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8.如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且$∠ BAC = ∠ DAC$，$CD = 6$，$\cos∠ ACD = \frac{3}{5}$，则$\odot O$的半径是（
A.6.5
B.6.25
C.12.5
D.12.25
B
）。A.6.5
B.6.25
C.12.5
D.12.25
答案
B
解析
【分析】
解题时首先从Rt△ADC切入，利用已知的三角函数值和CD的长度先求出AC、AD的长度；再结合AB是圆的直径可得直径所对的圆周角∠ACB为直角，结合已知∠BAC=∠DAC可证明△ADC和△ACB相似，利用相似三角形对应边成比例求出直径AB的长度，最终除以2即可得到圆的半径。
【解析】
1. 在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，由$\cos∠ ACD=\frac{CD}{AC}=\frac{3}{5}$，$CD=6$，可得：
$AC=\frac{CD}{\frac{3}{5}}=6×\frac{5}{3}=10$。
2. 由勾股定理计算$AD$：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
3. 因为$AB$是$\odot O$的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，所以$∠ ACB=90°$，即$∠ ADC=∠ ACB=90°$。
4. 又已知$∠ BAC=∠ DAC$，两角分别相等的两个三角形相似，因此$△ ADC ∽ △ ACB$。
5. 根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，代入$AD=8$，$AC=10$：
$\frac{8}{10}=\frac{10}{AB}$，解得$AB=\frac{10×10}{8}=12.5$。
6. $\odot O$的半径为直径$AB$的一半，即$r=\frac{12.5}{2}=6.25$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【点评】
本题是圆与三角形的综合常考题，将解直角三角形、相似三角形的性质和圆的基本性质结合考查，解题的关键是找到相似三角形建立边长关系，逻辑链条清晰，能够很好地考查学生对相关知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先从Rt△ADC切入，利用已知的三角函数值和CD的长度先求出AC、AD的长度；再结合AB是圆的直径可得直径所对的圆周角∠ACB为直角，结合已知∠BAC=∠DAC可证明△ADC和△ACB相似，利用相似三角形对应边成比例求出直径AB的长度，最终除以2即可得到圆的半径。
【解析】
1. 在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，由$\cos∠ ACD=\frac{CD}{AC}=\frac{3}{5}$，$CD=6$，可得：
$AC=\frac{CD}{\frac{3}{5}}=6×\frac{5}{3}=10$。
2. 由勾股定理计算$AD$：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
3. 因为$AB$是$\odot O$的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，所以$∠ ACB=90°$，即$∠ ADC=∠ ACB=90°$。
4. 又已知$∠ BAC=∠ DAC$，两角分别相等的两个三角形相似，因此$△ ADC ∽ △ ACB$。
5. 根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，代入$AD=8$，$AC=10$：
$\frac{8}{10}=\frac{10}{AB}$，解得$AB=\frac{10×10}{8}=12.5$。
6. $\odot O$的半径为直径$AB$的一半，即$r=\frac{12.5}{2}=6.25$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【点评】
本题是圆与三角形的综合常考题，将解直角三角形、相似三角形的性质和圆的基本性质结合考查，解题的关键是找到相似三角形建立边长关系，逻辑链条清晰，能够很好地考查学生对相关知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
9.问题情境:图①是一种地球仪的横截面示意图。点O为地球仪横截面的圆心,AB为底座下部的圆的直径,底座上部与⊙O分别交于M,N两点。已知AM与BN的延长线恰好交于圆心O,且AM=BN。
