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5. 将1米长的小棒，第一次截去一半，第二次截去$\frac{1}{3}$米。剩下的小棒有多长？
答案
5. $1×(1-\frac{1}{2})-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$(米)。
解析
【分析】
解题时首先要明确两次截去的量的性质：第一次截去的是总长度的$\frac{1}{2}$，属于不带单位的分率，需要先结合总长度算出第一次截完后剩下的长度；第二次截去的$\frac{1}{3}$米是带单位的具体长度，直接用第一次截完剩下的长度减去这个具体值，就能得到最终剩余的小棒长度。
【解析】
1. 计算第一次截去一半后剩下的长度
总长度为1米，截去总长度的$\frac{1}{2}$后，剩余长度为：
$1×(1-\frac{1}{2}) = 1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$（米）
2. 计算第二次截去后剩余的长度
第二次截去的是具体长度$\frac{1}{3}$米，因此最终剩余长度为：
$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$（米）
列综合算式计算：$1×(1-\frac{1}{2})-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$（米）
【答案】
$\frac{1}{6}$米
【知识点】
分数乘法应用，分数减法运算，分率与具体量区分
【点评】
本题的易错点是容易误将第二次截去的$\frac{1}{3}$米当成第一次截完剩余长度的$\frac{1}{3}$计算，解题时只要注意区分带单位的具体数量和不带单位的分率，按照运算顺序逐步计算即可得分。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两次截去的量的性质：第一次截去的是总长度的$\frac{1}{2}$，属于不带单位的分率，需要先结合总长度算出第一次截完后剩下的长度；第二次截去的$\frac{1}{3}$米是带单位的具体长度，直接用第一次截完剩下的长度减去这个具体值，就能得到最终剩余的小棒长度。
【解析】
1. 计算第一次截去一半后剩下的长度
总长度为1米，截去总长度的$\frac{1}{2}$后，剩余长度为：
$1×(1-\frac{1}{2}) = 1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$（米）
2. 计算第二次截去后剩余的长度
第二次截去的是具体长度$\frac{1}{3}$米，因此最终剩余长度为：
$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$（米）
列综合算式计算：$1×(1-\frac{1}{2})-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$（米）
【答案】
$\frac{1}{6}$米
【知识点】
分数乘法应用，分数减法运算，分率与具体量区分
【点评】
本题的易错点是容易误将第二次截去的$\frac{1}{3}$米当成第一次截完剩余长度的$\frac{1}{3}$计算，解题时只要注意区分带单位的具体数量和不带单位的分率，按照运算顺序逐步计算即可得分。
【难度系数】
0.7
6. 如图，由八个边长为1的正方形组成一个长方形，阴影部分的面积占整个图形面积的
$\frac{3}{8}$
（用分数表示结果）。答案
6. $\frac{3}{8}$
解析
【分析】
要计算阴影部分面积占整个图形面积的比例，可分三步思考：第一步先算出整个大长方形的总面积；第二步计算阴影部分的面积，可通过割补法，把两个不规则的阴影三角形拼接成1个完整的小正方形，简化计算；第三步用阴影面积除以总面积，化简得到分数结果。
【解析】
1. 计算整个图形的面积：
整个图形由8个边长为1的小正方形组成，每个小正方形面积为$1×1=1$，因此总面积为$8×1=8$（也可通过大长方形长为4、宽为2，得面积$4×2=8$）。
2. 计算阴影部分的面积：
阴影部分包含2个完整的小正方形，和2个直角边为1的直角三角形。两个直角三角形的面积和为$\frac{1}{2}×1×1 + \frac{1}{2}×1×1 =1$，刚好等于1个小正方形的面积。因此阴影部分总面积相当于$2+1=3$个小正方形的面积，即$3×1=3$。
3. 计算占比：
阴影部分面积占整个图形面积的比值为$3÷8=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
正方形面积计算，割补法求面积，分数的应用
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算及分数占比的求解，利用割补法将零散的三角形拼接为完整的小正方形可以大幅降低计算量，是求解这类网格图形面积问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
要计算阴影部分面积占整个图形面积的比例，可分三步思考：第一步先算出整个大长方形的总面积；第二步计算阴影部分的面积，可通过割补法，把两个不规则的阴影三角形拼接成1个完整的小正方形，简化计算；第三步用阴影面积除以总面积，化简得到分数结果。
【解析】
1. 计算整个图形的面积：
整个图形由8个边长为1的小正方形组成，每个小正方形面积为$1×1=1$，因此总面积为$8×1=8$（也可通过大长方形长为4、宽为2，得面积$4×2=8$）。
2. 计算阴影部分的面积：
阴影部分包含2个完整的小正方形，和2个直角边为1的直角三角形。两个直角三角形的面积和为$\frac{1}{2}×1×1 + \frac{1}{2}×1×1 =1$，刚好等于1个小正方形的面积。因此阴影部分总面积相当于$2+1=3$个小正方形的面积，即$3×1=3$。
3. 计算占比：
阴影部分面积占整个图形面积的比值为$3÷8=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
正方形面积计算，割补法求面积，分数的应用
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算及分数占比的求解，利用割补法将零散的三角形拼接为完整的小正方形可以大幅降低计算量，是求解这类网格图形面积问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
7. （多选题）下列说法正确的是（
A.$\frac{3}{4}$化成小数是0.75
B.$\frac{1}{7}$化成小数是0.7
C.$0.\dot{3}$化成分数是$\frac{1}{3}$
