时，$6+2×3=6+6=12$；
当$x=4$时，$6+2×4=6+8=14$。
将上述结果填入表格对应位置即可。
(2) 观察表格可知，当$x=3$时，$5x-3$和$6+2x$的取值均为12，即此时方程左右两边相等，因此方程的解为$x=3$。
【答案】
(1)
| $x$ | 0 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $5x-3$ | $-3$ | 7 | 12 | 17 |
| $6+2x$ | 6 | 10 | 12 | 14 |
(2) $x=3$
【知识点】
代数式求值；一元一次方程的解
【点评】
本题是基础类题目，既考察了代数式的基本运算能力，又通过表格的形式直观体现了方程解的含义，帮助学生理解方程的解就是使左右两边代数式值相等的未知数的取值，计算时注意运算顺序即可避免错误。
【难度系数】
0.85

5.根据下列问题，设未知数并列出方程.
（1）小明买苹果和梨共5 kg，用去21元.已知苹果每千克5元，梨每千克4元，则小明买了多少千克苹果？
（2）从一块正方形铁皮上沿某条边截去一个宽2 cm的长方形铁条，余下部分的周长是80 cm，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？

5.(1)设小明买了$x$ kg苹果，
则可列方程$5x+4(5-x)=21$.
(2)设原来的正方形铁皮的边长是$x$ cm，
则可列方程$[x+(x-2)]×2=80$.

【分析】
（1）本题的核心等量关系为：买苹果的总费用+买梨的总费用=21元。首先设苹果的质量为未知数，用总质量减去苹果质量即可得到梨的质量，再结合“单价×质量=总价”分别表示出苹果和梨的花费，代入等量关系就能列出方程。
（2）本题的核心等量关系为：余下部分的周长=80cm。首先设原正方形的边长为未知数，截去宽2cm的长方形后，余下图形为长方形，它的长等于原正方形边长，宽等于原正方形边长减2cm，代入长方形周长公式即可列出方程。
【解析】
（1）设小明买了$x$ kg苹果，则梨的质量为$(5-x)$kg。
苹果总花费为$5x$元，梨总花费为$4(5-x)$元，根据总花费为21元可列方程：
$5x+4(5-x)=21$
（2）设原来的正方形铁皮的边长是$x$ cm，截去长方形后余下部分是长为$x$ cm、宽为$(x-2)$cm的长方形。
根据长方形周长公式$\mathrm{周长}=(\mathrm{长}+\mathrm{宽})×2$，结合余下周长为80cm可列方程：
$[x+(x-2)]×2=80$
【答案】
(1)设小明买了$x$ kg苹果，可列方程$5x+4(5-x)=21$。
(2)设原来的正方形铁皮的边长是$x$ cm，可列方程$[x+(x-2)]×2=80$。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系确定
3. 长方形周长计算
【点评】
本题是列一元一次方程的基础题型，解题核心是准确梳理题干中的数量关系，找到对应等量表达式，熟练掌握常见的费用、周长类等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8

6.若$x=4$是关于$x$的一元一次方程$ax+2b=4$的解，则代数式$(2a+b)^2+3(2a+b)-1$的值是.

6.9
解析:因为$x=4$是关于$x$的一元一次方程$ax+2b=4$的解，
所以$4a+2b=4$,即$2a+b=2$.
所以$(2a+b)^2+3(2a+b)-1=2^2+3×2-1=9$.

【分析】
解题时首先根据一元一次方程解的定义，将x=4代入原方程得到关于a、b的等式，再观察所求代数式的结构，发现可以将(2a+b)看作一个整体，通过变形得到2a+b的值后，整体代入代数式计算即可，无需单独求解a、b的具体数值，简化计算过程。
【解析】
因为x=4是关于x的一元一次方程$ax+2b=4$的解，
将x=4代入方程得：$4a + 2b = 4$，
等式两边同时除以2，可得：$2a + b = 2$，
将$2a + b = 2$代入代数式$(2a+b)^2+3(2a+b)-1$得：
$\begin{aligned}原式&=2^2 + 3×2 - 1\\&=4 + 6 - 1\\&=9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
一元一次方程的解；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题考查方程解的性质与代数式求值的结合，运用整体代入的思想可以避免单独求解未知参数，简化计算步骤，是代数计算中常用的技巧，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

7.有一个被墨水污染过的方程$2x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}x-$$$，答案显示此方程的解是$x=\frac{5}{3}$.已知被墨水遮盖的是一个常数,请求出这个常数.
8.关于$x$的方程$(a^2 - 1)x^2 + (a - 1)x + 4a - 2 = 0$是一元一次方程,求$a$的值.

7.设被墨水遮盖的常数为$m$,则方程为$2x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}x-m$.
将$x=\frac{5}{3}$代入方程,得$m=-2$.即这个常数为$-2$.
8.由题意,得$a^2-1=0$且$a-1≠0$,解得$a=-1$.

【分析】
第7题解题思路：要求被墨水遮盖的常数，我们可以先将这个常数设为未知数$m$，根据方程的解的定义，方程的解代入方程后左右两边相等，因此把已知的解$x=\frac{5}{3}$代入含$m$的方程，就能得到一个关于$m$的一元一次方程，解这个方程即可求出常数。
第8题解题思路：一元一次方程的核心特征是只含一个未知数、未知数最高次数为1、且一次项系数不为0。本题方程中存在二次项，因此要使方程为一元一次方程，必须满足二次项系数为0，同时一次项系数不等于0，根据这两个条件列关系式求解$a$即可，注意要排除使一次项系数为0的取值。
【解析】
7. 解：设被墨水遮盖的常数为$m$，则原方程为$2x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}x-m$。
将$x=\frac{5}{3}$代入方程，得：
$2×\frac{5}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×\frac{5}{3}-m$
计算左右两边的常数项：
左边$=\frac{10}{3}-\frac{1}{2}=\frac{20-3}{6}=\frac{17}{6}$，右边$=\frac{5}{6}-m$
因此有$\frac{17}{6}=\frac{5}{6}-m$
移项解得$m=\frac{5}{6}-\frac{17}{6}=-2$。
8. 解：已知方程$(a^2 - 1)x^2 + (a - 1)x + 4a - 2 = 0$是一元一次方程，根据定义可得：
$\begin{cases}a^2-1=0\\a-1≠0\end{cases}$
解$a^2-1=0$得$a=\pm1$，结合$a-1≠0$即$a≠1$，可得$a=-1$。
【答案】
7. 这个常数为$\boldsymbol{-2}$；
8. $a$的值为$\boldsymbol{-1}$。
【知识点】
方程的解的定义、一元一次方程的定义、解一元一次方程
【点评】
这两道题是方程部分的基础常规题，第7题考查方程解的逆用，将已知解代入方程即可求解未知常数；第8题解题时要注意一元一次方程需要同时满足二次项系数为0、一次项系数不为0两个条件，避免遗漏限制条件导致错解。
【难度系数】
0.8