问题探究:(1)如图②,设点C是线段AB的中点,连接OC交⊙O于点D。过点D作EF//AB,分别交OA,OB于点E,F,求证:EF是⊙O的切线。
问题解决:(2)如图②,连接MN,经测量可得,MN=21 cm,AB=28 cm,AM=10 cm,求地球仪的半径OM的长。
问题探究:(1)如图②,设点C是线段AB的中点,连接OC交⊙O于点D。过点D作EF//AB,分别交OA,OB于点E,F,求证:EF是⊙O的切线。
问题解决:(2)如图②,连接MN,经测量可得,MN=21 cm,AB=28 cm,AM=10 cm,求地球仪的半径OM的长。
答案
(1)证明:因为$AM=BN,OM=ON$，
所以$OA=OB$。
因为C是线段AB的中点，
所以$OC⊥AB$。
因为$EF// AB$，
所以$OC⊥EF$。
因为点D在圆上，
所以EF是$\odot O$的切线。
(2)解:由(1)知$△ OAB$是等腰三角形，
因为$AM=BN,OM=ON,MN=21\ \mathrm{cm},AB=28\ \mathrm{cm},AM=10\ \mathrm{cm}$，
所以$MN// AB$。
所以$△ OMN ∽ △ OAB$。
所以$\frac{OM}{OA}=\frac{MN}{AB}$,即$\frac{OM}{OM+10}=\frac{21}{28}$。
解得$OM=30$，
所以地球仪的半径OM的长为30 cm。
所以$OA=OB$。
因为C是线段AB的中点，
所以$OC⊥AB$。
因为$EF// AB$，
所以$OC⊥EF$。
因为点D在圆上，
所以EF是$\odot O$的切线。
(2)解:由(1)知$△ OAB$是等腰三角形，
因为$AM=BN,OM=ON,MN=21\ \mathrm{cm},AB=28\ \mathrm{cm},AM=10\ \mathrm{cm}$，
所以$MN// AB$。
所以$△ OMN ∽ △ OAB$。
所以$\frac{OM}{OA}=\frac{MN}{AB}$,即$\frac{OM}{OM+10}=\frac{21}{28}$。
解得$OM=30$，
所以地球仪的半径OM的长为30 cm。
解析
【分析】
(1)要证明EF是⊙O的切线，需依据切线判定定理，证明EF过半径外端且与该半径垂直。首先由AM=BN、OM=ON可推出OA=OB，即△OAB是等腰三角形，结合C是AB中点，利用等腰三角形三线合一可得OC⊥AB；再由EF//AB可推出OC⊥EF，而D在⊙O上，OD是⊙O的半径，即可得证。
(2)要求OM的长，首先由△OMN和△OAB均为等腰三角形且共顶角，可推出MN//AB，进而得到△OMN∽△OAB，利用相似三角形对应边成比例列方程，即可求解OM的长度。
【解析】
(1)证明：$\because AM=BN,OM=ON$（$\odot O$的半径相等），
$\therefore AM+OM=BN+ON$，即$OA=OB$，
$\because$ C是线段AB的中点，
$\therefore OC⊥ AB$（等腰三角形三线合一），
$\because EF// AB$，
$\therefore OC⊥ EF$，
又$\because$ 点D在$\odot O$上，OD是$\odot O$的半径，
$\therefore$ EF是$\odot O$的切线。
(2)解：由(1)知$△ OAB$是等腰三角形，
$\because OM=ON$，$\therefore △ OMN$也是等腰三角形，两个三角形共顶角$∠ O$，
$\therefore MN// AB$，
$\therefore △ OMN ∽ △ OAB$，
$\therefore \frac{OM}{OA}=\frac{MN}{AB}$，
设$OM=x\ \mathrm{cm}$，则$OA=OM+AM=(x+10)\ \mathrm{cm}$，代入$MN=21\ \mathrm{cm},AB=28\ \mathrm{cm}$得：
$\frac{x}{x+10}=\frac{21}{28}$，
化简得$28x=21(x+10)$，
解得$x=30$。
【答案】
(1)EF是⊙O的切线，证明成立；(2)$\boxed{30\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1.切线的判定；2.等腰三角形的性质；3.相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活中的地球仪情境考查几何知识的应用，解题的关键是熟练掌握切线判定定理、等腰三角形性质以及相似三角形的性质，能根据已知条件转化得到所需的垂直、平行关系，进而建立方程求解。
【难度系数】
0.7
(1)要证明EF是⊙O的切线，需依据切线判定定理，证明EF过半径外端且与该半径垂直。首先由AM=BN、OM=ON可推出OA=OB，即△OAB是等腰三角形，结合C是AB中点，利用等腰三角形三线合一可得OC⊥AB；再由EF//AB可推出OC⊥EF，而D在⊙O上，OD是⊙O的半径，即可得证。