D.0.3化成分数是$\frac{3}{10}$
ACD
）。A.$\frac{3}{4}$化成小数是0.75
B.$\frac{1}{7}$化成小数是0.7
C.$0.\dot{3}$化成分数是$\frac{1}{3}$
D.0.3化成分数是$\frac{3}{10}$
答案
7. ACD
解析
【分析】
这是一道考查分数与小数互化的多选题，解题时只需逐个分析每个选项的正误即可：首先回忆分数化小数的方法是用分子除以分母，小数化分数的方法是根据小数的位数写成分母为10、100…的分数再约分，无限循环小数化分数可通过扩大倍数消去循环节的方法计算，逐一核对每个选项的结论是否正确。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：分数化小数用分子除以分母，$\frac{3}{4}=3÷4=0.75$，该选项正确；
B选项：$\frac{1}{7}=1÷7\approx0.143$，显然不等于0.7（0.7是$\frac{7}{10}$），该选项错误；
C选项：设$x=0.\dot{3}=0.3333···$，两边同时乘10得$10x=3.3333···$，用第二个式子减第一个式子得$10x-x=3$，即$9x=3$，解得$x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，该选项正确；
D选项：0.3是一位小数，化分数为$\frac{3}{10}$，该选项正确。
综上，正确的选项为ACD。
【答案】
ACD
【知识点】
分数与小数互化；无限循环小数化分数；有限小数化分数
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查分数和小数的互化规则，只要熟练掌握不同类型小数与分数互化的计算方法，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.75
这是一道考查分数与小数互化的多选题，解题时只需逐个分析每个选项的正误即可：首先回忆分数化小数的方法是用分子除以分母，小数化分数的方法是根据小数的位数写成分母为10、100…的分数再约分，无限循环小数化分数可通过扩大倍数消去循环节的方法计算，逐一核对每个选项的结论是否正确。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：分数化小数用分子除以分母，$\frac{3}{4}=3÷4=0.75$，该选项正确；
B选项：$\frac{1}{7}=1÷7\approx0.143$，显然不等于0.7（0.7是$\frac{7}{10}$），该选项错误；
C选项：设$x=0.\dot{3}=0.3333···$，两边同时乘10得$10x=3.3333···$，用第二个式子减第一个式子得$10x-x=3$，即$9x=3$，解得$x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，该选项正确；
D选项：0.3是一位小数，化分数为$\frac{3}{10}$，该选项正确。
综上，正确的选项为ACD。
【答案】
ACD
【知识点】
分数与小数互化；无限循环小数化分数；有限小数化分数
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查分数和小数的互化规则，只要熟练掌握不同类型小数与分数互化的计算方法，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.75
8. 某单位要制作 350 份宣传材料。甲制作公司的收费标准是:每份材料收费 20元,另收 3 000 元设计费;乙制作公司的收费标准是:每份材料收费 30 元,不另收设计费。制作这批宣传材料,两家公司各需多少元?哪家公司的收费较少?
答案
8. 甲公司:$350×20+3000=10000$(元);乙公司:$30×350=10500$(元)。甲公司收费少。
解析
【分析】
解题时先明确目标：分别计算两家公司制作350份宣传材料的总费用，再比较费用大小判断哪家收费更少。首先梳理两家公司的收费规则：甲公司总费用由两部分构成，即所有材料的制作费加固定设计费，计算公式为：甲总费用=每份材料收费×材料份数+设计费；乙公司无设计费，总费用仅为材料制作费，计算公式为：乙总费用=每份材料收费×材料份数。将对应数值代入公式分别计算后，比较两个总费用的大小即可得到结论。
【解析】
首先计算甲公司的总费用：
每份材料收费20元，350份的制作费为 $350 × 20 = 7000$ 元，再加上3000元设计费，总费用列综合算式为：
$350 × 20 + 3000 = 10000$（元）
再计算乙公司的总费用：
每份材料收费30元，无设计费，总费用为：
$30 × 350 = 10500$（元）
最后比较两家费用：$10000 ＜ 10500$，因此甲公司收费较少。
【答案】
甲公司: $350×20+3000=10000$ (元);乙公司: $30×350=10500$ (元)。甲公司收费少。
【知识点】
总价计算、整数运算、方案比较
【点评】
本题属于贴近生活的费用核算应用题，解题核心是准确理解不同收费方案的计算逻辑，代入对应数据正确计算后比较结果即可，注意运算时的准确性，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.9
解题时先明确目标：分别计算两家公司制作350份宣传材料的总费用，再比较费用大小判断哪家收费更少。首先梳理两家公司的收费规则：甲公司总费用由两部分构成，即所有材料的制作费加固定设计费，计算公式为：甲总费用=每份材料收费×材料份数+设计费；乙公司无设计费，总费用仅为材料制作费，计算公式为：乙总费用=每份材料收费×材料份数。将对应数值代入公式分别计算后，比较两个总费用的大小即可得到结论。
【解析】
首先计算甲公司的总费用：
每份材料收费20元，350份的制作费为 $350 × 20 = 7000$ 元，再加上3000元设计费，总费用列综合算式为：
$350 × 20 + 3000 = 10000$（元）
再计算乙公司的总费用：
每份材料收费30元，无设计费，总费用为：
$30 × 350 = 10500$（元）
最后比较两家费用：$10000 ＜ 10500$，因此甲公司收费较少。
【答案】
甲公司: $350×20+3000=10000$ (元);乙公司: $30×350=10500$ (元)。甲公司收费少。
【知识点】
总价计算、整数运算、方案比较
【点评】
本题属于贴近生活的费用核算应用题，解题核心是准确理解不同收费方案的计算逻辑，代入对应数据正确计算后比较结果即可，注意运算时的准确性，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.9
