9.《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大意是：现有田出租，第一年每3亩得1钱，第二年每4亩得1钱，第三年每5亩得1钱。三年共得100钱。问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，请根据题意列出关于x的方程。

9.$\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{x}{5}=100$

【分析】
解题时先找题目中的核心等量关系：三年总得钱数=第一年得钱数+第二年得钱数+第三年得钱数。已知出租田地总亩数为x亩，先分别计算每年的得钱数：每n亩得1钱时，x亩的得钱数为$\frac{x}{n}$，据此表示出三年各自的得钱数，再代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设出租的田有x亩。
1. 计算第一年得钱数：第一年每3亩得1钱，因此x亩共得$\frac{x}{3}$钱；
2. 计算第二年得钱数：第二年每4亩得1钱，因此x亩共得$\frac{x}{4}$钱；
3. 计算第三年得钱数：第三年每5亩得1钱，因此x亩共得$\frac{x}{5}$钱；
4. 结合三年共得100钱的条件，将三年得钱数相加等于总钱数，即可列出对应方程。
【答案】
$\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{x}{5}=100$
【知识点】
列一元一次方程；一元一次方程实际应用
【点评】
本题结合我国古代数学著作背景出题，解题关键是正确理解题意，准确表示出每年的得钱数，再根据总钱数的等量关系列方程，侧重考察基础的列方程能力。
【难度系数】
0.8

10.有一列方程：
第1个方程是$x+\frac{x}{2}=3$，解为$x=2$；
第2个方程是$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5$，解为$x=6$；
第3个方程是$\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=7$，解为$x=12$；
第4个方程是$\frac{x}{4}+\frac{x}{5}=9$，解为$x=20$；
……
(1)根据规律，第10个方程是$\frac{x}{10}+\frac{x}{11}=21$，解为.
(2)若第$n$个方程$\frac{x}{△}+\frac{x}{◯}=a$的解为$x=420$，求$a$的值.

10.(1)$x=110$
(2)观察已知方程,可知第$n$个方程为$\frac{x}{n}+\frac{x}{n+1}=2n+1$,解为$x=n(n+1)$.
因为第$n$个方程$\frac{x}{△}+\frac{x}{◯}=a$的解为$x=420$，
所以$n(n+1)=420$.即$n(n+1)=20×21$.
所以$n=20$,$n+1=21$.所以$2n+1=2×20+1=41$.即$a=41$.

【分析】
本题属于规律探究类问题，解题思路如下：
(1) 先观察前4个方程的解与方程序号的关系：第1个方程解为2=1×2，第2个解为6=2×3，第3个解为12=3×4，第4个解为20=4×5，可得出第k个方程的解为k与k+1的乘积，据此直接计算第10个方程的解即可。
(2) 先归纳第n个方程的通用形式：左边两个分式的分母分别为n、n+1，右边常数a=2n+1，且方程的解为x=n(n+1)。已知解为x=420，先通过n(n+1)=420求出n的值，再代入a=2n+1即可求出a的数值。
【解析】
(1) 观察已知方程的解：
第1个方程解：$x=1×2=2$
第2个方程解：$x=2×3=6$
第3个方程解：$x=3×4=12$
第4个方程解：$x=4×5=20$
可得规律：第k个方程的解为$x=k(k+1)$
因此第10个方程的解为$x=10×11=110$
(2) 观察已知方程，归纳得第n个方程为：
$\frac{x}{n}+\frac{x}{n+1}=2n+1$，其解为$x=n(n+1)$
已知第n个方程的解为$x=420$，因此：
$n(n+1)=420$
将420分解为两个连续正整数的乘积：$420=20×21$，可得$n=20$
代入$a=2n+1$得：$a=2×20+1=41$
【答案】
(1)$x=110$
(2)$a=41$
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 一元一次方程的解
3. 代数式求值
【点评】
本题重点考查从特殊实例中归纳通用规律的能力，需要学生仔细观察方程的结构、解与序号的对应关系，再运用规律求解未知量，掌握从特殊到一般的归纳思维是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7