(2)要求OM的长，首先由△OMN和△OAB均为等腰三角形且共顶角，可推出MN//AB，进而得到△OMN∽△OAB，利用相似三角形对应边成比例列方程，即可求解OM的长度。
【解析】
(1)证明：$\because AM=BN,OM=ON$（$\odot O$的半径相等），
$\therefore AM+OM=BN+ON$，即$OA=OB$，
$\because$ C是线段AB的中点，
$\therefore OC⊥ AB$（等腰三角形三线合一），
$\because EF// AB$，
$\therefore OC⊥ EF$，
又$\because$ 点D在$\odot O$上，OD是$\odot O$的半径，
$\therefore$ EF是$\odot O$的切线。
(2)解：由(1)知$△ OAB$是等腰三角形，
$\because OM=ON$，$\therefore △ OMN$也是等腰三角形，两个三角形共顶角$∠ O$，
$\therefore MN// AB$，
$\therefore △ OMN ∽ △ OAB$，
$\therefore \frac{OM}{OA}=\frac{MN}{AB}$，
设$OM=x\ \mathrm{cm}$，则$OA=OM+AM=(x+10)\ \mathrm{cm}$，代入$MN=21\ \mathrm{cm},AB=28\ \mathrm{cm}$得：
$\frac{x}{x+10}=\frac{21}{28}$，
化简得$28x=21(x+10)$，
解得$x=30$。
【答案】
(1)EF是⊙O的切线，证明成立；(2)$\boxed{30\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1.切线的判定；2.等腰三角形的性质；3.相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活中的地球仪情境考查几何知识的应用，解题的关键是熟练掌握切线判定定理、等腰三角形性质以及相似三角形的性质，能根据已知条件转化得到所需的垂直、平行关系，进而建立方程求解。
【难度系数】
0.7
10.已知△ABC内接于⊙O,过点A作直线EF。
(1)如图①,AB为直径,要使EF为⊙O的切线,还需添加的条件是(只需写出三种情况):
①
②
③
(2)如图②,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF是⊙O的切线。
(3)如图③,AB是非直径的弦,∠CAE=∠ABC,EF还是⊙O的切线吗?若是,请说明理由;若不是,请解释原因。
(1)如图①,AB为直径,要使EF为⊙O的切线,还需添加的条件是(只需写出三种情况):
①
$AB ⊥ EF$
②
$∠BAE = 90°$
③
$∠ABC = ∠EAC$(答案不唯一)
(2)如图②,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF是⊙O的切线。
(3)如图③,AB是非直径的弦,∠CAE=∠ABC,EF还是⊙O的切线吗?若是,请说明理由;若不是,请解释原因。
答案
(1)$AB ⊥ EF$ $∠BAE = 90°$ $∠ABC = ∠EAC$(答案不唯一)
(2)证明:如图①,作直径AD,连接CD，
因为AD为直径，
所以$∠ACD=90°$。
所以$∠D+∠CAD=90°$。
因为$∠D=∠B,∠CAE=∠B$，
所以$∠CAE=∠D$。
所以$∠EAC+∠CAD=90°$。
所以$AD⊥EF$。
所以EF为$\odot O$的切线。
(3)是。理由:如图②,作直径AD,连接CD,BD，
因为AD为直径，
所以$∠ABD=90°$。
因为$∠CAE=∠ABC$，
所以$∠DAE+∠DAC=∠ABD+∠DBC$。
而$∠DAC=∠DBC$。
所以$∠DAE=∠ABD=90°$。
所以$AD⊥EF$。
所以EF为$\odot O$的切线。
解析
【分析】
(1) 切线的判定定理为：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知AB是⊙O的直径，点A在圆上，要使EF是⊙O的切线，只需满足EF⊥AB即可，据此可以写出多个等价条件：比如直接写垂直关系、写夹角为90°，或者利用圆周角性质推导得到垂直的角等量关系。
(2) 当AB不是直径时，没有现成的过A的直径与EF垂直，因此作辅助线：过A作直径AD，将问题转化为证明AD⊥EF。利用直径所对圆周角为90°得到直角，再结合同弧所对圆周角相等，将已知的∠CAE=∠B转化，即可得到∠EAD=90°，从而证明EF是切线。
(3) 与第(2)问思路一致，作直径AD后，利用直径所对圆周角是直角，结合同弧所对圆周角相等，对已知的∠CAE=∠ABC进行角的拆分转化，推导得到∠EAD=90°，即可判定EF是切线。
【解析】
(1) 根据切线判定条件，可添加的条件合理即可，示例如下：
①$AB ⊥ EF$；②$∠BAE = 90°$；③$∠ABC = ∠EAC$
(2) 证明：作直径AD，连接CD，
∵AD为直径，
∴$∠ACD=90°$，
∴$∠D+∠CAD=90°$。
∵同弧所对圆周角相等，
∴$∠D=∠B$，又已知$∠CAE=∠B$，
∴$∠CAE=∠D$，
∴$∠EAC+∠CAD=∠D+∠CAD=90°$，即$AD⊥EF$。
∵AD是⊙O的直径，点A在圆上，
∴EF为$\odot O$的切线。
(3) EF还是⊙O的切线，理由如下：
作直径AD，连接CD，BD，
∵AD为直径，
∴$∠ABD=90°$。
已知$∠CAE=∠ABC$，
∴$∠DAE+∠DAC=∠ABD+∠DBC$，
∵同弧DC所对圆周角相等，
∴$∠DAC=∠DBC$，
∴$∠DAE=∠ABD=90°$，即$AD⊥EF$。
∵AD是⊙O的直径，点A在圆上，
∴EF为$\odot O$的切线。
【答案】
(1)$AB ⊥ EF$ $∠BAE = 90°$ $∠ABC = ∠EAC$(答案不唯一)
(2)证明:如图①,作直径AD,连接CD，
因为AD为直径，
所以$∠ACD=90°$。
所以$∠D+∠CAD=90°$。
因为$∠D=∠B,∠CAE=∠B$，
所以$∠CAE=∠D$。
所以$∠EAC+∠CAD=90°$。
所以$AD⊥EF$。
所以EF为$\odot O$的切线。
(3)是。理由:如图②,作直径AD,连接CD,BD，
因为AD为直径，
所以$∠ABD=90°$。
因为$∠CAE=∠ABC$，
所以$∠DAE+∠DAC=∠ABD+∠DBC$。
而$∠DAC=∠DBC$。
所以$∠DAE=∠ABD=90°$。
所以$AD⊥EF$。
所以EF为$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；直径的性质
【点评】
本题是圆的切线判定的典型题型，既考查了切线判定的直接应用，又考查了通过构造直径作为辅助线、结合圆周角性质证明切线的方法，核心是理解切线判定的本质是证明直线与过交点的半径垂直，同时要能够灵活运用圆周角相关性质完成角的等量转化。
【难度系数】
0.65
(1) 切线的判定定理为：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知AB是⊙O的直径，点A在圆上，要使EF是⊙O的切线，只需满足EF⊥AB即可，据此可以写出多个等价条件：比如直接写垂直关系、写夹角为90°，或者利用圆周角性质推导得到垂直的角等量关系。
(2) 当AB不是直径时，没有现成的过A的直径与EF垂直，因此作辅助线：过A作直径AD，将问题转化为证明AD⊥EF。利用直径所对圆周角为90°得到直角，再结合同弧所对圆周角相等，将已知的∠CAE=∠B转化，即可得到∠EAD=90°，从而证明EF是切线。
(3) 与第(2)问思路一致，作直径AD后，利用直径所对圆周角是直角，结合同弧所对圆周角相等，对已知的∠CAE=∠ABC进行角的拆分转化，推导得到∠EAD=90°，即可判定EF是切线。
【解析】
(1) 根据切线判定条件，可添加的条件合理即可，示例如下：
①$AB ⊥ EF$；②$∠BAE = 90°$；③$∠ABC = ∠EAC$
(2) 证明：作直径AD，连接CD，
∵AD为直径，
∴$∠ACD=90°$，
∴$∠D+∠CAD=90°$。
∵同弧所对圆周角相等，
∴$∠D=∠B$，又已知$∠CAE=∠B$，
∴$∠CAE=∠D$，
∴$∠EAC+∠CAD=∠D+∠CAD=90°$，即$AD⊥EF$。
∵AD是⊙O的直径，点A在圆上，
∴EF为$\odot O$的切线。
(3) EF还是⊙O的切线，理由如下：
作直径AD，连接CD，BD，
∵AD为直径，
∴$∠ABD=90°$。
已知$∠CAE=∠ABC$，
∴$∠DAE+∠DAC=∠ABD+∠DBC$，
∵同弧DC所对圆周角相等，
∴$∠DAC=∠DBC$，
∴$∠DAE=∠ABD=90°$，即$AD⊥EF$。
∵AD是⊙O的直径，点A在圆上，
∴EF为$\odot O$的切线。
【答案】
(1)$AB ⊥ EF$ $∠BAE = 90°$ $∠ABC = ∠EAC$(答案不唯一)
(2)证明:如图①,作直径AD,连接CD，
因为AD为直径，
所以$∠ACD=90°$。
所以$∠D+∠CAD=90°$。
因为$∠D=∠B,∠CAE=∠B$，
所以$∠CAE=∠D$。
所以$∠EAC+∠CAD=90°$。
所以$AD⊥EF$。
所以EF为$\odot O$的切线。
(3)是。理由:如图②,作直径AD,连接CD,BD，
因为AD为直径，
所以$∠ABD=90°$。
因为$∠CAE=∠ABC$，
所以$∠DAE+∠DAC=∠ABD+∠DBC$。
而$∠DAC=∠DBC$。
所以$∠DAE=∠ABD=90°$。
所以$AD⊥EF$。
所以EF为$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；直径的性质
【点评】
本题是圆的切线判定的典型题型，既考查了切线判定的直接应用，又考查了通过构造直径作为辅助线、结合圆周角性质证明切线的方法，核心是理解切线判定的本质是证明直线与过交点的半径垂直，同时要能够灵活运用圆周角相关性质完成角的等量转化。
【难度系数】
0.65
